2.2 Tính ổn định của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ
2.2.2 Tính ổn định tiệm cận tồn cục của điểm cân bằng
Nội dung của phần này đã được công bố trong bài báo [1] thuộc danh mục các cơng trình của tác giả liên quan đến luận án.
2.2.2 Tính ổn định tiệm cận tồn cục của điểm cân bằng
Ở phần này, ta sẽ chỉ ra độ dài liên tiếp của các nửa chu kỳ dương và nửa chu kỳ âm của nghiệm khơng tầm thường của phương trình (2.30) xuất hiện tuần hồn. Ta cũng chứng minh được điểm cân bằng dương của phương trình (2.30) là ổn định tiệm cận toàn cục.
Trước hết, ta thấy điểm cân bằng dương x¯ của phương trình (2.30) thỏa mãn ¯ x = 2¯x 2 +a ¯ x3 + ¯x+a. (2.32)
Từ phương trình (2.32) ta có x¯= 1.
Sau đây ta sẽ trình bày một số định nghĩa cần thiết sử dụng trong các phần sau.
Định nghĩa 2.1. Một nửa chu kỳ dương của nghiệm {xn}∞n=−3 là một "xâu" các số hạng {xl, xl+1, . . . , xm}, tất cả đều lớn hơn hoặc bằng x, với l ≥ −3 và m ≤ ∞, thỏa mãn
hoặc l = −3, hoặc l > −3 và xl−1 < x và
hoặc m = ∞, hoặc m < ∞ và xm+1 < x.
Một nửa chu kỳ âm của nghiệm {xn}∞n=−3 là một "xâu" các số hạng
{xl, xl+1, ..., xm}, tất cả đều nhỏ hơn x, với l ≥ −3 và m ≤ ∞, thỏa
mãn
hoặc l = −3 hoặc l > −3 và xl−1 ≥x và
hoặc m = ∞ hoặc m <∞ và xm+1 ≥ x.
Độ dài của nửa chu kỳ là số các số hạng có trong nửa chu kỳ đó. Định nghĩa 2.2. Nghiệm {xn}∞
n=−3 của phương trình (2.30) được gọi là tầm thường về cuối nếu tồn tại n0 > 0 để xn = ¯x= 1với mọi n≥ n0; nếu không, nghiệm được gọi là không tầm thường.
Trước khi nghiên cứu nghiệm dương của phương trình (2.30) ta thiết lập hai bổ đề, chúng đóng vai trò quan trọng trong phần chứng minh các kết quả chính.
Bổ đề 2.1. Nghiệm dương {xn}∞
n=−3 của phương trình (2.30) là tầm thường về cuối khi và chỉ khi
và
(x−2 −1)(x0 −1) = 0. (2.34) Chứng minh. Giả sử phương trình (2.33) đúng, từ phương trình (2.30) ta suy ra x2n+1 = 1 với n ≥ 0. Thật vậy, giả sử phản chứng
(x−3 −1)(x−1 −1) 6= 0, (2.35) ta sẽ chỉ ra x2n+1 6= 1 với bất kỳ n ≥ 0. Giả sử ngược lại, với một số
N ≥ 0 nào đó, x2N+1 = 1 và x2n+1 6= 1 với −2≤ n≤ N −1. (2.36) Ta thấy rằng 1 = x2N+1 = x2N−1x2N−3 +x 2 2N−1 +a x2 2N−1x2N−3 +x2N−1 +a, suy ra (x2N−3−1)(x2N−1−1) = 0 hay (x2(N−2)+1−1)(x2(N−1)+1−1) = 0.
Điều này trái với (2.36).
Lý luận tương tự như trên, nếu điều kiện (2.34) đúng, từ phương trình (2.30) ta cũng suy ra được x2n = 1 với n ≥ 1. Do đó, để nghiệm dương
{xn}∞n=−3 của phương trình (2.30) là tầm thường về cuối thì các điều kiện (2.33) và (2.34) phải đồng thời được thỏa mãn. Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 2.1. i) Nếu các giá trị ban đầu không thỏa mãn (2.33)và (2.34), khi đó với nghiệm bất kỳ {xn} của phương trình (2.30) ta có xn 6= 1
với n ≥ −3.
ii) Nếu các giá trị ban đầu thỏa mãn (2.33) nhưng không thỏa mãn (2.34), khi đó nghiệm {xn} của phương trình (2.30) có x2n+1 = 1 với n ≥0 và x2n 6= 1 với n ≥ −1.
iii) Nếu các giá trị ban đầu khơng thỏa mãn (2.33) nhưng thỏa mãn (2.34), khi đó nghiệm {xn} của phương trình (2.30) có x2n+1 6= 1 với n ≥ −2 và x2n = 1 với n ≥1.
Trong cả 3 trường hợp trên đây nghiệm đều là không tầm thường, ở phần này chúng ta chỉ nghiên cứu dáng điệu nghiệm khơng tầm thường của phương trình (2.30).
Bổ đề 2.2. Giả sử {xn}∞n=−3 là nghiệm dương của phương trình (2.30) với các giá trị ban đầu xi 6= 1, i = −3,−2,−1,0. Khi đó các khẳng định
sau là đúng với n≥ 0: (a) (xn+1−1)(xn−1 −1)(xn−3 −1)< 0; (b) (xn+1 −xn−1)(xn−1 −1) < 0; (c) (xn+1 −xn−3)(xn−3 −1) < 0; (d) (xn+1− 1 xn−1)(xn−1 −1)> 0; (e) (xn+1 − 1 xn−3)(xn−3 −1)> 0. Chứng minh. Từ phương trình (2.30) ta có: xn+1−1 = xn−1(1−xn−1)(xn−3 −1) x2n−1xn−3 +xn−1 + a , n = 0,1,2, . . .; xn+1 −xn−1 = (1−xn−1)[xn−1xn−3(1 +xn−1) + a] x2n−1xn−3 +xn−1 +a , n = 0,1,2, . . .; xn+1 −xn−3 = (1−xn−3)[x2n−1(1 +xn−3) +a] x2n−1xn−3 +xn−1 +a , n = 0,1,2, . . .; xn+1 − 1 xn−1 = (xn−1 −1)[xn−1(xn−1 + 1) +a] x2n−1xn−3 +xn−1 +a , n = 0,1,2, . . .; xn+1 − 1 xn−3 = (xn−3 −1)[xn−3(xn−3 + 1) +a] x2n−1xn−3 +xn−1 +a , n = 0,1,2, . . . .
Từ các đẳng thức trên ta suy ra được các khẳng định trong bổ đề là đúng.
Nhận xét 2.1. Các bất đẳng thức trong Bổ đề 2.2 vẫn còn đúng đối với các số hạng x2n với n ≥ −1 (tương ứng x2n+1 với n ≥ −2) của nghiệm
phương trình (2.30) trong trường hợp các giá trị ban đầu thỏa mãn (2.33) nhưng không thỏa mãn (2.34) (tương ứng không thỏa mãn (2.33) nhưng thỏa mãn (2.34)).
Sau đây ta sẽ trình bày những kết quả chính của phần này. Trước hết ta phân tích cấu trúc của các nửa chu kỳ nghiệm khơng tầm thường của phương trình (2.30). Ở đây ta chỉ nghiên cứu với trường hợp nghiệm của phương trình (2.30) là dao động ngặt.
Định lý 2.5. Giả sử {xn}∞n=−3 là một nghiệm dao động ngặt của phương trình (2.30). Khi đó quy luật xuất hiện của độ dài các nửa chu kỳ dương và nửa chu kỳ âm là:
hoặc, . . . ,1−,2+,1−,2+,1−,2+,1−,2+, . . . , hoặc, . . . ,1+,1−,1+,3−,1+,1−,1+,3−, . . . , hoặc, . . . ,4+,2−,4+,2−,4+,2−,4+,2−, . . . , hoặc, . . . ,5+,1−,5+,1−,5+,1−,5+,1−, . . ..
Chứng minh. Dựa trên tính dao động ngặt của nghiệm, ta thấy rằng với một số nguyên dương p nào đó, xảy ra một trong bảy trường hợp sau:
Trường hợp 1: xp−3 > 1, xp−2 < 1, xp−1 > 1 và xp > 1. Trường hợp 2: xp−3 > 1, xp−2 < 1, xp−1 > 1 và xp < 1. Trường hợp 3: xp−3 > 1, xp−2 < 1, xp−1 < 1 và xp > 1. Trường hợp 4: xp−3 > 1, xp−2 < 1, xp−1 < 1 và xp < 1. Trường hợp 5: xp−3 > 1, xp−2 = 1, xp−1 > 1 và xp = 1. Trường hợp 6: xp−3 > 1, xp−2 = 1, xp−1 < 1 và xp = 1. Trường hợp 7: xp−3 < 1, xp−2 = 1, xp−1 > 1 và xp = 1.
xp+1 < 1, xp+2 > 1, xp+3 > 1, xp+4 < 1, xp+5 > 1, xp+6 > 1, xp+7 < 1,
xp+8 > 1, xp+9 > 1, xp+10 < 1, xp+11 > 1, xp+12 > 1, . . . .
Điều đó có nghĩa rằng quy luật xuất hiện liên tiếp của các nửa chu kỳ dương và nửa chu kỳ âm của nghiệm phương trình (2.30) là
. . . ,1−,2+,1−,2+,1−,2+,1−,2+, . . . .
Nếu trường hợp 2 và trường hợp 3 xảy ra, từ Bổ đề 2.2 (a) suy ra
xp+1 < 1, xp+2 < 1, xp+3 > 1, xp+4 < 1, xp+5 > 1, xp+6 < 1, xp+7 < 1,
xp+8 < 1, xp+9 > 1, xp+10 < 1, xp+11 > 1, xp+12 < 1, xp+13 < 1,
xp+14 < 1, xp+15 > 1, xp+16 < 1, xp+17 > 1, xp+18 < 1, . . . .
Điều này chỉ ra quy luật xuất hiện liên tiếp số số hạng của các nửa chu kỳ âm và nửa chu kỳ dương của nghiệm phương trình (2.30) là
. . . ,1+,1−,1+,3−,1+,1−,1+,3−,1+,1−,1+,3−, . . . Nếu trường hợp 4 xảy ra, từ Bổ đề 2.2 (a) suy ra
xp+1 > 1, xp+2 > 1, xp+3 > 1, xp+4 < 1, xp+5 < 1, xp+6 > 1, xp+7 > 1,
xp+8 > 1,xp+9 > 1, xp+10 < 1, xp+11 < 1, xp+12 > 1, xp+13 > 1,xp+14 > 1,
xp+15 > 1, xp+16 < 1, xp+17 < 1, xp+18 > 1, . . . .
Do đó quy luật xuất hiện liên tiếp của các nửa chu kỳ dương và nửa chu kỳ âm của nghiệm phương trình (2.30) là
. . . ,4+,2−,4+,2−,4+,2−, . . . . Nếu trường hợp 5 xảy ra, từ Bổ đề 2.2 (a) suy ra
xp+1 < 1, xp+2 = 1, xp+3 > 1, xp+4 = 1, xp+5 > 1, xp+6 = 1, xp+7 < 1,
xp+8 = 1,xp+9 > 1, xp+10 = 1, xp+11 > 1, xp+12 = 1,xp+13 < 1,xp+14 = 1,
xp+15 > 1, xp+16 = 1, xp+17 > 1, xp+18 = 1, . . . .
chu kỳ âm của nghiệm phương trình (2.30) là . . . ,5+,1−,5+,1−,5+,1−, . . . . Nếu trường hợp 6 xảy ra, từ Bổ đề 2.2 (a) suy ra
xp+1 > 1, xp+2 = 1, xp+3 > 1, xp+4 = 1, xp+5 < 1, xp+6 = 1, xp+7 > 1,
xp+8 = 1, xp+9 > 1, xp+10 = 1, xp+11 < 1, xp+12 = 1, xp+13 > 1, xp+14 = 1,
xp+15 > 1, xp+16 = 1, xp+17 < 1, xp+18 = 1, . . . .
Ta suy ra quy luật xuất hiện liên tiếp của các nửa chu kỳ dương và nửa chu kỳ âm của nghiệm phương trình (2.30) là
. . . ,5+,1−,5+,1−,5+,1−, . . . .
Tương tự cho trường hợp 7, ta cũng thu được quy luật xuất hiện liên tiếp
của các nửa chu kỳ dương và nửa chu kỳ âm của nghiệm phương trình (2.30) là
. . . ,5+,1−,5+,1−,5+,1−, . . . . Định lý được chứng minh.
Sau đây ta sẽ phát biểu định lý về sự ổn định của điểm cân bằng. Định lý 2.6. Giả sử a ∈ [0,∞). Khi đó điểm cân bằng dương của phương
trình (2.30) là ổn định tiệm cận toàn cục.
Chứng minh. Ta phải chứng minh rằng điểm cân bằng dương của phương trình (2.30) là ổn định tiệm cận địa phương và hút toàn cục.
Phương trình tuyến tính hóa tương ứng với phương trình (2.30) xung quanh điểm cân bằng x¯ = 1 là
Theo Chú ý 1.3.7 [33], x¯ là ổn định tiệm cận địa phương. Ta còn phải chỉ ra tất cả các nghiệm dương {xn}∞n=−3 của phương trình (2.30) là hội tụ tới x¯ = 1 khi n → ∞. Cụ thể, ta sẽ chứng minh
lim
n→∞xn = ¯x = 1. (2.37)
Nếu các giá trị ban đầu của nghiệm thỏa mãn đồng thời các hệ thức (2.33) và (2.34) thì theo Bổ đề 2.1 nghiệm là tầm thường về cuối nên đương nhiên (2.37) được thỏa mãn. Vì vậy, từ đây về sau ta giả thiết rằng các giá trị ban đầu của nghiệm cùng không thỏa mãn hoặc chỉ thỏa mãn một trong hai hệ thức (2.33) và (2.34). Do đó, theo Chú ý 2.1, nghiệm bất kỳ {xn}∞n=−3 của phương trình (2.30) đều là nghiệm khơng tầm thường.
Trong trường hợp nghiệm {xn}∞n=−3 của phương trình (2.30) là khơng dao động xung quanh điểm cân bằng x¯ = 1, theo Bổ đề 2.2 (b) thì các
dãy con {x2n} và {x2n+1} là đơn điệu và bị chặn, do đó các giới hạn
lim
n→∞x2n = M và lim
n→∞x2n+1 = L là tồn tại hữu hạn. Lấy giới hạn hai vế của phương trình (2.30) ta được
L = 2L 2 +a L3 +L+a ⇒L = 1, hoặc M = 2M 2 +a M3 +M +a ⇒ M = 1.
Do đó ta có được (2.37). Ta cịn phải chứng minh (2.37) đúng trong trường hợp nghiệm dao động ngặt.
Giả sử {xn}∞n=−3 là nghiệm của phương trình (2.30) dao động ngặt xung quanh điểm cân bằng x. Theo Định lý 2.5, quy luật xuất hiện liên¯
phương trình (2.30) là:
hoặc, . . . ,1−,2+,1−,2+,1−,2+,1−,2+, . . . , hoặc, . . . ,1+,1−,1+,3−,1+,1−,1+,3−, . . . , hoặc, . . . ,4+,2−,4+,2−,4+,2−,4+,2−, . . . , hoặc, . . . ,5+,1−,5+,1−,5+,1−,5+,1−, . . ..
Trước hết, ta xét trong trường hợp quy luật xuất hiện liên tiếp của độ dài các nửa chu kỳ âm và nửa chu kỳ dương là
. . . ,1−,2+,1−,2+,1−,2+,1−,2+, . . . .
Để đơn giản, ta ký hiệu {xp+6n}− là số hạng của nửa chu kỳ âm với độ dài 1, {xp+6n+1, xp+6n+2}+ là các số hạng của nửa chu kỳ dương với độ dài 2. Khi đó các số hạng của các nửa chu kỳ âm và nửa chu kỳ dương
xuất hiện liên tiếp được biểu diễn dưới dạng tuần hoàn sau:
. . . ,{xp+6n}−,{xp+6n+1, xp+6n+2}+,{xp+6n+3}−,{xp+6n+4, xp+6n+5}+, . . . . Theo Bổ đề 2.2 (c) ta có
1< xp+6n+5 < xp+6n+1 = xp+6(n−1)+7 < xp+6(n−1)+5.
Do đó {xp+6n+5} là dãy giảm và bị chặn dưới bởi số 1, ta có lim n→∞xp+6n+5 = lim n→∞xp+6n+1 = L. Tương tự, ta có xp+6n+4 < xp+6n+2 = xp+6(n−1)+8 < xp+6(n−1)+4, ta cũng có lim n→∞xp+6n+4 = lim n→∞xp+6n+2 = M.
Chú ý rằng
xp+6n+6 = xp+6n+4xp+6n+2+x
2
p+6n+4 +a
x2p+6n+4xp+6n+2+xp+6n+4 +a, n = 0,1,2, . . . . Lấy giới hạn hai vế của phương trình trên ta thu được giới hạn lim
n→∞xp+6n+6 tồn tại và hữu hạn lim n→∞xp+6n+6 = 2M 2 +a M3 +M +a = H. Từ phương trình xp+6n+4 = xp+6n+2xp+6n +x 2 p+6n+2 +a x2p+6n+2xp+6n +xp+6n+2 +a, n = 0,1,2, . . . . Lấy giới hạn hai vế phương trình trên ta được
M = M.H +M 2 +a M2.H +M +a ⇒M = 1, và H = lim n→∞xp+6n = 1. Từ phương trình xp+6n+3 = xp+6n+1xp+6n−1 +x 2 p+6n+1 +a x2p+6n+1xp+6n−1 +xp+6n+1 +a, n = 0,1,2, . . . , ta có lim n→∞xp+6n+3 = 2L 2 +a L3 +L+a = K. Từ phương trình xp+6n+5 = xp+6n+3xp+6n+1+x 2 p+6n+3 +a x2p+6n+3xp+6n+1+xp+6n+3 +a, n = 0,1,2, . . . , ta có L = L.K +K 2 +a L.K2 + K +a ⇒L = 1 = K.
Từ các kết quả trên ta có
lim
n→∞xp+6n+k = 1, k = 0,1,2,3,4,5.
Do đó lim
n→∞xn = 1.
Tiếp theo ta xét trường hợp quy luật xuất hiện liên tiếp của độ dài các nửa chu kỳ âm và nửa chu kỳ dương có dạng
. . . ,1+,1−,1+,3−,1+,1−,1+,3−, . . . .
Để thuận tiện trong việc trình bày, ta ký hiệu các số hạng của các nửa chu kỳ âm và nửa chu kỳ dương xuất hiện liên tiếp dưới dạng sau:
. . . ,{xp+6n}+,{xp+6n+1}−,{xp+6n+2}+,{xp+6n+3, xp+6n+4, xp+6n+5}−, . . . . Theo Bổ đề 2.2 (b) ta có
xp+6n+1 < xp+6n+3 < xp+6n+5 < xp+6n+7.
Theo phương pháp tương tự như trên ta có
lim n→∞xp+6n+1 = lim n→∞xp+6n+3 = lim n→∞xp+6n+5 = M. Ta cũng có xp+6n+2 < xp+6n < xp+6(n−1)+2, lim n→∞xp+6n+2 = lim n→∞xp+6n = L. Với chú ý xp+6n+5 = xp+6n+3xp+6n+1+x 2 p+6n+3 +a x2p+6n+3xp+6n+1+xp+6n+3 +a, n = 0,1,2, . . . , lấy giới hạn hai vế của phương trình trên ta được
M = 2M
2 +a
Từ phương trình xp+6n+4 = xp+6n+2xp+6n +x 2 p+6n+2 +a x2p+6n+2xp+6n +xp+6n+2 +a, n = 0,1,2, . . . , ta thu được lim n→∞xp+6n+4 = 2L 2 +a L3 +L+a = H. Từ phương trình xp+6n+6 = xp+6n+4xp+6n+2+x 2 p+6n+4 +a x2p+6n+4xp+6n+2+xp+6n+4 +a, n = 0,1,2, . . . , ta có L = H.L+H 2 +a H2.L+H +a ⇒L = 1 = H.
Xét trường hợp quy luật xuất hiện liên tiếp của độ dài các nửa chu kỳ âm và nửa chu kỳ dương là
. . . ,4+,2−,4+,2−,4+,2−,4+,2−, . . . .
Ký hiệu các số hạng của các nửa chu kỳ âm và nửa chu kỳ dương xuất hiện liên tiếp dưới dạng
. . . ,{xp+6n, xp+6n+1, xp+6n+2, xp+6n+3}+,{xp+6n+4, xp+6n+5}−, . . . . Dễ dàng thấy rằng: xp+6n+2 < xp+6n < xp+6(n−1)+2, xp+6n+3 < xp+6n+1 < xp+6(n−1)+3, lim n→∞xp+6n+2 = lim n→∞xp+6n = L, lim n→∞xp+6n+3 = lim n→∞xp+6n+1 = M.
Từ phương trình xp+6n+4 = xp+6n+2xp+6n +x 2 p+6n+2 +a x2p+6n+2xp+6n +xp+6n+2 +a, n = 0,1,2, . . . , ta có lim n→∞xp+6n+4 = 2L 2 +a L3 +L+a = K. Từ phương trình xp+6n+6 = xp+6n+4xp+6n+2+x 2 p+6n+4 +a x2p+6n+4xp+6n+2+xp+6n+4 +a, n = 0,1,2, . . . ,