Chƣơng 1 : CƠ SỞ Lí LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.4 Xõy dụng một số tỡnh huống dạy học nội dung hàm số THPT
Tỡnh huống 1: Chứng minh hàm số y x3 3x2 3x5 là đồng biến trờn toàn bộ R. Giải Hàm số cú đạo hàm 2 2 ) 1 ( 3 3 6 3 x x x y Ta cú bảng biến thiờn:
Nhƣ vậy hàm số đồng biến từ đến 1 trờn khoảng ;1, sau đú đồng biến từ 1 đến thành thử hàm số đồng biến trờn toàn bộ R.
Minh hoạ bằng phần mềm Casyopee:
x ' y y 1 4 0 + +
Tỡnh huống 2: Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số 1 3 2 ) (x x3 x2
f trờn cỏc đoạn và nửa khoảng sau đõy:
a) 2 1 ; 2 ; b) ;1 2 1 ; c) 1;3. Giải
c) Trờn nửa khoảng 1;3 khụng cú điểm nào tại đú hàm số f cú đạo hàm bằng 0 hoặc khụng cú đạo hàm. Vỡ f'(x)0 trờn nửa khoảng 1;3. Do đú
) (x
f đồng biến trờn nửa khoảng 1;3. Vỡ vậy min ( ) (1) 4 3
;
1 f x f .
Thực ra trong lời giải trờn, khụng cần đến điều kiện f'(1) dƣơng để khẳng định hàm số f đồng biến trờn 1;3. Vả lại, lập luận tƣơng tự nhƣ thế khụng ứng dụng đƣợc để khẳng định hàm số f đồng biến chẳng hạn, trờn 0;3 vỡ ở đõy, f'(x)0 với mọi x 0;3 nhƣng f'(0)0.
- Cú thể phỏt biểu điều kiện đủ để hàm số là đơn điệu hoặc khụng đổi trờn một khoảng, một đoạn và nửa khoảng chung trong định lớ dƣới đõy (theo ngụn ngữ Toỏn cao cấp ở đại học).
Giả sử K là một khoảng hoặc một nửa khoảng hoặc một đoạn, f là hàm số liờn tục trờn K và cú đạo hàm tại mọi điểm trong của K (tức là điểm thuộc K nhƣng khụng phải là đầu mỳt của K). Khi đú
a) Nếu f'(x)0 tại mọi điểm trong của K thỡ hàm số f đồng biến trờn K.
b) Nếu f'(x)0 tại mọi điểm trong K thỡ hàm số f nghịch biến trờn K. c) Nếu f'(x)0 tại mọi điểm trong K thỡ hàm số f lấy giỏ trị khụng đổi trờn K.
- Khi xột chiều biến thiờn của hàm số, để trỏnh nặng nề, ta thƣờng chỉ núi tới tớnh đơn điệu của hàm số trờn một khoảng. Tuy nhiờn trong nhiều trƣờng hợp việc xột chiều biến thiờn trờn một đoạn hoặc nửa khoảng tỏ ra rất tiện dụng trong thực hành. Ta xột vớ dụ sau:
Tỡnh huống 3: Chứng minh rằng: xln(1x) với mọi x0.
Giải
Hàm số f(x)xln(1x) liờn tục trờn nửa khoảng 0; và cú đạo hàm 0 1 1 1 ) ( ' x x f với mọi x(0; ).
Do đú hàm số đồng biến trờn 0; và ta cú f(x) f(0)với mọi x0. Từ đú ta cú bất đẳng thức cần chứng minh.
Minh hoạ bằng phần mềm Casyopee:
Một số điểm cần lưu ý:
- Khi xột chiều biến thiờn của hàm số, khụng nhất thiết phải ghi cỏc giỏ trị tƣơng ứng của hàm số.
hàm số f là D chứa một lõn cận của điểm x0 (tức là một khoảng chứa điểm
0
x ).
Chẳng hạn, xột hàm số y = x xỏc định trờn 0;.
Ta cú f(x) f(0) với mọi x0 nhƣng x0 khụng phải là điểm cực trị của hàm số vỡ tập hợp 0; khụng chứa bất kỡ lõn cận nào của 0.
- Trong định lớ 2 khụng thể bỏ qua giả thiết “hàm số f liờn tục tại x0”. Vớ dụ sau đõy cho thấy điều đú:
Tỡnh huống 4: Tỡm cực trị hàm số f(x) xx3 Giải Dễ thấy hàm số liờn tục trờn R và 0 ) 3 ( 0 ) 3 ( ) ( x voi x x x voi x x x f Với 0 2 3 ) ( ' , 0 x x x x f x Với x x x x x x f x 2 ) 1 ( 3 2 3 ) ( ' , 0 1 0 ) ( ' x x f . Bảng biến thiờn: Hàm số đạt cực đại tại x0; giỏ trị cực đại f(0)0. Hàm số đạt cực tiểu tại
1 x ; giỏ trị cực tiểu là f(1)2. x ) ( ' x f ) (x f 0 1 0 2 0 + + -
Cú thể chứng minh đƣợc rằng hàm số f khụng cú đạo hàm tại điểm x0. Tuy nhiờn khụng cần phải trỡnh bày điều này trong bài giải.
Minh họa bằng phần mềm Casyopee:
Một số tỡnh huống ứng dụng khảo sỏt hàm số để giải cỏc bài toỏn về cực trị hỡnh học
Màn hỡnh giao diện của mụđun hỡnh học trong Casyopee:
Trong mỗi hộp thoại thỡ mầu đỏ là đối tƣợng cần tạo cũn cỏc mầu khỏc phải là đối tƣợng đó đƣợc tạo trƣớc đú.
Sau đõy những đối tƣợng tạo trƣớc đƣợc gọi là cho trƣớc. Tạo một điểm bất kỳ trờn mặt phẳng tọa độ.
Tạo một điểm cú tọa độ cho trƣớc.
Tạo một đoạn thẳng (trƣớc đú phải tạo hai đầu mỳt của đoạn thẳng).
Tạo điểm M bất kỳ thuộc đoạn thẳng cho trƣớc.
Tạo trung điểm đoạn thẳng cho trƣớc.
Tạo một tia cho trƣớc gốc và một điểm thuộc tia.
Tạo một điểm thuộc một tia cú trƣớc.
Tạo một đƣờng thẳng đi qua một điểm cho trƣớc và song song với một đƣờng thẳng cho trƣớc.
Tạo đƣờng thẳng đi qua một điểm đi qua một điểm cho trƣớc và vuụng gúc với đƣờng thẳng cú trƣớc.
Tạo một đƣờng thẳng đi qua một điờm cho trƣớc và vuụng gúc với đƣờng thẳng cho trƣớc.
Tạo giao điểm của hai đƣờng thẳng cho trƣớc.
Tạo một điểm thuộc một đƣờng cong cho trƣớc.
Tạo một đƣờng trũn cú tõm cho trƣớc. Ngoài ra cũn một số chức năng trờn thanh Menu.
Sau đõy là một số tỡnh huống ứng dụng khảo sỏt hàm số để giải quyết cỏc bài toỏn về cực trị trong Casyopee.
Tỡnh huống 5: Một bài toỏn giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất
Lấy a là tham số dƣơng. Trong hệ tọa độ vuụng gúc Oxy, dựng điểm A(10; 0), I(0; 4); một đƣờng thẳng d đi qua A và song song với trục Oy. M là điểm bất kỡ trờn đoạn OA. Dựng tam giỏc IMN vuụng tại M, N thuộc đƣờng thẳng d.
Cú hay khụng vị trớ điểm M để diện tớch tam giỏc IMN lớn nhất? Chứng minh?
Dự kiến giải quyết tỡnh huống:
Dựng hỡnh minh họa trong Casyopee.
Chọn giỏ trị làm biến số cho hàm diện tớch: Chọn , Chọn:
Sau đú chọn và chọn . Sẽ cú kết quả:
Tiếp theo chọn sẽ đƣợc một hàm số f(x) là diện tớch tam giỏc INM với x là hoành độ của điểm M trong của sổ Đại số.
Cho điểm M chạy trờn đoạn oA, HS sẽ theo dừi cỏc giỏ trị thay đổi của diện tớch để dự đoỏn kết quả; sau đú, để kiểm nghiệm lại dự đoỏn đú, ta cho
khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số; dựa vào đồ thị hàm số ta trả lời đƣợc cõu hỏi: Cú tồn tại hay khụng vị trớ của M để diện tớch hàm số đạt giỏ trị lớn nhất.
Tỡnh huống 6:
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm F(0; a), a là tham số. H là điểm di chuyển trờn trục Ox. A là trung điểm của HF. Đƣờng thẳng qua H và song song với Oy cắt đƣờng trung trực của HF tại M. Tỡm quỹ tớch điểm M.
Dự kiến giải quyết tỡnh huống:
Tạo điểm F(0;a), a là tham số trong Casyopộe. Tạo một điểm H di chuyển
trờn trục Ox. Tạo đoạn [HF] và trung điểm A của nú. Tạo đƣờng trung trực của đoạn [HF]. Tạo một đƣờng thẳng qua H và song song với trục Oy. Tạo M là giao điểm của hai đƣờng thẳng trờn.
Cho điểm H di chuyển trờn trục Ox để HS quan sỏt sự thay đổi vị trớ của điểm M, từ đú dự đoỏn quỹ tớch điểm M là một Parabol.
Chứng minh dự đoỏn bằng việc xỏc lập sự phụ thuộc của yM theo xM qua cỏc thao tỏc: Tạo xM, yM bằng , tạo sự phụ thuộc giữa xM, yM bằng đƣợc kết quả:
Tạo yM là hàm số của xM trong của sổ Đại số bằng :
Nhấn OK đƣợc:
Khi đú thỡ trong thanh cụng cụ của
mụđun hỡnh học đó xuất hiện hàm f. Và ta cú thể vẽ quỹ tớch của M ngay trong mụđun
Bạn cú thể yờu cầu xỏc định với Casyopộe bằng cỏch lựa chọn Hành động (Action) / Mối quan hệ giữa hai đối tƣợng (Relation between 2 objects).
Việc xỏc định dựa trờn cơ sở tớnh toỏn tƣợng trƣng, vỡ vậy đú là một lần kiểm chứng.
Tỡnh huống 7
Ngƣời ta muốn thiết lập hệ thống thu nƣớc mƣa ở bề mặt của một tũa nhà vào bể chứa. Bề mặt tũa nhà hỡnh chữ nhật, hai ống thu nƣớc mƣa ở hai bờn dẫn nƣớc mƣa qua ống ở thẳng đứng ở giữa vào bể chứa. Trờn hỡnh vẽ MH là đƣờng trung trực của đoạn thẳng DC.
Xỏc định vị trớ của M sao cho tổng độ dài cỏc ống là nhỏ nhất.
Dự kiến giải quyết tỡnh huống:
Bƣớc 1: Dựng hỡnh minh họa trong Casyopee.
Bƣớc 2: Lập biểu thức tớnh và quan sỏt sự biến đổi phụ thuộc. Tạo biểu thức tớnh tổng độ dài ống:
Cho điểm M chạy trờn đoạn IH để HS theo dừi sự thay đổi về tổng độ dài của ba đoạn MH, MD, MC từ đú dự đoỏn vị trớ M ứng với tổng đú là ngắn nhất.
Bƣớc 3: chuyển qua đại số để khảo sỏt và kiểm chứng dự đoỏn: Chuyển qua đại số :
Khảo sỏt hàm số:
Từ đồ thị ta thấy để tỡm đƣợc điểm cực trị để trả lời bài toỏn với kết quả đỳng.
Tỡnh huống 8:
Xỏc định vị trớ của điểm M sao cho diện tớch cỏc phần gạch chộo là bằng nhau.
Dự kiến giải quyết tỡnh huống:
Bƣớc 1: Dựng hỡnh minh họa trong Casyopee và tạo biểu thức tớnh diện tớch của hai phần gạch chộo.
Dựng hỡnh:
- Dựng hỡnh chữ nhật ABCD với AB = 10 và AD = 8. Dựng điểm R thuộc đoạn AB sao cho AR = AD = 8.
- Dựng điểm M di chuyển trờn AR.
- Dựng đƣờng thẳng đi qua M và vuụng gúc với AB. - Dựng điểm E(xM, AD – AM).
- Dựng đƣờng thẳng đi qua E và vuụng gúc với AD. - Dựng cỏc giao điểm P, F, G nhƣ hỡnh vẽ.
Tạo biểu thức tớnh:
- Tạo biểu thức tớnh diện tớch hỡnh vuụng AMEP là AM AP. - Tạo biểu thức tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật EFGC là EF.EG - Tạo biến số là xM.
Chuyển qua biểu thức đại số và tỡm xM.
- Chuyển qua biểu thức đại số. Diện tớch hỡnh vuụng AMEP là giỏ trị hàm số f(x). Diện tớch hỡnh chữ nhật EFGC là giỏ trị hàm g(x).
- Tạo phƣơng trỡnh f(x) = g(x) và giải phƣơng trỡnh. Đƣợc kết quả x = 40
Nghĩa là tổng độ dài cỏc ống nƣớc là ngắn nhất khi IM = 40 9 .
Kết luận chƣơng 2
Trong chƣơng này chỳng tụi đó giới thiệu, phõn tớch chƣơng trỡnh hàm số Giải tớch 12 THPT. Tỡm hiểu thực trạng dạy và học nội dung này, tỡm hiểu nhu cầu sử dụng CNTT – TT để nõng cao hiệu quả dạy và học nội dung này ở trƣờng phổ thụng. Chỳng tụi đó nghiờn cứu tớnh năng và cỏch sử dụng phần mềm Casyopee, nghiờn cứu khả năng ứng dụng của Casyopee trong dạy học nội dung hàm số Giải tớch 12 THPT chỳng tụi cú một số kết luận sau:
Chƣơng trỡnh hàm số ở phổ thụng đƣợc trỡnh bày cú hệ thống và logic khao học. Nội dung trỡnh bày ở từng khối lớp phự hợp với mức độ nhận thức của HS. Xuyờn suốt cỏc khối lớp (từ lớp 7 đến lớp 12) chỳng ta cú đƣợc một hệ thống chung nhất về nghiờn cứu hàm số đú là:
+ Nghiờn cứu tập xỏc định của hàm số.
+ Nghiờn cứu cỏc tớnh chất của hàm số: Tớnh chẵn lẻ; tớnh đồng biến, nghịch biến; cực trị; giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất; giới hạn và tiệm cận…
+ Nghiờn cứu về đồ thị hàm số: tớnh đối xứng; cỏch vẽ; Cỏc ứng dụng của đồ thị…
Dựa trờn hệ thống chung đú thỡ mỗi cấp, mỗi khối sẽ đƣa vào nghiờn cứu ở mức độ phự hợp.
Cũng qua quỏ trỡnh nghiờn cứu, chỳng tụi thấy rằng, cụng cụ hữu hiệu để nghiờn cứu về hàm số là đạo hàm. Cú thể núi, khi nghiờn cứu về hàm số thỡ đạo hàm núi lờn tất cả. HS muốn học tốt nội dung này cần:
+ Tớnh đƣợc đạo hàm.
+ Nắm vững mối liờn hệ giữa đạo hàm và cỏc tớnh chất của hàm số.
+ Biết cỏch và cú kĩ năng vận dụng đạo hàm để chỉ ra cỏc tớnh chất của hàm số.
+ Nắm vững hệ thống bài khảo sỏt hàm số.
+ Cú kĩ năng làm việc với đồ thị hàm số: Đọc đồ thị, vận dụng đồ thị để giải bài tập.
Trờn thực tế, quỏ trỡnh dạy và học nội dung này cũn gặp nhiều khú khăn. Về phớa giỏo viờn, khú khăn thƣờng là thiếu hỡnh ảnh trực quan, do đú chƣa thu hỳt đƣợc sự chỳ ý của HS, chƣa khai thỏc hết đƣợc vai trũ của đồ thị hàm số do thiếu phƣơng tiện cụng nghệ.
Về phớa HS, nhiều trƣờng hợp HS cũn hạn chế về kĩ năng tớnh toỏn. Nhƣ trờn đó núi, đạo hàm núi lờn tất cả cỏc tớnh chất của hàm số; Khi tớnh đạo hàm sai hay xột dấu đạo hàm sai sẽ dẫn đến sai về cỏc tớnh chất của hàm số, sai đồ thị hàm số. HS khụng cú căn cứ để kiểm tra lại.
Để dạy và học tốt nội dung hàm số trong chƣơng trỡnh Giải tớch 12 THPT ngoài PPDH dạy học của GV, sự nỗ lực của HS thỡ cũn cần sự hỗ trợ khụng nhỏ của CNTT – TT.
Phần mềm Casyopee cú thể giỳp HS giải quyết cỏc khú khăn nhƣ: tớnh đạo hàm, tỡm đƣợc nghiệm đạo hàm, xột dấu đạo hàm từ đú xỏc định đỳng đƣợc cỏc tớnh chất của đồ thị, xỏc định hỡnh dạng đỳng của đồ thị hàm số. HS khụng cũn bị trở ngại về tớnh toỏn từ đú khắc sõu đƣợc quy trỡnh khảo sỏt hàm số. Thuộc và nhớ nhanh đặc điểm của từng loại hàm số. HS cú thể khẳng định đƣợc bài làm của mỡnh, tăng sự hứng thỳ khi học. Nõng cao kĩ năng tin học của HS khi HS đƣợc thao tỏc trực tiếp với phần mềm. Giỳp HS sẽ cú tƣ duy tốt hơn về đồ thị hàm số, điều này sẽ rất thuận lợi cho dạng bài tập biện luận từ đồ thị là dạng toỏn quan trọng và cú nhiều ứng dụng trong thực tế sau này.
Đối với HS khỏ giỏi, việc khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số khụng cú gỡ khú khăn ; song với phần mềm Casyopee cỏc em cú thể tự kiểm tra bài làm của mỡnh.
HS cũng cú thể cài đặt phần mềm để tự học ở nhà, tăng khả năng tự học của HS.
Từ những kết quả nghiờn cứu đú, chỳng tụi tiếp tục tiến hành thực nghiệm, thể hiện ở chƣơng 3 sau đõy của luận văn.
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1 Mục đớch thực nghiệm
Thực nghiệm đƣợc sƣ phạm tiến hành nhằm kiểm tra tớnh khả thi và tớnh hiệu quả của phƣơng ỏn dạy học đó đề xuất cho Đề tài Sử dụng phần mềm Casyopee trong dạy học nội dung hàm số, chƣơng trỡnh Giải tớch 12 THPT.
3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm
Biờn soạn cỏc giỏo ỏn dạy một số bài trong chƣơng “Ứng dụng đạo hàm để khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số” cú sử dụng phần mềm Casyopee, phƣơng tiện CNTT.
+ Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm,