3 Phương pháp giải quy hoạch lồi có ràng buộc
3.1.2 Điều kiện tối ưu
Định lý 3.3. (chỉ dành cho trường hợp lồi) Giả sử: C và f là các hàm lồi khả dưới vi phân trên C. Khi đó x∗ là lời giải tối ưu của (P) khi và chỉ khi
0 ∈ ∂f(x∗) + NC(x∗). (3.2)
trong đó NC(x∗) là nón pháp tuyến của C tại x∗,
Chứng minh.
(i) Điều kiện đủ: Giả sử (3.2) đúng. Khi đó ∃p∗ sao cho
p∗ ∈ ∂ f(x∗)∩(−NC(x∗)). Với p∗ ∈ ∂f(x∗) ta có hp∗, x − x∗i 6 f(x) − f(x∗) ∀x do p∗ ∈ −NC(x∗), nên hp∗, x−x∗i > 0 ∀x ∈ C. Do đó f (x) −f(x∗) > 0 ∀x ∈ C.
(ii) Điều kiện cần: Giả sử x∗ là lời giải tối ưu. Bằng cách hạn chế trong không gian afin của C, chúng ta có thể giả định rằng C là đầy đủ chiều. Do C là lồi, nên intC 6= ∅ Xét hai tập sau
E := {(t, x) ∈ R×Rn : t > f(x)−f(x∗), x ∈ C} G := {0} ×C.
Dễ thấy: CảE vàG là hai tập lồi (từC vàf là lồi). Hơn thế nữaG∩E = ∅.
Áp dụng định lý tách, với (u0, u) 6= 0 ∈ Rn+1 ta có
u0t+uTx 6 u00 +uTy ∀(t, x) ∈ E, x ∈ C. (3.3)
Từ (3.3), với t → +∞ suy ra u0 < 0. Nếu u0 = 0, thì
hu, x −yi 6 0 ∀x, y ∈ C. Hoặc
hu, zi 6 0 ∀z ∈ C −C ≡ D. (3.4)
Rõ ràng 0 ∈ D, giả sử 0∈ intD. Khi đó từ (3.4) ta có u = 0 (khơng thỏa mãn vì u0 = 0). Do đó u0 < 0. Bằng cách chia cả hai vế của (3.3) cho
−u0 > 0, ta có với t →f(x)−f(x∗) −[f(x)−f(x∗)]+uTx 6 uTy ∀x, y ∈ C. (3.5) Cho y = x∗, từ (3.5) chúng ta có −[f(x)−f(x∗)]+uTx 6 uTx∗ ∀x ∈ C. Suy ra f(x∗)−f(x) +uT(x−x∗) 6 0 ∀x ∈ C. (3.6)
Vì f(x) =∞ với mọi x /∈ C nên từ (3.6) chúng ta có f(x∗)−f(x) +uT(x−x∗) 6 0 ∀x ∈ Rn
với u ∈ ∂ f(x∗). Mặt khác, cho x = x∗ từ (3.5) chúng ta có uT(y−x∗) > 0 ∀y ∈ C
với −u ∈ NC(x∗). Từ u ∈ ∂ f(x∗) ta có
0 ∈ ∂ f(x∗) + NC(x∗).
Hệ quả 3.2. Nếux∗ ∈ intC và x∗ ∈ S(C, f) (là lời giải tối ưu địa phương của (P)), khi đó 0 ∈ ∂f (x∗). Đặc biệt, nếu f là khả vi trên tồn bộ khơng
gian thì 0 = ∇f(x∗). Ta xét bài tốn
minf(x)
trong đó
x ∈ D := x ∈ X : gj(x) 6 0, hi(x) = 0 với j = 1, ... , m ; i = 1, ... , k trong đó ∅ 6= X ⊆Rn và f, gj, hi : Rn → R ∀j, i. Ta nói (P) là quy hoạch lồi nếu X là tập lồi đóng và tất cả f, gj với mọi j đều lồi, còn hi là afin với mọi i.