Một số kiến thức cơ bản về dãy số

2.1.1 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên *

n là đúng với mọi n thì ta làm qua các bƣớc.

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n1;

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với 1 số tự nhiên bất kì n k 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó đúng với n k 1.

Lưu ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n p (p là số tự nhiên) thì

- Ở bƣớc 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đung với n p;

- Ở bƣớc 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với 1 số tự nhiên bất kì n k p

2.1.2 Dãy số

a) Định nghĩa dãy số. Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dƣơng *đƣợc gọi là dãy số  un . Kí hiệu

  * : . u n u n  .

Ngƣời ta thƣờng viết dãy số dƣới dạng khai triển u u1, 2,...,un,... trong đó

 

n

u u n và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát của dãy số.

b) Cách cho một dãy số

- Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát. - Dãy số cho bằng phƣơng pháp mô tả.

- Dãy số cho bằng phƣơng pháp truy hồi.

c) Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số  un đƣợc gọi là dãy số tăng nếu ta có un1un với mọi n *

.

- Dãy số  un đƣợc gọi là dãy số giảm nếu ta có un1 un với mọi *

.

n

d) Dãy số bị chặn

- Dãy số  un đƣợc gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho  n *,un M.

- Dãy số  un đƣợc gọi là dãy số bị chặn dƣới nếu tồn tại một số m sao

- Dãy số  un đƣợc gọi là dãy số bị chặn dƣới nếu tồn tại một số m và một số M sao cho * , n n m u M     . 2.1.3 Cấp số cộng

 Định nghĩa. Dãy số  un gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d

sao cho với mọi số nguyên n2 thoả mãn un un1d. Số d đƣợc gọi là

công sai của cấp số cộng; u1 gọi số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng  un .

 Định lí 1. Cho cấp số cộng un , khi đó ta có un   u1 n 1d. (1)

 Định lí 2. Gọi Sn là tổng n số hạng đầu củacấp số cộng un có cơng sai d. Khi đó ta có:   2 1 1 . 2 n n S  u  n d (2) 2.1.4 Cấp số nhân

 Định nghĩa. Dãy số  un có tính chất un1qun,  n * gọi là cấp số nhân công bội q.

 Định lí 3. Cho cấp số nhân  un có cơng bội q. Ta có 1 1 n .

n

u u q  (3)

 Định lí 4. Gọi Sn là tổng n số hạng đầu cấp số nhân  un có cơng bội q. Khi đó ta có 1 1 . 1 n n q S u q    (4)