Trong phần này, chúng tôi dùng phiên bản (của đối ngẫu) của đồng cấu chuyển đại số trên trang E2 của dãy phổ May, đã xây dựng trong Mục 3.2, để nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng 4. Cụ thể, chúng tôi chứng minh các
họ {di ∈ Ext4,18·2A i(F2,F2) : i ≥ 0}; {ei ∈ Ext4,21·2A i(F2,F2) : i ≥ 0}; {fi ∈
Ext4,22·2A i(F2,F2) : i ≥ 0}; {pi ∈ Ext4,37·2A i(F2,F2) : i ≥ 0} nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển hạng4; vàg1 ∈ Ext4,20A (F2,F2)không nằm trong ảnh củaT r4. Các
trong[13]. Sự kiệnpinằm trong ảnh của T r4 đã được thông báo bởi N. H. V. Hưng- V. T. N. Quỳnh trong[33]. Trong mục này, chúng tôi đưa ra một chứng minh khác,
sử dụng dãy phổ May.
Bổ đề 3.4.1. Cho x¯ là một đại diện, trên trang E2 của dãy phổ May, của x ∈
TorAs,s+t(F2,F2). Nếu E1ψs(¯x)là một chu trình vĩnh cửu khơng tầm thường thì x∗, đối ngẫu củax, nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Chứng minh. Trong giải thức bar,xcó một đại diện là
x= ¯x+x0,
trong đóx0có bậc lọc nhỏ hơn bậc lọc củax.¯
Do đó,
ψs(x) = E1ψs(¯x) +X,
trong đóX có bậc lọc nhỏ hơn bậc lọc củaE1ψs(¯x).
VìE1ψs(¯x)là một chu trình vĩnh cửu khơng tầm thường nên, do Mệnh đề 3.3.5,
E1ψs(¯x)không bị “hit” trongPs và không tồn tại một đa thức không bị “hit”f nào sao chof −E1ψs(¯x)bị “hit” trongPs.
Do đó,ψs(x) =E1ψs(¯x) +X khơng bị “hit” trongPs.
Như vậy,x∗, đối ngẫu củax, nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Mệnh đề sau đây là kết quả chính thứ nhất của mục này.
Mệnh đề 3.4.2. Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod
(i) d0 ∈Ext4,18A (F2,F2),
(ii) e0 ∈Ext4,21A (F2,F2),
(iii) f0 ∈ Ext4,22A (F2,F2), và
(iv) p0 ∈Ext4,37A (F2,F2)
nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Vì tốn tử Kameko và tốn tử Sq0 cổ điển giao hốn với nhau thơng qua đồng cấu chuyển đại số (xem [51]), nên ta có hệ quả sau đây.
Hệ quả 3.4.3. Các họdi,ei,fi, vàpi, vớii≥ 0, nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển
đại số.
Chứng minh của Mệnh đề 3.4.2 được chia thành bốn phần tương ứng với bốn phát biểu trong mệnh đề.
Chứng minh (i). Theo Tangora [74], trong trangE1 của dãy phổ May, d0 có một đại diện là
¯
d0 =R20,2R21,2+R21,1R20,3.
Đối ngẫu củad0,d∗0có một đại diện, trong trang E1 của dãy phổ May, là
¯
d0∗ = {P11|P11} ∗ {P30|P30}.
Khi đó, dùng Hệ quả 3.2.7, ta nhận được
E1ψ4( ¯d0∗) =x1x2x63x64+tất cả các hốn vị của nó.
Hơn nữa, ta cóE1ϕ4( ¯d0∗)là một chu trình vĩnh cửu khơng tầm thường.
Thật vậy, bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta thấy E1ψ4( ¯d0∗) không bị “hit” trong
P4. NếuE1ψ4( ¯d0∗)là chu trình vĩnh cửu tầm thường thì, do Mệnh đề 3.3.5, tồn tại đa thức không bị “hit”X ∈ FpP4tại bậc 14, vớip < −4, sao choX−E1ϕ4( ¯d0∗)bị “hit” trongP4. Dùng Định lý 1.1.4, ta chỉ cần xétXlà tổng của các đơn thứcx1x2x43x84,x1x42x43x54 cùng các hốn vị của chúng. Nhưng vì x1x2x43x84 = x1x2Sq6(x23x44) = χ(Sq6)(x1x2)(x23x44) (modAP4) = x41x42x23x44 = 0 (modAP4); x1x42x43x54 = x1x4Sq6(x22x23x24) = χ(Sq6)(x1x4)(x22x23x24) (modAP4) = x41x22x32x64 = 0 (modAP4),
nênX bị “hit” trongP4.
Như vậy, dùng Bổ đề 3.4.1,d0 nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Chứng minh (ii). Tương tự, theo Tangora [74], trong trangE1 của dãy phổ May,
e0 có một đại diện là
¯
Đối ngẫu củae0,e∗0có một đại diện, trong trangE1của dãy phổ May, là
¯
e0∗ = {P21|P21} ∗ {P11} ∗ {P30}.
Dùng Hệ quả 3.2.7, ta nhận được
E1ψ4( ¯e0∗) = x1x52x53x64+tất cả các hoán vị của nó.
Ta cóE1ψ4( ¯e0∗)là một chu trình vĩnh cửu khơng tầm thường vìE1ψ4( ¯e0∗)khơng bị “hit” trongP4 và, do Định lý 1.1.4, không tồn tại đơn thức không bị “hit”mnào,
m∈ FpP4 tại bậc 17, vớip <−4.
Như vậy, dùng Bổ đề 3.4.1,e0 nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Chứng minh (iii). Trong trang E1 của dãy phổ May, f0 có một đại diện là f¯0 =
R22,1R20,3. Đối ngẫu củaf0,f0∗ có một đại diện, trong trangE1 của dãy phổ May, là
¯ f0∗ = {P12|P12} ∗ {P30|P30}. Do đó, dùng Hệ quả 3.2.7, ta nhận được E1ψ4( ¯f0∗) =x31x32x63x64+tất cả các hốn vị của nó. Vì x31x32x63x64 =P10(x31x32x53x46) +x41x32x53x64+x31x42x53x64, suy ra E0(x31x32x63x64) = P10E0(x31x32x53x64),
nênE1ψ4( ¯f0∗)bị “hit” trongE−4,220 P4, và do đó nó tầm thường trongE−4,4,18∞ (P4).
Trên giải thức bar, ta có
∂( ¯f0∗) ={P12P12} ∗ {P30|P30} ∈ F−6B(A;F2),
do đóf0∗ = ¯f0∗+x+y, trong đóx ∈F−5B(A;F2)sao cho
∂(x) = ∂( ¯f0∗) +hạng tử có bậc lọc nhỏ hơn,
vày ∈ FpB(A;F2)sao chop < −5. Bằng cách tính tốn trực tiếp, ta nhận được
Khi đó
ψ4(f0∗) =ψ4( ¯f0∗) +E1ψ4(x) +z
=x31x32x63x64+x61x62x33x34+x31x32x43x84+x41x82x33x34+Z,
trong đóZ ∈FpP4 vớip < −5.
Phần tửZ bị “hit” trongP4 vì khơng tồn tại một đơn thức khơng bị “hit”mnào,
m∈ FpP4 tại bậc 18, vớip <−5. Thật vậy, do Định lý 1.1.4, ta chỉ cần xét các đơn thức x1x2x43x124 , x1x2x83x84, x1x42x43x94,x1x42x53x84,x41x42x53x54 và các hoán vị của chúng. Mặt khác, ta có x1x2x43x124 = x1x2Sq8(x23x64) = χ(Sq8)(x1x2)x23x64(modAP4) = x21x82x23x64+x81x22x23x64 = 0 (modAP4); x1x2x83x84 = x1x2Sq8(x43x44) = χ(Sq8)(x1x2)x43x44(modAP4) = x21x82x43x44+x81x22x43x44 = 0 (modAP4); x1x42x43x94 = x1x4Sq8(x22x23x44) = χ(Sq8)(x1x4)x22x23x44 (modAP4) = x21x22x23x124 +x81x22x23x64 = 0 (modAP4); x1x42x53x84 = x1x3Sq8(x22x23x44) = χ(Sq8)(x1x3)x22x23x44 (modAP4) = x21x22x103 x44+x81x22x43x44 = 0 (modAP4); x41x42x53x54 = x3x4Sq8(x21x22x23x24) = χ(Sq8)(x3x4)x21x22x23x24(modAP4) = x21x22x43x104 +x21x22x103 x44 = 0 (modAP4).
Hơn nữa, bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta có
x31x32x63x64+x61x62x33x34 +x31x32x43x84+x41x82x33x34
khơng bị “hit” trongP4. Do đó,[ψ4(f0∗)]khơng tầm thường trongF2 ⊗A P4.
Chứng minh (iv). Theo Tangora [74], p0 có một đại diện, trên trang E1 của dãy phổ May, làR0,1R3,1R2
1,3, nên đối ngẫu của nó,p∗0có một đại diện, trên trangE1của dãy phổ May, là
¯
p0 ={P13} ∗ {P10} ∗ {P31|P31}+{P13|P13} ∗ {P21} ∗ {P40}.
Do Hệ quả 3.2.7, ảnh của phần tử này quaE1ψ4 là
˜
p0 =x01x72x133 x134 +x71x72x53x144 +tất cả các hoán vị của chúng. Vì Ví dụ 3.3.3 và
E0(x71x72x53x144 ) = P11E0(x71x72x33x144 ),
nênE0(˜p0)bị “hit” trongE0P4. Do đó,E0(˜p0)là một chu trình vĩnh cửu tầm thường. Bằng cách tính tốn trực tiếp, ta thấy rằng trên giải thức bar,
p∗0 = ¯p0+x+y+z+t, trong đó x ={P12|P22} ∗ {P21} ∗ {P40} ∈ F−5B(A;F2); y ={P20|Sq(6)} ∗ {P31|P31} ∈ F−6B(A;F2); z ={P40|P30} ∗ {P10} ∗ {P31}+{Sq(7)|P40} ∗ {P10} ∗ {P31} +{P30|Sq(4,1)} ∗ {P13} ∗ {P40}+{P30|Sq(7)} ∗ {P13} ∗ {P40} +{Sq(0,3)|P30} ∗ {P21} ∗ {P40}+{P30|P20|P22} ∗ {P40} +{P30|Sq(3)|P22} ∗ {P40}+{P12|P20|P40} ∗ {P40}+{P20|Sq(5)|P40} ∗ {P31} +{P20|P12|P40|P40}+{Sq(6)|P40|P40} ∗ {P10} ∈ F−7B(A;F2); t ={P10|Sq(6,3)} ∗ {P21} ∗ {P40}+{P10|Sq(5,3)|P30} ∗ {P40} +{P30|P30|Sq(2,2)} ∗ {P40} ∈ F−9B(A;F2).
Ta muốn tính ảnh củap∗0 qua ánh xạ ở mức độ dây chuyềnψ4. Để đơn giản ký hiệu,
ta viết(a, b, c, d)thay cho đơn thứcxa
1xb
2xc
3xd
4 ∈ P4, và dùng ký hiệu ∗cho tốn tử tương tự như tích ken. Ví dụ,
(a, b, c)∗(d) = (a, b, c, d) + (a, b, d, c) + (a, d, b, c) + (d, a, b, c).
Chú ý rằng chúng tôi chỉ quan tâm đến ảnh modulo các phần tử bị “hit”. Việc tính tốn giảm đi đáng kể nhờ vào quan sát sau đây.
Bổ đề 3.4.4. Chof là một đơn thức bậc 33 trong P4.
(i) Nếuf có đúng một thành phần lũy thừa lẻ thìf bị “hit”. (ii) Nếuf ∈F−9P4thìf bị “hit”.
Chứng minh. Vìα(33 + 1) > 1, kết luận thứ nhất suy ra trực tiếp từ Định lý 1.1.4.
Do đó ta chỉ cần quan tâm các đơn thức đúng 3 thành phần lũy thừa lẻ. Với phát biểu thứ hai, khơng có đơn thức bậc 33 nào với 3 thành phần lũy thừa lẻ có bậc lọc nhỏ hơn−8.
Từ bổ đề trên, ảnh củat bị “hit” trongP4. Sai khác các phần tử bị “hit”, ảnh của p∗0 là ψ4(p∗0) = X + (12)X + (132)X + (1432)X +Y, trong đó X =x01x72x133 x134 +x01x213x73x134 +x10x132 x133 x74 +x01x132 x173 x34+x01x172 x133 x34+x01x172 x33x134 ; Y = (7,7)∗(5)∗(14) + (16,5,7)∗(5) + (18,3,7)∗(5) + (20,1,7)∗(5) + (11,3,14)∗(5) + (11,3)∗(5)∗(14) + (5,2)∗(13,13) + (17,1,2)∗(13) + (14,9,3,7) + (9,14,3,7) + (9,3,14,7) + (7,14,3,9) + (7,9,3,14) + (14,7,3,9) + (9,3,7,14) + (9,7,3,14) + (20,1,5,7) + (16,9,1,7) + (9,16,1,7) + (5,16,9,3) + (9,5,16,3) + (18,3,9,3) + (9,3,18,3) + (9,5,14,5) + (9,5,5,14) + (5,9,5,14).
Ký hiệu(12),(132),(1432)là các phần tử trong nhóm đối sứngS4, tác động của nó
hốn vị bốn biến của P4. Phần tử (12)X là phần tử nhận được từ X bằng cách tác động hốn vị(12) lên. Vì
X =Sq6(x72x133 x74) +Sq4(x72x133 x94+x92x133 x74+x132 x133 x34) +x132 x73x134 +x172 x33x134 (modAP4)
=Sq2(x132 x73x114 +x172 x33x114 ) +Sq4(x132 x35x114 )(modAP4), nênX,(12)X,(132)X và(1432)X bị “hit” trongP4.
Chúng ta cũng có thể đơn giảnY. Nhận thấy rằng
+ (7)∗(9)∗(3)∗(14) + (7,7)∗(3)∗(16) +hạng tử khác; (7,7)∗(3)∗(16) =Sq8((7,7)∗(3)∗(8)) +Sq4((11,11)∗(3)∗(4)) + (13,13)∗(3)∗(4) +hạng tử khác; (7)∗(9)∗(3)∗(14) =Sq4((7)∗(5)∗(3)∗(14)) +Sq2((7)∗(5,5)∗(14)) + (11)∗(5)∗(3)∗(14) + (7)∗(5)∗(3)∗(18) +hạng tử khác; (7)∗(5)∗(3)∗(18) =Sq8((7)∗(5)∗(3)∗(10)) +Sq4((7)∗(9)∗(3)∗(10)) +Sq2((11)∗(5,5)∗(10)) + (13)∗(5)∗(3)∗(10) +hạng tử khác,
trong đó “hạng tử khác” nghĩa là các đơn thức hoặc bị “hit” hoặc có bậc lọc nhỏ hơn−5. Điều đó chứng tỏ rằng
Y = (3,5)∗(11)∗(14) +Y2 (modulo các phần tử bị “hit”),
trong đóY2nằm trongFpP4vớip < −5. Như vậy,E1(Y) =E1((3,5)∗(11)∗(14))∈
E−5,5,331 (P4).
Bổ đề 3.4.5. Y1 = (3,5)∗(11)∗(14) là một chu trình vĩnh cửu khơng tầm thường của dãy phổ May choP4.
Phép chứng minh của bổ đề này là sơ cấp nhưng địi hỏi kỹ thuật, nên chúng tơi sẽ trình bày trong Mục 3.6.
Giả sử Bổ đề 3.4.5 đã được chứng minh, khi đóψ4(p∗0)khơng bị “hit” trongP4. Như vậy,p0 nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Nhận xét 3.4.6. x¯ là một đại diện của x ∈ TorAs,s+t(F2,F2)trên trang E1 của dãy phổ May và E1ψs(¯x)không sống đến vơ cùng, khi đó ψs(x) khơng nhất thiết tầm thường trongF2⊗A Ps.
Mệnh đề sau đây là kết quả chính thứ hai của phần này.
Mệnh đề 3.4.7. Phần tử g1 ∈ Ext4,24A (F2,F2)không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Chứng minh. Trên trangE1 của dãy phổ May, g1 có một đại diện làg¯1 = R4
1,2. Đối ngẫu củag1,g1∗có một đại diện, trên trangE1của dãy phổ May, là
¯
Do đó,
E1ψ4(¯g1∗) =x15x52x53x54.
Ta có,
x51x52x53x54 = Sq8(x21x22x23x24)x1x2x3x4
= x21x22x32x24χ(Sq8)(x1x2x3x4)(modAP4)
= x101 x42x33x34 +tất cả các hoán vị của nó (modAP4).
Do Định lý 1.1.4,x10 1 x4
2x3 3x3
4bị “hit” trongP4.
Trên giải thức bar,g1∗ = ¯g1∗+x, trong đóxnằm trongFpB(A;F2)vớip < −4.
Vì thế cho nên
ψ4(g∗1) = E1ψ4(¯g∗1) +X,
trong đóX ∈FpP4 vớip < −4.
Do Định lý 1.1.4, không tồn tại đơn thức không bị “hit”mnào,m ∈FpP4tại bậc 20, vớip <−4. Suy raX bị “hit” trongP4, và do đóψ4(g1∗)bị “hit” trongP4.
Như vậy,g1 khơng nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng4.
Lưu ý rằng phương pháp của chúng tôi chưa chứng tỏ được các phần tử khác trong họgi, i ≥ 1, không nằm trong ảnh củaT r4. So vớig1, các phần tử khác trong
họgiđược đại diện, trên dãy phổ May, bởi các chu trình có bậc lọc khơng đổi, nhưng bậc trong tăng lên. Điều này đã làm tăng độ phức tạp cho những tính tốn khi dùng
E2ψs để khảo sát các phần tử khác trong họgi(kết quả chính trong [13]).
3.5. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng cao
Sử dụng cùng phương pháp trong Mục 3.4, chúng tôi nhận được một số kết quả mới về ảnh của đồng cấu chuyển đại số ở hạng cao hơn.
Định lý sau đây là kết quả chính của mục này.
Định lý 3.5.1. Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod
(i) h1P h1 ∈Ext6,16A (F2,F2),
(ii) h2
0P h2 ∈Ext7,18A (F2,F2),
(iii) hn
(iv) hn0j ∈ ExtA7+n,33+n(F2,F2),0≤ n≤ 2,
không được phát hiện bởi đồng cấu chuyển đại số.
Chú ý rằngh60i = h30j = 0 (xem [11]), nên kết quả (iii) và (iv) đã cho ta đầy đủ thông tin về cách0 tháp củaivàj.
Chú ý thêm rằng chiều của các phần tử trong định lý này vượt xa chiều của bài toán “hit” được biết đến cho đến thời điểm hiện tại.
Hệ quả 3.5.2([63], [61]). P h1 ∈ Ext5,14A (F2,F2)và P h2 ∈ Ext5,16A (F2,F2)không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Việc các phần tử này không được phát hiện bởi đồng cấu chuyển đại số đã được chứng minh bởi Singer [63] và V. T. N. Quỳnh [61] tương ứng. Chứng minh của chúng tơi hồn tồn khác và ít tính tốn hơn.
Chứng minh Hệ quả 3.5.2. Ta biết rằng đại số con của đối đồng điều của đại số Steenrod sinh bởi cáchi nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số. Như vậy, nếu
P h1 hoặcP h2được phát hiện, thì h1P h1 hoặch20P h2 cũng được phát hiện vì đồng cấu chuyển là một đồng cấu đại số.
Chứng minh của Định lý 3.5.1 được chia thành bốn phần tương ứng với bốn phát biểu trong định lý.
Chứng minh (i). Theo Tangora [74], một đại diện củah1P h1 trong trangE1 của dãy phổ May làR21,1R40,2. Do đó, đối ngẫu của nó có một đại diện là
X ={P11|P11} ∗ {P20|P20|P20|P20} ∈ E1,
Dùng Hệ quả 3.2.7, ảnh củaX quaE1ψ6là
E1ψ6(X) =x1x2x23x42x25x26+tất cả các hốn vị của nó
=Sq4(x1x2x3x4x5x6).
Do đó,E1ψ6(X)bị “hit” trongP6. Trên giải thức bar, (h1P h1)∗ có một đại diện là
X +x, trong đóx ∈ FpB(A;F2)với p <−4. Như vậy, nếu h1P h1 được phát hiện thì
ψ6((h1P h1)∗) = E1ψ6(X) +y,
trong đóy ∈ FpP6 vớip < −4, khơng bị “hit” trongP6. Mặt khác, dễ dàng kiểm tra
thấy rằng chỉ có các đơn thứcx41x42x23x04x05x06 (hoặc hốn vị của nó) là có thể. Nhưng ta có thể thấy rằng nó bị “hit” trongP6.
Chứng minh (ii). Chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp (i). Do đó, chúng tơi chỉ nêu tóm tắt chứng minh. Theo Tangora [74], ta biết đại diện của
h20P h2là h2 0P h2∗ = {P10}2 ∗ {P12} ∗ {P20}4+{P10}3 ∗ {P11} ∗ {P20}2 ∗ {P30},
trong đó ký hiệu{a}n = {a|. . .|a}(nnhân tử). Dùng Hệ quả 3.2.7, ảnh của nó qua
E1ψ7 là
x01x02x33x24x25x26x27+x01x02x03x4x25x26x67+tất cả các hốn vị của chúng,
và nó bị “hit” trongP7. Lặp lại tương tự q trình trên ta nhận được rằng khơng có
một đa thức không bị “hit” nào trongFpP7 tại bậc 11 với p < −4. Do đó, ta nhận
đươc kết luận.
Chứng minh (iii). Dễ thấy rằng ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 5.
Theo Tangora [74], h50i có một đại diện, trên trang E1 của dãy phổ May, là h5 0i =
R60,1R20,2R0,32 (R1,1R0,3+R1,2R0,2). Do đó đối ngẫu của nó,(h50i)∗, có một đại diện, trong trangE1 của dãy phổ May, là
(h50i)∗ = {P20}2 ∗ {P30}3 ∗ {P11} ∗ {P10}6 +{P20}3 ∗ {P30}2 ∗ {P21} ∗ {P10}6 . Dùng Hệ quả 3.2.7, ta nhận được E1ψ12(h50i∗) =x01· · ·x60x17x28x29x610x116 x612+x01· · ·x06x27x28x29x510x611x612 +tất cả các hoán vị của chúng.
Dùng Định lý 1.1.4, ta nhận đượcE1ψ12(h50i∗)bị “hit” trongP12.
Dễ dàng kiểm tra rằng(h50i)∗là một đại diện của(h50i)∗trên giải thức bar. Do đó,
ψ12((h50i)∗) =E1ψ12(h5
0i∗) +X,
trong đóX ∈FpP12 vớip < −8.
Dùng Định lý 1.1.4 lần nữa, ta nhận đượcXbị “hit” trongP12. Như vậy,ψ12((h50i)∗)
bị “hit” trongP12.
Chứng minh (iv). Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 2. Theo Tangora