CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ MÃ MẠNG
2.1.2. Một số cấu trúc đại số
2.1.2.1. Nhóm: 〈𝑮,∗〉
Nhóm 〈G,∗〉 là một tập hợp G gồm các phần tử với một phép tốn 2 ngơi, ký hiệu * (là một ánh xạ từ tập G × G → G) thỏa mãn các tính chất sau:
i
- Tính đóng: Nếu 𝑎, 𝑏 ∈ G → 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∈ G;
- Phần tử đơn vị (trung hòa): Trong G tồn tại một phần tử được gọi là phần tử đơn vị e sao cho với ∀𝑎 ∈ G thì: 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎;
- Phần tử nghịch đảo: Với mỗi phần tử 𝑎 ∈ G tồn tại một phần tử 𝑎−1, gọi là phần tử nghịch đảo của a, sao cho: 𝑎−1∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑒;
- Tính kết hợp: (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) với ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ G Nếu 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 thì nhóm được gọi là nhóm giao hốn.
Ví dụ: Tập các số nguyên ℤ với phép toán cộng (+) tạo nên một nhóm giao hốn với phần tử đơn vị là 0.
Nhóm G gọi là hữu hạn nếu như tập G có số lượng phần tử hữu hạn và trường hợp còn lại gọi là vô hạn.
Số lượng phần tử của tập hữu hạn G được gọi là bậc của G, được ký hiệu là |G|. Nếu H ∈ G và 〈H,∗〉 tạo nên một nhóm thì H được gọi là nhóm con của G. Cấp của H là ước của cấp của G.
2.1.2.2. Nhóm cyclic
Nói một cách đơn giản, nhóm có biểu diễn vành thì được gọi là nhóm vành. Nhóm G được gọi là nhóm cyclic, nếu như tồn tại phần tử 𝑎 ∈ G, sao cho đối với ∀𝑏 ∈ 𝐺 tồn tại số nguyên 𝑖 ≥ 0, thỏa mãn điều kiện 𝑏 = 𝑎𝑖. Phần tử a gọi là
phần tử sinh của nhóm 𝐺. Nếu nhóm G sinh ra bởi a, thì ký hiệu 𝐺 =< 𝑎 >. Ví dụ: Xét nhóm nhân: ℤ11∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Ta có: 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 5 25 = 10 26 = 9 27 = 7 28 = 3 29 = 6 Ta có thể viết: ℤ11∗ = {2imod11}.
Phần tử được gọi là có cấp k nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn
𝛼𝑘 ≡ 1mod𝑛.
Ở ví dụ trên ta có ord(2) = ord(8) = ord(7) = ord(9) = 10.
2.1.2.3. Vành: 〈𝑹, +,∗〉
Vành R là một tập hợp các phần tử với hai phép toán trong hai ngôi (Phép cộng (+), phép nhân (*)) thỏa mãn các tính chất sau:
- 〈R, +〉 là một nhóm giao hốn đối với phép cộng. Phần tử đơn vị đối với phép cộng (khơng) được ký hiệu 0;
- 〈R,∗〉 có tính phân phối đối với phép cộng:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R: 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑐 (𝑏 + 𝑐) ∗ 𝑎 = 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑐 ∗ 𝑎
- 〈R,∗〉 có tính kết hợp: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R: (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
- Đối với phép * vành R phù hợp theo các tiên đề đóng kín, kết hợp. Phần tử đơn vị đối với phép nhân (đơn vị) được ký hiệu 1, với 1 ≠ 0.
Vành giao hoán là vành R trong đó phép nhân có tính chất giao hốn. Vành trong đó phép nhân có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.
Tập con A của R được gọi là vành con của R nếu chính A là một vành với hai phép cộng và nhân trên R.
2.1.2.4. Trường 〈𝑭, +,∗〉
Nếu các phần tử khác không của vành tạo thành nhóm tương ứng với phép nhân thì gọi vành đó là trường [11, 63].
Trường F là một tập hợp các phần tử với hai phép tốn trong hai ngơi thỏa mãn: - 〈F, +〉 là một nhóm cộng;
- 〈F∗,∗〉 là một nhóm đối với phép nhân. Trong đó: F∗ = 𝐹\{0}.