3 Phương pháp giải quy hoạch lồi có ràng buộc
3.2 Phương pháp hàm phạt giải quy hoạch lồi có ràng buộc
3.2.2 Phương pháp hàm phạt điểm ngoài
Trong phương pháp này hàm phạt p được xây dựng sao cho nó liên tục khắp nơi và
p(x) = 0 nếu x ∈ D và p(x) > 0 nếu x /∈ D. (5.6)
Nói cách khác là nếu một phương án là khơng chấp nhận được, thì nó phải chịu một lượng phạt p(x), trái lại sẽ không bị phạt. Với
D = { x : gj(x) 6 0, j = 1, ....., m} , các hàm sau đây thỏa mãn (5.6)
p(x) := m X j=1 max(0, gj(x)). (5.7) p(x) := m X j=1 max(0, gj(x))2. (5.70)
Tham số phạt ở đây cũng được cho bởi hàm số một biến r. Cũng như
ở phương pháp điểm trong, r là hàm số dương, liên tục với mọi t > 0.
Nhưng ở đây, r đơn điệu tăng; tức là r(t) > r(t) với mọi t > t > 0 và r(t) →+∞ nếu t→ +∞.
Với mỗi t > 0 xét bài tốn khơng rằng buộc sau
min{F(x, t) := f(x) +r(t)p(x) : x ∈ Rn}. (Pt)
Mệnh đề 3.2. Giả sử bài tốn (Pt) có nghiệm với mọi t > 0. Khi đó nếu
xi là nghiệm của (Pt) (i=1,2) và 0 < t1 < t2 thì (1) p(x1) > p(x2)
(2) f(x1) 6 f(x2)
Chứng minh. (tương tự mệnh đề 3.1)
Định lý 3.8. Với các giả thiết đã nêu ở trên, nếu dãy {tk} đơn điệu tăng dần đến +∞ và xk là nghiệm của (Ptk) thì dãy số f(xk) hội tụ tăng dần đến f∗. Ngoài ra mọi điểm tụ của dãy xk đều là nghiệm của (5.1).
Chứng minh.Gọi x∗ là một nghiệm của bài tốn ban đầu. Theo tính chất p(x) = 0 khi x ∈ D, nên với mọi k ta có
f(xk) +r(tk)p(xk) 6 f(x∗) +r(tk)p(x∗) 6 f∗. (5.8)
Giả sử u∗ là một điểm tụ của dãy xk và u∗ ∈/ D. Do p(u∗) > 0 và r(tk) →+∞nên f(u∗) +r(tk)p(u∗) > f∗ khi k đủ lớn. Từ đây và qua giới hạn ở (5.8), suy ra rằng mọi điểm tụ của dãy xk phải thuộc D. Chú ý
rằng, do (5.6) có f(xk) 6 f∗. Bằng cách qua dãy con nếu cần, ta có thể giả sử rằng limkxk = u∗. Do tính liên tục, từ f(xk) 6 f∗, qua giới hạn có f(u∗) 6 f∗. Nhưng u∗ ∈ D. Vậy f(u∗) = f∗. Theo mệnh đề trên, dãy số
f(xk) đơn điệu tăng, do đó tồn bộ dãy f(xk) hội tụ tăng dần đến f∗.
Chú ý 3.5. 1. Một điều kiện để bài tốn khơng rằng buộc (Pt) có nghiệm với mọi t > 0 là tập.
compact với mọi hằng số C.
2. Nếu gj là các hàm lồi, thì các hàm số cho bởi (5.7) và (5.7’)cũng lồi.
Phương pháp hàm phạt không những chỉ áp dụng để đưa việc giải bài tốn có điều kiện về việc giải các bài tốn khơng điều kiện, mà cịn có thể dùng để loại bỏ các rằng buộc khó xử lý. Ngồi các phương pháp hàm phạt điểm trong và ngoài, các hàm phạt kết hợp điểm trong và ngồi và các hàm phạt thích nghi (thưởng- phạt) cũng đã được xét đến.