DỰ ĐỐN QUỸ TÍCH VÀ GIỚI HẠN QUỸ TÍCH 2.1 Suy luận toán học và suy luận có lí
2.2.2. Cơng đoạn dự đốn quỹ tích nằm ở đâu
Cơng đoạn dự đốn quỹ tích thường rất thú vị và hấp dẫn. Nó được thực hiện bởi khơng chỉ các phép suy luận tốn học mà cả những phép suy luận có lí. Do đó nó chỉ được thể hiện trên giấy nháp của người làm tốn chứ khơng được thể hiện trong lời giải bài tốn quỹ tích của người làm tốn. Những kết quả nhận được trong cơng đoạn dự đốn quỹ tích, nếu muốn thể hiện trong lời giải bài tốn quỹ tích thì phải nhận lại bằng các phép suy luận tốn học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khẳng định trên góp phần chứng tỏ rằng lời giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp thuận-đảo có cùng bản chất logic với lời giải bài tốn giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại.
Khẳng định trên thực ra rất đơn giản nhưng không phải ai cũng hiểu, kể cả những tác giả viết sách có tên tuổi. Có thể nói rằng đem những phép suy luận có
lí vào lời giải bài tốn tìm quỹ tích bằng phương pháp thuận-đảo vì khơng hiểu rõ vai trị của cơng đoạn dự đốn quỹ tích là sai lầm thường gặp.
Dưới đây là các ví dụ.
Ví dụ 1 [1, tr 89] Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. Tìm quỹ tích trung điểm của các dây của đường tròn (O) cắt dây AB.
Lời giải 1 [ 1, tr 232] (chỉ trình bày phần thuận).
Thuận (h.14). Trước hết, tìm quỹ tích của trung điểm của các dây đi qua A, ta được đường trịn đường kính OA ; tìm quỹ tích trung điểm của các dây đi qua B, ta được đường trịn đường kính OB.
Xét các dây CD bất kì cắt [AB] tại một điểm K cố định trên [AB]. Quỹ tích trung điểm M của các dây đó là đường trịn đường kính OK, đường trịn này đi qua O và H (trung điểm của AB). Khi K di chuyển trên [AB] thì các đường trịn nói trên di chuyển và tạo thành hai hình trăng khuyết có đường kính thứ tự là OA, OB, trừ phần chung của chúng.
KM M H O A B C D (Hình 14)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Nhận xét.
Phần in nghiêng trong lời giải trên là phép suy luận có lí, khơng được thể hiện trong lời giải bài tốn tìm quỹ tích, chỉ được thể hiện trên giấy nháp của người giải bài tốn tìm quỹ tích. Nếu người giải bài tốn tìm quỹ tích hiểu rõ vai trị của cơng đoạn dự đốn quỹ tích thì chắc chắn khơng phạm phải sai lầm trên. Lời giải 2 (chỉ trình bày phần thuận).
Trước hết, xin phát biểu không chứng minh một bổ đề đơn giản.
Bổ đề. Nếu kí hiệu đường trịn đường kính AB là (AB) thì (AB), miền trong của (AB), miền ngoài của (AB) theo thứ tự là
M / AMB 90 ; M / AMB 90 ; M / AMB 90 .
Trở lại giải ví dụ trên.
Các kí hiệu (OA), (OB) theo thứ tự chỉ các đường trịn đường kính OA, OB. Thuận (h.15). Giả sử M là trung điểm của CD, dây của (O) và cắt đoạn [AB].
M O
A B
C
D
(Hình 15)
Vì CD cắt đoạn [AB] nên các điểm A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ CD.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Do đó hoặc A, O thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB khác nhau và B, O thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ CD hoặc B, O thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB khác nhau và A, O thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ CD.
Suy ra hoặc AMO 90 và BMO 90 hoặc AMO 90 và BMO 90 .
Vậy, theo bổ đề trên, hoặc M thuộc miền trong của (OA) và M thuộc miền ngoài của (OB) hoặc M thuộc miền trong của (OB) và M thuộc miền ngoài của (OA).
Tóm lại M thuộc hình hợp bởi miền trong của các đường tròn (OA), (OB) trừ đi phần giao của các miền trong đó.
Nhận xét.
Tất cả các phép suy luận trong lời giải trên đều là các phép suy luận toán học. Ví dụ 2 [1, tr 89] Tìm quỹ tích trung điểm của các đoạn thẳng có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn ngồi nhau và có bán kính khác nhau. Lời giải 1. [1, tr 231] (chỉ trình bày phần thuận).
Thuận (h.16). Gọi (O, R) và (O‟, r) là các đường tròn cho trước (R > r). Ta cố định điểm A (O), cho điểm B di chuyển trên (O‟). Dễ thấy quỹ tích trung điểm M của AB là đường tròn (I, )r
2 với I là trung điểm của AO‟.
r R I D K M O A O' B C (Hình 16)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Xét A di chuyển trên (O, R) thì I di chuyển trên đường trịn (K,R)
2 với K là trung điểm của OO‟. Khi đó (I) di chuyển và tạo thành một hình vành khăn giới
hạn bởi các đường trịn (K, KC) và (K, KD) với
2 2
R r R r
KC , KD .
Nhận xét.
Phần in nghiêng trong lời giải trên là phép suy luận có lí, khơng được trình bày trong lời giải bài tốn tìm quỹ tích, chỉ được thể hiện trên giấy nháp của người giải bài tốn tìm quỹ tích. Nếu người giải bài tốn tìm quỹ tích hiểu rõ vai trị của cơng đoạn dự đốn quỹ tích thì chắc chắn khơng phạm phải sai lầm trên. Lời giải 1. (chỉ trình bày phần thuận).
Trước hết, xin phát biểu không chứng minh một bổ đề đơn giản.
Bổ đề. Nếu XY, ZT là hai đoạn thẳng và M, N theo thứ tự là trung điểm của XZ, YT thì XY ZT MN XZ YT.
2 2
Trở lại giải ví dụ trên.
Thuận (h.17). Gọi (O, R) và (O‟, r) là các đường tròn cho trước (R > r). Gọi K là trung điểm của OO‟.
Theo bổ đề trên R r XY ZT MK XZ YT R r.
2 2 2 2
Do đó M thuộc hình vành khăn xác định bởi hai đường tròn (K, R r) 2 và R r (K, ). 2 Nhận xét.
Tất cả các phép suy luận trong lời giải trên đều là các phép suy luận toán học.