Định nghĩa 1.4.1. Xuất phát từ vành giao hoán A, ta đã dựng được vành
B =A[X], cũng là một vành giao hoán. Bây giờ xuất phát từ B thay cho A ta lại có thể dựng được vành C=B[Y], trong đó Y là một ẩn mới độc lập với X và đóng đối với B một vai trị như vai trò của X đối với A. Các phần tử của C viết được một cách duy nhất dưới dạng P
bjYj, bj ∈ B, và B được đồng nhất hóa với một vành con của C gồm các phần tử có dạng bY0 = b.1. Vì mỗi phần tử bj ∈ B viết được một cách duy nhất dưới dạng
bj = P
aijYi nên mọi phần tử của C có dạng
n X i=0 m X j=0 aijXiYj, aij ∈ A
Theo phép dựng thì aij giao hoán được với X và Y và X giao hoán được với Y.
Vành C gọi là vành đa thức trên A với hai ẩn X và Y.
Lặp lại nhiều lần phép dựng trên, ta thu được vành A[X1, X2, ..., Xn] các đa thức trên A của n ẩn X1, X2, ..., Xn.
Ta quy ước viết bộ n số tự nhiên (i1, i2, ..., in) là (i). Khi đó mọi phần tử f ∈ A[X1...Xn] đều viết được dưới dạng
f = X
(i)
Trong đó X(i) = Xi1
1 ...Xin
n là một đơn thức. Theo định nghĩa của đa thức, tất cả các hệ tử a(i), trừ một số hữu hạn là bằng 0. Tính duy nhất của biểu thức (1) suy ra ngay từ mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4.2. Một đa thức f ∈ A[X1, X2, ..., Xn] là bằng không nếu và chỉ nếu tất cả các hệ tử của nó đều bằng khơng.
Chứng minh. Trường hợp n=1 đã được chứng minh trong quá trình dựng
vành A[X].
Giả sử mệnh đề đã được chứng minh cho trường hợp n-1, ta sẽ chứng minh nó đúng cho trường hợp n. Ta viết
f = Xai1,...,inX1i1, ...Xnin = XbinXnin. Trong đó bin = P
1,...,in−1
ai1,...,inX1i1, ...Xn−1in−1 .
Trường hợp n=1 và giả thiết quy nạp chứng tỏ rằng
f = 0 <=> bin = 0,∀jn <=> a(i1...in) = 0∀(i1, i2, ..., in)
. Hai đa thức f, g ∈ A[X1, ..., Xn]. Được xem là bằng nhau, nếu và chỉ nếu
các hệ tử của các đơn thức giống nhau là bằng nhau.
Bậc của đa thức
Cho đa thức f ∈ A[X1, ..., Xn]. Bậc của f đối với Xi là số mũ cao nhất của Xi trong các a(i)X(i) với a(i) 6= 0. Kí hiệu là degif
Thí dụ: Đa thức f = 1 + X1 +X1X23 + X15X2 có bậc 5 đối với X1, bậc 3 đối với X2.
Số tự nhiên i1 + i2 +...+in. Gọi là bậc của đơn thức X1i1...Xnin Thí dụ: Bậc của đơn thức X15X2 là 5+1=6.
Bậc của đa thức f là số lớn nhất trong các bậc của các đơn thức của f. Nó được kí hiệu là deg f.
Thí dụ: Bậc của đa thức ở trên là 6. Ta đặt deg 0 =−∞
Một số tính chất
Nhiều tính chất của vành đa thức A[X] được chuyển sang vànhA[X1, ..., Xn]. a) Bằng quy nạp trên n, ta chứng minh được rằng. Nếu A là một miền nguyên vẹn thì vành A[X1, ..., Xn] cũng là nguyên vẹn.
b) Cũng như trong trường hợp một ẩn, ta có các tính chất sau: Nếu A là một miền nguyên vẹn và f, g ∈ A[X1, ..., Xn] thì
deg(f g) = deg(f) +deg(g).
Với mọi đa thức h ∈ A[X1, ..., Xn] mà tất cả các hạng tử đều có cùng một bậc m thì gọi là một đa thức thuần nhất hay một dạng bậc m. Giả sử đã cho một đa thức f ∈ A[X1, ..., Xn]. Nếu ta nhóm lại tất cả các hạng tử có cùng một bậc chỉ số ta có thể viết f dưới dạng một tổng của những dạng có bậc khác nhau:
f = f0 +f1 +...+fk, k = deg(f).
Nếu ta cũng có: g = g0 +g1 +...+ gl, l = deg(g) thì dĩ nhiên f g = f0g0 + (f0g1 + f1g0) + ...+fkgl.
Từ đó deg(f g) ≤k +l. Song vì fk 6= 0, gl 6= 0 => fkgl 6= 0, nên ta có
deg(f g) = deg(fkgl) = k+l = deg(f) +deg(g) .
Định nghĩa 1.4.3. Giả sử A là vành con của một vành giao hoán V, và
v1, ..., vn ∈ V. Khi đó ánh xạ
ϕ : A[X1, ..., X] →V
f(X1, ..., Xn) 7→f(v1, ..., vn)
rõ ràng là một đồng cấu vành.
Nếu Kerϕ = 0 thì v1, ..., vn gọi là những phần tử của V độc lập đại số
trên A. Trong trường hợp này mọi đa thức f(X1, ..., Xn) ∈ A[X1, ..., Xn]
sao cho f(v1, ..., vn) = 0 đều phải bằng 0, nghĩa là các hệ tử bằng 0. Trong trường hợp trái lại, tức là tồn tại một đa thức f(X1, ..., Xn) ∈
A[X1, ..., Xn] sao cho f(V1, ..., Vn) = 0 thì V1, ..., Vn gọi là phụ thuộc đại số trên A.
Định lý 1.4.4. [Tính chất độc xạ của vành A[X1...Xn]] Giả sử A là
một vành giao hoán A [X1, ..., Xn ] là vành đa thức của các ẩn X1, ..., Xn trên A, f là phép nhúng chính tắc A → A [X1...Xn ]. Giả sử V là một vành
giao hốn bất kì v1, ..., vn là những phần tử của V. Khi đó với mọi đồng cấu vành ϕ :A → V tồn tại duy nhất một đồng cấu ϕ : A[X1, ..., Xn]→ V chuyển Xi thành vi(i = 1, ..., n) và sao cho biểu đồ sau giao hốn:
Hình 1.2: Tính chất độc xạ của vành A [X1...Xn ]
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp trên n.
Nếu n=1 thì ta thấy lại tính chất độc xạ của vành đa thức một ẩn trên A. Với giả thiết tính chất là đúng cho trường hợp n-1 ẩn ta sẽ chứng minh nó cho trường hợp n ẩn.
Vì A[X1...Xn] = A[X1...Xn−1][Xn] và từ phép nhúng f” : A[X1...Xn−1] →A[X1...Xn−1][Xn]
và từ đồng cấu ϕ0 : A[X1...Xn−1] → V tồn tại theo giả thiết quy nạp theo tính chất độc xạ của vành đa thức một ẩn ta kết luận rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu ϕtừ A[X1...Xn−1][Xn] tới V sao cho ta có biểu đồ giao hốn: Hình 1.3: Tính chất độc xạ của vành A[X1...Xn] Gọi f’ là phép nhúng A → A[X1...Xn−1], ta có ϕ = ϕ0f0 Mặt phác ϕ0 = ϕf” Vậy ϕϕf−1f” = ϕf Vì ϕ mở rộng ϕ0 và ϕ0(Xi) =vi(i = 1, ..., n−1) nên ta có ϕ(Xi) = vi(i = 1, ..., n−1) và cuối cùng vì ϕ(Xn) = vn nên ta có ϕ(Xi) = vi(i = 1, ..., n).
Mặt khác ta có: ϕ0(a) =ϕ(a),∀a ∈ A, nên ϕ(a) = ϕ0(a) =ϕ(a),∀a ∈ A. Như vậy ϕ được hồn tồn xác định bởi tác động của nó lên A và lên X1, X2, ..., Xn sinh ra A[X1, X2, ..., Xn], do đó là duy nhất.