Ví dụ 3.1. Chọn các hệ số a = 0.5, b = 0.1, α = 0.6, β = 0.5, theo Định
lý 3.4, để hệ có điểm cân bằng dương duy nhất ta cần chọn c < 0.7454,
ở đây ta có thể chọn c = 0.25. Với c vừa được chọn, theo (3.42), γ <
min{0.4980,0.6464}, ta chọn γ = 0.15. Khi đó hệ (3.3) trở thành
xn+1 = 0.5 + 0.1xn−1 + 0.25xn−1e−yn, yn+1 = 0.6 + 0.5yn−1 + 0.15yn−1e−xn.
(3.59)
Hệ (3.59) có điểm cân bằng dương duy nhất
(¯x,y) = (0.5947783794,¯ 1.437996201).
Rõ ràng điểm cân bằng này thỏa mãn (3.43), tức là x¯ ∈ (0.5,1.3110), y¯∈
(0.6,2.4449). Với các hệ số vừa chọn ở trên, thay vào bất đẳng thức (3.55)
ta được 0.9804 < 1, tức là (¯x,y)¯ ổn định tiệm cận toàn cục. Với các giá trị ban đầu x0 = 0.5, x1 = 0.7, y0 = 1.5, y1 = 2.7, các hình minh họa dưới
đây sẽ cho ta thấy rõ hơn tính ổn định tiệm cận tồn cục của điểm cân bằng.
Hình 3.1: Minh họa nghiệm xn của hệ phương trình (3.59)
Hình 3.3: Minh họa nghiệm (xn, yn) của hệ phương trình (3.59) Ví dụ 3.2. Chọn các hệ số a = 0.6, b = 0.3, α = 0.5, β = 0.5, tương tự
như trong Ví dụ 3.1, ta cần chọn c < 0.5771, có thể chọn c = 0.02, khi
đó γ < min{0.4866,0.8950}, ở đây ta chọn γ = 0.01. Khi đó hệ (3.3) trở
thành
xn+1 = 0.6 + 0.3xn−1 + 0.02xn−1e−yn, yn+1 = 0.5 + 0.5yn−1 + 0.01yn−1e−xn.
(3.60) Chọn các giá trị ban đầu x0 = 2, x1 = 1, y0 = 2, y1 = 0.3. Hệ (3.60) có
điểm cân bằng dương duy nhất (¯x,y) = (0.8661701340,¯ 1.008482531). Rõ
ràng điểm cân bằng này thỏa mãn (3.43), tức là x¯ ∈ (0.6,1.4538), y¯ ∈
(0.5,2.0222). Với các hệ số vừa chọn ở trên, thay vào bất đẳng thức (3.55)
ta được 0.9755 < 1, tức là (¯x,y)¯ ổn định tiệm cận tồn cục. Các hình sau đây sẽ minh họa cho tính ổn định tiệm cận tồn cục của (¯x,y).¯
Hình 3.4: Minh họa nghiệm xn của hệ phương trình (3.60)
Hình 3.6: Minh họa nghiệm (xn, yn) của hệ phương trình (3.60) Trong ví dụ dưới đây, ta sẽ xét trường hợp các hệ số của hệ (3.3) không thỏa mãn điều kiện ổn định tiệm cận tồn cục của điểm cân bằng. Ví dụ 3.3. Chọn các hệ số a = 0.6, b = 0.99, α = 0.9, β = 0.88, theo
Định lý 3.4, để mọi nghiệm của hệ hội tụ đến điểm cân bằng dương duy nhất ta phải chọn c < 0.0029, tuy nhiên ở đây ta sẽ chọn c = 0.4 > 0.0029
(vi phạm điều kiện (3.42)), chọn γ = 0.05. Khi đó hệ (3.3) trở thành
xn+1 = 0.6 + 0.99xn−1 + 0.4xn−1e−yn, yn+1 = 0.9 + 0.88yn−1 + 0.05yn−1e−xn.
(3.61)
Chọn các giá trị ban đầu x0 = 50, x1 = 70, y0 = 7, y1 = 8. Điểm cân bằng
dương duy nhất của hệ (3.61) là (¯x,y) = (61.35743350,¯ 7.5). Các hình
dưới đây sẽ minh họa cho ta thấy rõ nghiệm của hệ (3.61) khơng hội tụ về điểm cân bằng.
Hình 3.7: Minh họa nghiệm xn của hệ phương trình (3.61)
Hình 3.9: Minh họa nghiệm (xn, yn) của hệ phương trình (3.61)