Các ví dụ minh họa

Một phần của tài liệu (LUẬN án TIẾN sĩ) nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến (Trang 67 - 73)

Ví dụ 3.1. Chọn các hệ số a = 0.5, b = 0.1, α = 0.6, β = 0.5, theo Định

lý 3.4, để hệ có điểm cân bằng dương duy nhất ta cần chọn c < 0.7454,

ở đây ta có thể chọn c = 0.25. Với c vừa được chọn, theo (3.42), γ <

min{0.4980,0.6464}, ta chọn γ = 0.15. Khi đó hệ (3.3) trở thành

xn+1 = 0.5 + 0.1xn−1 + 0.25xn−1e−yn, yn+1 = 0.6 + 0.5yn−1 + 0.15yn−1e−xn.

(3.59)

Hệ (3.59) có điểm cân bằng dương duy nhất

(¯x,y) = (0.5947783794,¯ 1.437996201).

Rõ ràng điểm cân bằng này thỏa mãn (3.43), tức là x¯ ∈ (0.5,1.3110), y¯∈

(0.6,2.4449). Với các hệ số vừa chọn ở trên, thay vào bất đẳng thức (3.55)

ta được 0.9804 < 1, tức là (¯x,y)¯ ổn định tiệm cận toàn cục. Với các giá trị ban đầu x0 = 0.5, x1 = 0.7, y0 = 1.5, y1 = 2.7, các hình minh họa dưới

đây sẽ cho ta thấy rõ hơn tính ổn định tiệm cận tồn cục của điểm cân bằng.

Hình 3.1: Minh họa nghiệm xn của hệ phương trình (3.59)

Hình 3.3: Minh họa nghiệm (xn, yn) của hệ phương trình (3.59) Ví dụ 3.2. Chọn các hệ số a = 0.6, b = 0.3, α = 0.5, β = 0.5, tương tự

như trong Ví dụ 3.1, ta cần chọn c < 0.5771, có thể chọn c = 0.02, khi

đó γ < min{0.4866,0.8950}, ở đây ta chọn γ = 0.01. Khi đó hệ (3.3) trở

thành

xn+1 = 0.6 + 0.3xn−1 + 0.02xn−1e−yn, yn+1 = 0.5 + 0.5yn−1 + 0.01yn−1e−xn.

(3.60) Chọn các giá trị ban đầu x0 = 2, x1 = 1, y0 = 2, y1 = 0.3. Hệ (3.60) có

điểm cân bằng dương duy nhất (¯x,y) = (0.8661701340,¯ 1.008482531). Rõ

ràng điểm cân bằng này thỏa mãn (3.43), tức là x¯ ∈ (0.6,1.4538), y¯ ∈

(0.5,2.0222). Với các hệ số vừa chọn ở trên, thay vào bất đẳng thức (3.55)

ta được 0.9755 < 1, tức là (¯x,y)¯ ổn định tiệm cận tồn cục. Các hình sau đây sẽ minh họa cho tính ổn định tiệm cận tồn cục của (¯x,y).¯

Hình 3.4: Minh họa nghiệm xn của hệ phương trình (3.60)

Hình 3.6: Minh họa nghiệm (xn, yn) của hệ phương trình (3.60) Trong ví dụ dưới đây, ta sẽ xét trường hợp các hệ số của hệ (3.3) không thỏa mãn điều kiện ổn định tiệm cận tồn cục của điểm cân bằng. Ví dụ 3.3. Chọn các hệ số a = 0.6, b = 0.99, α = 0.9, β = 0.88, theo

Định lý 3.4, để mọi nghiệm của hệ hội tụ đến điểm cân bằng dương duy nhất ta phải chọn c < 0.0029, tuy nhiên ở đây ta sẽ chọn c = 0.4 > 0.0029

(vi phạm điều kiện (3.42)), chọn γ = 0.05. Khi đó hệ (3.3) trở thành

xn+1 = 0.6 + 0.99xn−1 + 0.4xn−1e−yn, yn+1 = 0.9 + 0.88yn−1 + 0.05yn−1e−xn.

(3.61)

Chọn các giá trị ban đầu x0 = 50, x1 = 70, y0 = 7, y1 = 8. Điểm cân bằng

dương duy nhất của hệ (3.61) là (¯x,y) = (61.35743350,¯ 7.5). Các hình

dưới đây sẽ minh họa cho ta thấy rõ nghiệm của hệ (3.61) khơng hội tụ về điểm cân bằng.

Hình 3.7: Minh họa nghiệm xn của hệ phương trình (3.61)

Hình 3.9: Minh họa nghiệm (xn, yn) của hệ phương trình (3.61)

Một phần của tài liệu (LUẬN án TIẾN sĩ) nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến (Trang 67 - 73)