Phương pháp trắc ngang cân bằng và các phiên bản cải tiến của Bruun (1962) có xét sự gia tăng mực nước do sự kết hợp của thủy triều, sóng bão và do sóng được sử dụng để tính tốn sự biến đổi đường bờ cân bằng yeq(t). Mặc dù khả năng áp dụng khái niệm trạng
thái cân bằng trong vùng ven bờ vẫn còn là vấn đề gây tranh luận (Thieler, 2000) nhưng các tác giả Bruun (1954) và Dean (1977) đã minh họa các công thức xác định trắc ngang cân bằng, biểu thức h =Ay2/3 phù hợp với trắc ngang ven bờ tại các vị trí ở Mỹ và Đan Mạch. Tác giả Dean cũng chỉ ra rằng trắc ngang cân bằng cũng được rút ra từ nghiệm giải tích dựa trên giả thiết năng lượng tán xạ thơng qua vùng sóng đổ là đồng nhất. Cuối cùng, Moore (1982) và Dean (1991) đã xây dựng các quan hệ thực nghiệm dạng đồ họa giữa các tham số hình dạng của trắc ngang và đặc trưng trầm tích như kich thước hạt D50 và tốc độ lắng đọng. Quy luật của Bruun đã cho thấy sự biến đổi đường bờ do sự gia tăng mực nước, S. Nếu giả thiết rằng toàn bộ trắc ngang dịch chuyển theo đường mực nước mà khơng có sự
thay đổi hình dạng và thể tích trầm tích được bảo tồn thì sự biến đổi đường bờ Δy được xác định theo biểu thức saụ
∆𝑦 = −𝑆 𝑊∗
∗+ 𝐵 (2.6)
với h* và W* là bậc đại lượng theo phương ngang và phương thẳng đứng của trắc ngang; B là độ cao của thềm bãi (Berm).
Phương trình (2.6) phù hợp với sự biến đổi đường bờ khơng có sự tác động của sóng. Các nghiên cứu gần đây chỉ ra rằng sự gia tăng mực nước kết hợp với sóng gây ra biến đổi đường bờ đáng kể hơn vai trò của sự gia tăng mực nước đối với biến đổi đường bờ. Hình 2.1 minh họa trường hợp cải tiến nàỵ Ở đó, mực nước do sóng thay thế mực nước ngang trắc ngang. Giả thiết thể tích trầm tích xói mịn phía trong bờ cân bằng với thể tích bồi lắng phía xa bờ và hình thành trắc ngang cân bằng duy trì khơng thay đổi đối với mực nước gia tăng. Như vậy, có được phương trình bảo tồn thể tích sau:
𝐵 − 𝑆 − 𝜂 𝑑𝑦 0 ∆𝑦 + 𝐴 𝑦 − ∆𝑦 2/3𝑑𝑦 𝑊∗+∆𝑦 ∆𝑦 = 𝐴𝑦2/3𝑑𝑦 𝑊∗+∆𝑦 0 + 𝑆 + 𝜂 (𝑦) 𝑑𝑦 𝑊∗+∆𝑦 0 (2.7)
Sau khi tích phân thu được: ∆𝑦 𝑊∗ + 3∗ 5𝐵 1 + ∆𝑦 𝑊∗ 5/3 = ∗ 𝐵 5 3− 𝐾 1 − 𝑘 − 𝑆 𝐵− 𝜂 𝐵 (2.8) với 𝐾 =1+ 3𝜅3𝜅2/82/8
Trong đó, κ là chỉ số sóng vỡ giới hạn theo độ sâụ Phương trình (2.8) cho thấy sự biến đổi đường bờ phi thứ nguyên (Δy/W*) có quan hệ với độ cao thềm bãi phi thứ nguyên (B/h*), mực nước dâng do sóng (η/B). Sự biến đổi phi thứ nguyên là nhỏ và với κ =0.78 thì (2.8) rút gọn thành:
∆𝑦𝑒𝑞 𝑡 = −𝑊∗(𝑡) 0.068𝐻𝑏 𝑡 + 𝑆
𝐵 + 1.28𝐻𝑏 𝑡 (2.9)
Trong đó:
B là độ cao của thềm bãi,
W*(t) là độ rộng của vùng sóng đổ - được xác định là khoảng cách từ thềm bãi
đến điểm sóng đở:
W* = (Hb/κA)3/2
(2.10)
Độ cao sóng và chỉ số sóng vỡ được sử dụng để rút ra phương trình trên được giả thiết là khơng đổi hoặc là điều kiện trung bình. Một dạng khác của phương trình trên được rút ra đối với độ cao sóng có nghĩa, ở đó κ = 0,5 và các hệ số ở tử số và mẫu số tương ứng là 0,106 và 2,0. Các đại lượng trong phương trình (2.9) thể hiện sự phụ thuộc vào thời gian, độ cao của thềm bãi B được coi là hằng số.
Phương trình (2.9) mơ tả sự biến đổi đường bờ từ điều kiện đường bờ cơ sở. Do vậy để chuyển đổi các giá trị theo thời gian của các vị trí đường bờ cân bằng thì điều kiện đường bờ cơ sở phải được xác định.
Nếu giả thiết đường bờ cơ sở là đường bờ trung bình được đo đạc thì phương trình (2.9) cho ta vị trí đường bờ cân bằng. Tuy nhiên, giả thiết này khơng chính xác khi các điều kiện đường bờ cơ sở đối với đường bờ cân bằng và đường bờ tức thời không nhất thiết trùng nhaụ Trong thực tế, có sự tranh luận về điều này [Wright, 1995] và vị trí đường bờ trung bình đại diện điều kiện khơng cân bằng trung bình. Để
tính đến khoảng cách tiềm ẩn này trong các điều kiện đường bờ cơ sở thì tham số hiệu chỉnh Δy0 được lựa chọn trong bước hiệu chỉnh mơ hình. Sau khi hiệu chỉnh, đường bờ cơ sở được lựa chọn thì sự dịch chuyển đường bờ cân bằng được xác định từ phương trình sau:
𝑦𝑒𝑞 𝑡 = ∆𝑦0+ ∆𝑦𝑒𝑞 𝑡 (2.11)
Hệ số kt trong (2.1) được tách ra thành hệ số xói mịn ke và hệ số bồi lắng ka. Các hệ số này được xác định theo hai phương pháp khác nhaụ
Thứ hai, tham số dạng phi thứ nguyên xét trong mối quan hệ với cả các đặc trưng sóng và trầm tích.
Trong cả hai phương pháp thì dạng cuối cùng của kt = kαf(t), với f(t) là hàm
tham số phụ thuộc thời gian. Giá trị của kα cho mỗi một mô phỏng nhận được từ việc hiệu chỉnh mơ hình. Hàm f(t) có thể được lựa chọn tính theo các cơng thức sau:
1. Dạng hàm của Gourlay (1968), Dean (1973): 𝑓 𝑡 = 𝐻𝑏(𝑡)
𝑊𝑠𝑇(𝑡) (2.12)
2. Dạng hàm của số Froude theo Kraus (1981), Darlrymple (1992): 𝑓 𝑡 = 𝑊𝑠
𝑔𝐻𝑏(𝑡) (2.13)
3. Hàm nghịch đảo của số Froude 𝑓 𝑡 = 𝑊𝑠
𝑔𝐻𝑏(𝑡)
−1
(2.14)
4. Dạng hàm của tham số trắc ngang theo Darlrymple (1992): 𝑓 𝑡 = 𝐻𝑏(𝑡)
𝑊𝑠3𝑇(𝑡) (2.15)
5. Hàm của các tham số bề mặt theo Battjes (1974): 𝑓 𝑡 = 𝐻𝑏(𝑡) 𝐿0 𝑇𝑎𝑛(𝛽) 2 (2.16) Trong đó: Hb(t) là độ cao sóng vỡ, T là chu kỳ sóng, Ws là vận tốc lắng đọng của trầm tích, g là gia tốc trọng trường, β là độ dốc bãi biển,
2.1.3. Thuật tốn tự hiệu chỉnh mơ hình
Mơ hình gồm 3 hệ số hiệu chỉnh: 𝛥𝑦0, ka (hệ số bồi) và ke (hệ số xói mịn) Hệ số 𝛥𝑦0 là độ lệch của đường bờ cân bằng so với đường bờ cơ sở. Hệ số thể hiện tốc độ biến đổi đường bờ ka và ke.
Các hệ số được đánh giá thông qua việc so sánh giữa dữ liệu đường bờ thực đo và tính tốn dựa vào hàm sai số bình phương quân phương J:
𝐽(𝑘𝑎, 𝑘𝑒, Δ𝑦0) = 𝑦𝑜𝑏 𝑡 − 𝑦𝑝𝑟(𝑘𝑎, 𝑘𝑒, Δ𝑦0)2 𝑛
1
(2.17)
Với 𝑦𝑜𝑏 𝑡 là vị trí đường bờ thực đo tại thời điểm t, 𝑦𝑝𝑟(𝑘𝑎, 𝑘𝑒, Δ𝑦0) là vị trí đường bờ tính tốn tại thời điểm t, n là số lần có dữ liệu quan trắc.
Các giá trị vị trí đường bờ tính tốn sẽ thích hợp nhất khi hàm J đạt giá trị Jmin. Thủ tục tự hiệu chỉnh mơ hình được trình bày trong hình dưới đây sẽ lựa chọn được các giá trị 𝑘𝑎, 𝑘𝑒, Δ𝑦0 tương ứng để hàm J đạt giá trị Jmin.