Tô pô của hàm hữu tỷ hai biến phức
3.2.1 Tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler
ChoL: C2 → Clà hàm tuyến tính được xác định bởi:L(x,y) = y.Với mỗit ∈ C, đặt
Lt := L|{f−tg=0} :{f −tg= 0} → C và
lt := L|F−1(t) : F−1(t)→ C.
Nhận xét 3.2.2. 1){f −tg= 0}= F−1(t)tA(F).
2) Các điểm tới hạn của lt : F−1(t) → C chính là các điểm tới hạn của ánh xạ
Lt :{f −tg= 0} →C mà không thuộcA(F).
3) Các điểm tới hạn củaLt : {f −tg = 0} → Clà các hàm đại số theot, bao gồm
hai loại sau đây:
+ Loại 1: các điểm dần tới điểm tới hạn của Lt0 khi t → t0. Số điểm loại này, đếm cả bội, bằng số điểm tới hạn, tính cả bội, củaLt0.
+ Loại 2: các điểm chạy ra vô hạn khit → t0 (đây cũng chính là các điểm tới hạn củalt).
Bổ đề 3.2.3. Cho F = f
f,g ∈ C[x,y]. Cho t0 < K0(F)∪K1(F) sao cho
deg(f −t0g) = degx(f −t0g) = max{deg f,degg}.
Khi đó, với mọiδ > 0 đủ nhỏ và mọit ∈ Dδ(t0) := {t ∈ C : |t−t0| < δ}ánh xạ
Lt :{f −tg= 0} → C
là riêng và vớic đủ tổng quát,#L−1t (c) = d.
Chứng minh. Vìdeg(f−t0g) = max{deg f,degg}nêndeg(f−t0g) = max{deg f,degg}
với mọiδ >0 và mọit ∈ Dδ(t0)đủ nhỏ. Ta viết
(f −tg)(x,y) = pd(t)xd + pd−1(t,y)xd−1 +. . .+ p0(t,y),
trong đó pd(t) ∈ C[t],pi(t,y) ∈ C[t,y] là các đa thức.
Dod = degx(f −t0g)nên pd(t) , 0khiδđủ nhỏ và t ∈ Dδ(t0).
Ta sẽ chứng minh rằng với mọit ∈ Dδ(t0) ánh xạLt là riêng. Thật vậy, cho dãy {(xk,yk)}k ⊂ {f −tg= 0}sao chok(xk,yk)k → ∞khik → ∞.
Ta có
(f −tg)(xk,yk) = pd(t)xdk + pd−1(t,yk)xd−1k +. . .+ p0(t,yk) = 0,∀k.
Bởi vì pd(t) , 0 nên|xk| 6→ ∞khik → ∞. Do đó|yk| → ∞, tức làL(xk,yk) → ∞. Vậy Lt là ánh xạ riêng với mọit ∈ Dδ(t0).
Hơn nữa, với mọic ∈ Cta có
L−1t (c)= {(x,c) : pd(t)xd + pd−1(t,c)xd−1 +. . .+ p0(t,c) = 0}.
Vìpd(t), 0 với mọit ∈ Dδ(t0)nên số điểm, đếm cả bội, củaLt−1(c)bằngd. Do vậy,
nếuc là giá trị chính qui củaLt,thì#L−1t (c)= d.
Áp dụng Bổ đề 3.2.3 cùng với các lập luận tương tự như trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.6, ta được:
Bổ đề 3.2.4. Với các giả thiết trong Bổ đề 3.2.3 thì với mọi δ > 0 đủ nhỏ, ánh xạ hạn chế
Lδ := L|∪
t∈Dδ(t0){f−tg=0} :∪t∈Dδ(t0){f −tg= 0} → C
là riêng.
Kết quả sau là hệ quả trực tiếp của các Bổ đề 3.2.3 và 3.2.4.
Bổ đề 3.2.5. Với các giả thiết trong Bổ đề 3.2.3, với mọi δ > 0 đủ nhỏ và với mọi dãy{(xk,yk)}k ⊂ F−1(Dδ(t0)),k(xk,yk)k → ∞ta có
(i) L(xk,yk) → ∞,và
(ii) #l−t1(c) = d vớicđủ tổng quát.
Bổ đề 3.2.6. Cho F = f/g :C2 \ {g = 0} → Clà một hàm hữu tỷ với f,g ∈ C[x,y]
khơng có nhân tử chung khác hằng. Chot0 ∈ C\(K0(F)∪K1(F))sao cho
deg(f −t0g) = degx(f −t0g) = max{deg f,degg}.
Với mỗia > 0 và δ >0 đặt U(a, δ) := {|L| 6 a} ∩F−1(Dδ(t0)). Khi đó, nếua đủ lớn vàδđủ nhỏ thì χ(Vt)−χ(Vt0) = χ(F−1(t0))−χ(F−1(t)) = χ(F−1 (t0)\U(a, δ))−χ(F−1 (t)\U(a, δ)), trong đóVt = {f −tg = 0}.
Chứng minh. Khi a đủ lớn vàδđủ nhỏ thìU(a, δ)chứa tất cả các điểm tới hạn của
Lt0 và các điểm tới hạn loại 1 của Lt,t ∈ Dδ(t0). Gọi Qi,i = 1, . . . ,s, là các điểm tới hạn của Lt0 thuộc U(a, δ)và Di ⊂ C,i = 1. . . ,s, là các đĩa tâm L(Qi), bán kính βi đủ nhỏ. Theo Nhận xét 3.2.2, khi t → t0, tất cả các điểm tới hạn của Lt thuộc
U(a, δ) sẽ tiến tới các điểm Qi. Do đó, khơng có điểm tới hạn nào của Lt thuộc
U(a, δ)\ ∪i=1s L−1δ (Dβi). Với mỗii= 1, . . . ,svàt ∈ C ta đặt
và
Ci := {z ∈ C : |z| 6 a} \Dβi.
Theo Bổ đề 3.2.3, với mọit ∈ Dδ(t0)ánh xạLt = L|Vt là riêng. Bởi vậy, tập L(Vt) là đóng và xây dựng được. Do đóL(Vt) = Cvà ánh xạ hạn chế
L|Mi
t: Mti →Ci
là toàn ánh. Hơn nữa, dễ dàng chứng minh đượcL|Mi
t khơng có điểm tới hạn. Vì vậy, ánh xạ đó là một phủ khơng rẽ nhánhd tờ, vớid = deg(f −t0g). Từ đó
χ(Mi
t) = d ·χ(Ci),∀t ∈ Dδ(t0). (3.2) Mặt khác, ánh xạ L : Nti → Dβi là một phủd tờ, rẽ nhánh tại các điểm tới hạn. Lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 2.1.7, ta nhận được
χ(Ni
t)= d−ρi(t)∀t ∈ Dδ(t0), (3.3) trong đó ρi(t) là số các điểm tới hạn, đếm cả bội, của ánh xạ Lt trong U(a, δ) ∩
L−1δ (Dβi).
Các đẳng thức (3.2) và (3.3) đúng với mọia đủ lớn,δvàβi,i= 1, . . . ,s,đủ nhỏ. Vớia1 > a2 > 0đủ lớn vàδđủ nhỏ ta đặtA:= Vt\U(a1, δ)và B= Vt∩U(a2, δ). Áp dụng dãy khớp Mayer-Vietoris đối với bộ ba(Vt,A,B), ta được dãy khớp
. . .→ 0 → H1(A∩B) → H1(A)⊕H1(B) → H1(A∪B) → → H0(A∩B) → H0(A)⊕H0(B)→ H0(A∪B)→ 0. Do đó
χ(Vt) = χ(B)+χ(A)−χ(A∩B). (3.4) Xét ánh xạ hạn chế
L|A∩B: Vt ∩(U(a2, δ)\U(a1, δ))→ {z ∈ C : a1 < |z| ≤ a2}. Dễ dàng chứng minh được ánh xạ trên là một phủd tờ. Bởi vậy
Từ các đẳng thức (3.4) và (3.5) thu được
χ(Vt)−χ(Vt0)=χ(Vt ∩U(a2, δ))−χ(Vt0 ∩U(a2, δ))+
+χ(Vt\U(a1, δ))−χ(Vt0 \U(a1, δ)). (3.6)
Tương tự, áp dụng dãy khớp Mayer-Vietoris cùng với các đẳng thức (3.2) và (3.3), ta chứng minh được
χ(Vt ∩U(a2, δ))−χ(Vt0 ∩U(a2, δ)) = 0. (3.7)
Từ (3.6) và (3.7) suy ra
χ(Vt)−χ(Vt0) = χ(Vt \U(a1, δ))−χ(Vt0 \U(a1, δ)). (3.8) Hơn nữa, theo Nhận xét 3.2.2 ta cóVt \U(a1, δ) = F−1(t)\U(a1, δ). Vì vậy
χ(Vt)−χ(Vt0) = χ(F−1(t)\U(a1, δ))−χ(F−1(t0)\U(a1, δ)), (3.9) với mọia1 đủ lớn và δđủ nhỏ.
Mặt khác, theo giả thiếtt0 < K1(F), nên với mọi δ >0 đủ nhỏ, với mọi p ∈ A(F)
và mọi quả cầu B(p)có tâm tại p, bán kính đủ nhỏ thì Vt ∩B(p) Vt0 ∩B(p),∀t ∈ Dδ(t0).
Áp dụng dãy khớp Mayer-Vietoris một lần nữa, ta chứng minh được
χ(Vt)−χ(Vt0) = χ(F−1
(t))−χ(F−1
(t0)). (3.10)
Từ (3.9) và (3.10), suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 3.2.7. Cho F = f/g : C2 \ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong đó
f,g ∈ C[x,y]khơng có nhân tử chung khác hằng. Chot0 ∈ C\(K0(F)∪K1(F))sao cho
deg(f −t0g) = degx(f −t0g) = max{deg f,degg}.
Khi đó, hai khẳng định sau là tương đương (i) t0 < B∞(F).
(ii) Khơng có điểm tới hạn p(t) nào củalt = L|F−1(t)đểkp(t)k → ∞khit → t0. Chứng minh. ii) =⇒ i): Giả sử rằng không tồn tại điểm tới hạn p(t) nào của lt mà kp(t)k → ∞khit → t0. Khi đó, với a đủ lớn thì tập
U(a, δ)= {|L| 6 a} ∩ F−1(Dδ(t0))
chứa tất cả các điểm tới hạn củalt,t ∈ Dδ(t0). Theo Bổ đề 3.2.5 tậpU(a, δ)bị chặn, do đó là compact. Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1.7, ta có ánh xạ hạn chế
F|F−1(Dδ(t0))\U(a,δ): F−1(Dδ(t0))\U(a, δ)→ Dδ(t0)
xác định một phân thớ tầm thường lớpC∞. Tức làt0 < B∞(F).
i) =⇒ ii): Bằng phản chứng, giả sử rằng tồn tại các điểm tới hạn p(t) của lt để kp(t)k → ∞ khi t → t0. Ta sẽ chứng minh rằng t0 ∈ B∞(F). Thật vậy, xét tập
K := U(a, δ) = {|L| 6 a} ∩ F−1(Dδ(t0)), trong đó a đủ lớn và δ đủ nhỏ sao cho
K chứa tất cả các điểm tới hạn của lt0, các điểm của tập A(F) và các điểm tới hạn loại 1 của Lt, t ∈ Dδ(t0). Từ giả thiết suy ra, với δ nhỏ tuỳ ý tồn tại t ∈ Dδ(t0) sao cho có các điểm tới hạn của lt khơng thuộc K. Ký hiệu các điểm tới hạn này là P1(t), . . . ,Pm(t).
Gọi Di ⊂ C,i = 1, . . . ,m, là các đĩa có tâm là αi := L(Pi(t))với bán kính i đủ nhỏ. Xét các ánh xạ hạn chế
L : (F−1(t0)\K)\ ∪mi=1l−1δ (Di) → (C\lδ(K))\ ∪mi=1Di
và
L: (F−1(t)\ K)\ ∪mi=1l−1δ (Di) → (C\lδ(K))\ ∪mi=1Di.
Dễ thấy, các ánh xạ trên xác định tốt. Lập luận tương tự như trong chứng minh của Bổ đề 3.2.6, ta được
χ((F−1(t0)\K)\ ∪mi=1l−1δ (Di))= χ((F−1(t)\K)\ ∪im=1l−1δ (Di))
= dχ((C\lδ(K))\ ∪mi=1Di).
Mặt khác, với mỗii = 1, . . . ,m, xét ánh xạ hạn chế
Ta cóVt = F−1(t)∪ {f = g = 0}.Nên C\L(K)⊂ L(F−1(t)). Bởi vậy, ta có thể chọn i đủ nhỏ để ánh xạ trên là toàn ánh. Hơn nữa, đó là ánh xạ riêng và có các điểm tới hạn làPi(t),i = 1, . . . ,m, nếu t , t0, và khơng có điểm tới hạn nếu t = t0. Từ đó, lý luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 2.1.7, ta được
χ(F−1(t0)∩l−δ1(Di)) = d,
và
χ(F−1(t)∩l−1δ (Di))= d −ri,
trong đód = deg(f −t0g)và ri là bội của điểm tới hạn Pi(t)của ánh xạlt. Áp dụng dãy khớp Mayer-Vietoris, ta được
χ(F−1(t0)\ K)−χ(F−1(t)\K) = m X
i=1
ri , 0.
Kết hợp với Bổ đề 3.2.6, ta cóχ(F−1(t)) , χ(F−1(t0))với mọitđủ gầnt0.
Vậy
t0 ∈ B∞(F).
Tiếp theo, gọiδ(y,t) = discx(f −tg)là biệt thức của f −tgtương ứng với x. Khi
đó, tập điểm tới hạn củalt là
{(x,y) : (f −tg)(x,y)= 0, δ(y,t) = 0}.
Theo Bổ đề 3.2.3, với mọiδ > 0đủ nhỏ vàt ∈ Dδ(t0)thìlt là ánh xạ riêng. Bởi vậy, khit → t0, nếu(x(t),y(t))là điểm tới hạn của lt thì
k(x(t),y(t))k → ∞khi và chỉ khi |y(t)| → ∞. Ta viết
δ(y,t) = qk(t)yk+qk−1(t)yk−1 +. . .+q0(t).
Dễ thấy rằng, tồn tại nghiệm củaδ(y,t)= 0chạy ra vô hạn khi và chỉ khiqk(t0) = 0. Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lý 3.2.7.
Hệ quả 3.2.8. Cho F = f/g : C2 \ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong đó
f,g ∈ C[x,y]khơng có nhân tử chung khác hằng, và cho t0 ∈ C\(K0(F)∪K1(F)),
sao cho
deg(f −t0g) = degx(f −t0g) = max{deg f,degg}.
Khi đó,t0 ∈ B∞(F)khi và chỉ khi qk(t0) = 0.
Đối với các hàm hữu tỷ hai biến, kết quả tương tự với Định lý 1.1.9 vẫn còn đúng.
Định lý 3.2.9. Cho F = f/g : C2 \ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ và t0 ∈
C\(K0(F)∪ K1(F)) sao cho deg(f −t0g) = max{deg f,degg}. Khi đó, hai khẳng
định sau là tương đương: (i) t0 ∈ B∞(F);
(ii) tồn tại tập compact K ⊂ C2 sao cho
χ(F−1(t0)\ K) > χ(F−1(t)\K),
với mọit đủ tổng quát.
Chứng minh. (i) =⇒ (ii): Xét K = U(a, δ) = {|L| 6 a} ∩ F−1(Dδ(t0)). Theo chứng minh của Định lý 3.2.7, khia đủ lớn và δđủ nhỏ thì
χ(F−1(t0)\ K)−χ(F−1(t)\K) = ρ,∀t ∈ Dδ(t0),
trong đó ρ là số điểm tới hạn P(t), đếm cả bội, của ánh xạ lt mà kP(t)k → ∞ khi
t → t0.
Vìt0 ∈ B∞(F), nên theo Định lý 3.2.7 ta cóρ , 0. Vậy χ(F−1(t0)\K)> χ(F−1(t)\K)
với mọitđủ gầnt0. (ii)=⇒(i): Gọi K là tập compact sao cho χ(F−1(t0)\ K) > χ(F−1(t)\K).
Bằng phản chứng, giả sử rằngt0 < B∞(F). Vìt0 < K0(F)∪K1(F)nênFxác định một phân thớ tầm thường lớpC∞tạit0. GọiDlà lân cận củat0 vàΦ:F−1(D)→ F−1(t0)×D
là một vi phơi làm tầm thường hóa F|F−1(D), tức là làm cho lược đồ
F−1(D) F F '' Φ//F−1(t0)×D pr2 D
giao hốn. Khi đó hạn chếΦ|F−1(D)\K cho ta vi phơi làm tầm thường ánh xạ
F|F−1(D)\K: F−1(D)\K → D.
Do đó
χ(F−1
(t)\ K) = χ(F−1
(t0)\K)
với mọitđủ gầnt0. Trái với giả thiết.
Vậy t0 ∈ B∞(F).
Định lý 3.2.10. Cho F = f/g : C2 \ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong đó
f,g ∈ C[x,y]khơng có nhân tử chung khác hằng. Chot0 ∈ C\(K0(F)∪K1(F))sao cho
deg(f −t0g) = degx(f −t0g) = max{deg f,degg}.
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i)t0 ∈ B∞(F);
(ii)χ({f −t0g = 0}) > χ({f −tg = 0})với mọit đủ tổng quát; (iii) χ(F−1(t0)) > χ(F−1(t)) với mọitđủ tổng quát.
Chứng minh. Định lý này được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 3.2.6 và Chứng minh Định
lý 3.2.7.