2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH ĐA THỨC
2.4 Phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức
các đa thức đối xứng sơ cấp
Phương pháp biểu diễn
Phương pháp biểu diễn một đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng sơ cấp trình bày trong phép chứng minh định lí cơ bản cũng là một phương pháp thuận tiện để thực tế tìm biểu thức của một đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng sơ cấp.
Ví dụ 2.4.1. Cho đa thức đối xứng trên Z.
f(X1, X2, X3) = X12X2 +X1X22 +X12X2 +X1X32 +X22X1 +X2X12 Hãy tìm biểu thức của nó qua σ1, σ2, σ3
Bài giải. Hạng tử cao nhất của f là X12X2 . Vậy ta có α1 = 2, α2 =
1, α3 = 0. Theo lí thuyết tổng quát ta lập hiệuf(X1, X2, X3)−σ3−21 σ22−1 σ03 Thay thế σ1, σ2, σ3 bằng các biểu thức của chúng qua X1, X2, X3, ta được
f(X1, X2, X3)−σ1σ2 = −3X1X2X3 = −3σ3
Vậy ta có f(X1, X2, X3) =σ1σ2 −3σ3
Phương pháp hệ tử bất định
Ta cịn có thể cải tiến phương pháp trên đây bằng cách áp dụng phương pháp hệ tử bất định. Trước khi trình bày phương pháp này ta hãy dựa vào
những kí hiệu sau:
Nếu aXα11 X2α2...Xnαn (αi ≥ 0) là một hạng tử nào đó của một đa thức đối xứng f(X1, X2, ..., Xn) thì mọi hạng tử suy ra từ hạng tử đó bằng cách thực hiện tất cả các phép thế của các chỉ số 1, 2, ...n, cũng thuộc f(X1, ..., Xn). Ta kí hiệu tổng của chúng là S(aXα1 1 ...Xnαn). Ví dụ 2.4.2. S(X1) = σ1 , S(X1X2) = σ2 , S(X1X2X3) = σ3 v.v... Rõ ràng là một đa thức S(aXα11 ...Xαn n ) thuần nhất
Bài giải. Giả sử đã cho một đa thức đối xứng f(X1, X2, ..., Xn) Ta phân tích nó thành một tổng các đa thức thuần nhất. Sau đó ta biểu diễn mỗi đa thức thuần nhất đó qua các đa thức đối xứng sơ cấp bằng phương pháp hệ tử bất định. Ví dụ sau sẽ cụ thể hóa phương pháp này
Ví dụ 2.4.3. Cho đa thức đối xứng:
f(X1, X2, X3) = X13X22X3 + X12X23X3 +X12X2X33 +X1X22X33
+X12X2X32 +X1X23X32 +X13 +X23 + X33 Hãy tìm biểu thức của nó qua 1, 2, 3
Bài giải. Theo cách kí hiệu trên ta có
f(X1, X2, X3) = S(X13X22X3) + S(X13)
Trước hết ta tìm hiểu biểu thức của S1 = S(X13X22X3) qua σ1, σ2, σ3. Ta chú ý rằng là một dạng bậc 6. Ta hãy liệt kê tất cả các hạng tử cao nhất của các đa thức đối xứngf, f1, f2...mà ta có thể tìm được theo phép chứng minh định lí cơ bản. Hạng tử cao nhất của S1 là X13X22X3. Ta để ý rằng S1 thuần nhất nên mỗi hạng tử của nó đều có bậc 6. Mặt khác hệ thống các số mũ λ1, λ2, λ3 của các hạng tử cao nhất phải thỏa mãn các điều kiện
3≥ λ1 ≥λ2 ≥λ3 với λ1 +λ2 +λ3 = 6 .
Ngoài ra mỗi hệ thống số mũ sau phải ứng với một hạng tử thấp hơn. Như vậy ta được bảng tất cả các hạng tử cao nhất có thể được như sau:
Hệ thống số mũ Hệ tử cao nhất Tổng hợp đa thức 321 X13X22X3 σ13−2σ2−12 σ3 = σ1σ2σ3 222 aX12X22X32 aσ12−2σ22−2 σ32 = aσ23 Từ bảng trên suy ra rằng S1 = S(X13X22X3) = σ1σ2σ3 +aσ32 Để xác định a, ta đặt chẳng hạn X1 = 2, X2 = −1, X3 = −1 Khi đó σ1 = 0, σ2 = −3, σ3 = 2 và S1 = −12. Từ đó suy ra −12 = 4a vậy a = −3. Do đó S1 = S(X13X22X3) = σ1σ2σ3 −3σ32
Đối với S2 = S(X13) ta có bảng sau:
Hệ thống số mũ Hệ tử cao nhất Tổng hợp đa thức 300 X13 σ13 210 aX12X2 aσ1σ2 111 bX1X2X3 bσ3 Vậy ta có S2 = S(X13) = aσ1σ2 +bσ3
Gán cho X1, X2, X3 những giá trị thích hợp, ta sẽ tìm được a = -3, b = 3. Vậy
S2 = σ13 −3σ1σ2 + bσ3 Cuối cùng
f(X1X2X3) = S1 +S2 = σ1σ2σ3 −3σ32 +σ31 −3σ1σ2 + 3σ3
Ví dụ 2.4.4. Tìm tổng lập phương các nghiệm của đa thức
f(X) = X4 +X3 + 2X2 +X + 1
Bài giải. Trước hết ta tìmS(X13) = X13+X23+X33+X43 Áp dụng phương pháp trên ta được Hệ thống số mũ Hệ tử cao nhất Tổng hợp đa thức 3000 X13 σ13 2100 aX12X2 aσ1σ2 1110 bX1X2X3 bσ3 Từ đó suy ra S(X13) =σ13 −3σ1σ2 + 3σ3
Vì σ1 = −1, σ2 = 2, σ3 = −1 nên
S(σ13) = (−1)3 −3(−1)2 + 3(−1) = 2.