5 Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui
5.3 Phân lớp các E-hệ chính qui
Trong mục này, để phân lớp các E-hệ chính qui dựa vào đặc trưng của các song môđun chéo trên vành như trong Định lý 5.2, trước hết chúng tôi chỉ ra rằng các E-hệ cũng chính là các Ann-phạm trù chặt chẽ.
Với mỗi E-hệ chính qui (B, D, d, θ), ta có thể xây dựng được một Ann-phạm trù chặt chẽ A=AB→D gọi là Ann-phạm trù liên kết với E-hệ(B, D, d, θ)như sau:
ObA=D.
Với hai vậtx, y củaAthì
Hom(x, y) ={b ∈B/y=d(b) +x}.
Hợp thành của các mũi tên được cho bởi
(x→b y→c z) = (xb+c→ z).
Hai phép toán⊕,⊗trên các vật được cho bởi hai phép tốn+,ìtrong vànhD. Đối với các mũi tên ta đặt (x→b y)⊕(x0 b 0 →y0) = (x+x0 b+b 0 −→y+y0),
(x→b y)⊗(x0 b
0
→y0) = (xx0 bb
0+bθx0+θxb0
−−−−−−−−→ yy0).
Do tính chính qui của E-hệ, cụ thể là do tính giao hốn của các song tích thuộcθ(D), tương đương với tính kết hợp của phép tốn⊗ trên các mũi tên nên ta có thể chọn ràng buộc kết hợpa là chặt chẽ. Các ràng buộc còn lại trênAcũng đều được xác định là chặt chẽ.
Ngược lại, với Ann-phạm trù chặt chẽ (A,⊕,⊗)ta có thể xác định một E-hệ chính qui
MA= (B, D, d, θ) liên kết vớiAnhư sau. Đặt
D= ObA, B ={0−→b x|x∈D}.
Khi đó, Dlà một vành với hai phép tốn
x+y =x⊕y, xy=x⊗y,
và B là vành với hai phép toán
b+c=b⊕c, bc=b⊗c.
Các đồng cấud:B →D vàθ :D→MB lần lượt cho bởi
d(0−→b x) =x,
θy(0−→b x) = (0−−−→idy⊗b yx), (0−→b x)θy = (0−−−→b⊗idy yx).
Dễ thử lại rằng (B, D, d, θ)được xác định như trên là một E-hệ.
Trong các bổ dưới đây chúng ta luôn giả thiết rằng AB→D và AB0→D0 là hai Ann-phạm trù lần lượt liên kết với các E-hệ chính qui(B, D, d, θ)và(B0, D0, d0, θ0). Các bổ đề này nói lên mối liên hệ giữa các đồng cấu E-hệ chính qui và các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù liên kết.
Bổ đề 5.3. Cho đồng cấu (f1, f0) : (B, D, d, θ) →(B0, D0, d0, θ0)giữa các E-hệ chính qui. Khi đó:
i)Tồn tại một hàm tửF :AB→D →AB0→D0 xác định bởi
F(x) = f0(x), F(b) =f1(b), x∈ObA, b ∈MorA.
ii)Các đẳng cấu tự nhiênF˘x,y :F(x+y)→F(x) +F(y), Fex,y :F(xy)→F(x)F(y)cùng với F là một Ann-hàm tử nếuF˘ vàFelà các hằng thuộcKerd0 sao cho với mọi x, y ∈D,
θF0 (x)(Fe) = (Fe)θF0 (y) =F ,e (5.11)
θF0 (x)( ˘F) = ( ˘F)θ0F(y) = ˘F +F .e (5.12) Khi đó, ta nói rằng F là một Ann-hàm tử dạng(f1, f0).
Chứng minh. i) Mỗi phần tử b ∈ B có thể được coi như là một mũi tên (0 →b d(b)) trong
A. Khi đó,(F(0)F→(b)F(db))là một mũi tên trongA0.Do cách xác định Ann-phạm trù liên kết với một E-hệ chính qui nên F xác định như trên là một hàm tử.
ii) Ta xác định các đẳng cấu tự nhiên
˘
Fx,y :F(x+y)→F(x) +F(y), Fex,y :F(xy)→F(x)F(y)
sao choF = (F,F ,˘ Fe)trở thành một Ann-hàm tử. Trước hết, ta thấy rằng do
F(x) +F(x0) =F(x+x0),
nên d0( ˘Fx,x0) = 0.Tương tự,d0(Fex,x0) = 0,do đó
˘
Fx,x0,Fex,x0 ∈Kerd0 ⊂CB0. (5.13) Bây giờ với (x→b y)và (x0 →b0 y0)là hai mũi tên trongA thì:
• F(b⊕b0) =F(x+x0 b+b 0 −−→y+y0) = f0(x+x0) f1(b+b 0) −−−−→f0(y+y0), F(b)⊕F(b0) = f0(x)−−→f1(b) f0(y) ⊕ f0(x0) f1(b 0) −−−→f0(y0) = f0(x) +f0(x0) f1(b)+f1(b 0) −−−−−−−→f0(y) +f0(y0). Dof1 là một đồng cấu vành nên F(b⊕b0) = F(b)⊕F(b0). (5.14) Do (5.13), (5.14) và do giả thiết F˘ là hằng (F˘
x,x0 = ˘Fy,y0), nên biểu đồ sau giao hốn
F(x+x0) F(x) +F(x0) F(y+y0) F(y) +F(y0), - ˘ Fx,x0 ? F(b⊕b0) ? F(b)⊕F(b0) - ˘ Fy,y0 (5.15)
nghĩa là Fe thỏa mãn tính tự nhiên.
• F(b⊗b0) = F(xx0 bb 0+bθx0+θxb0 −−−−−−−−→yy0) = f0(xx0) f1(bb 0+bθx0+θxb0) −−−−−−−−−−→f0(yy0), F(b)⊗F(b0) = f0(x)−→f1(b) f0(y)⊗ f0(x0)f1(b 0) −→ f0(y0) = f0(x)f0(x0) f1(b)f1(b0)+f1(b)θ0f 0(x0)+θ0f 0(x)f1(b0) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→f0(y)f0(y0) . Theo (5.8) ta có: f1(θxb0) =θ0f0(x)f1(b0)và f1(bθx0) =f1(b)θf00 (x0) nên F(b⊗b0) = F(b)⊗F(b0). (5.16)
Do (5.13), (5.16) và do giả thiếtFe là hằng (Fex,x0 =Fey,y0), nên biểu đồ sau giao hốn F(xx0) F(x)F(x0) F(yy0) F(y)F(y0), - e Fx,x0 ? F(b⊗b0) ? F(b)⊗F(b0) - e Fy,y0 (5.17)
nghĩa là Fe thỏa mãn tính tự nhiên.
Tính tương thích của (F,Fe)với các ràng buộc kết hợp suy ra từ đẳng thức (5.11). Tính tương thích của (F,F ,˘ Fe)với các ràng buộc phân phối suy ra từ đẳng thức (5.12).
Ann-hàm tử(F,F ,˘ Fe)được gọi là đơn nếuF(0) = 0, F(1) = 1vàF ,˘ Felà những hằng. Với khái niệm này chúng tôi phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên.
Bổ đề 5.4. Cho Ann-hàm tử đơn (F,F ,˘ Fe) : AB→D → AB0→D0. Khi đó có một đồng cấu
(f1, f0) : (B →D)→(B0 →D0) giữa các E-hệ chính qui, được xác định bởi
f1(b) =F(b), f0(x) =F(x),
với mỗi b∈B, x∈D.
Chứng minh. Do F(0) = 0, F(1) = 1và do F ,˘ Fe là các hằng nên ta suy raF ,˘ Fe∈Kerd0. Từ đó, theo định nghĩa của mũi tên trongA0B0→D0 ta suy ra
F(x+y) =F(x) +F(y), F(xy) =F(x)F(y),
và bởi vậy f0 là một đồng cấu vành. DoF˘ là hằng thuộc Kerd0 nên từ biểu đồ giao hoán (5.15) suy ra
F(b⊕b0) = F(b)⊕F(b0).
Nghĩa là f1(b+b0) =f1(b) +f1(b0).
DoFe là hằng thuộcKerd0 nên từ biểu đồ giao hoán (5.17) suy ra
F(b⊗b0) = F(b)⊗F(b0).
Theo định nghĩa của luật⊗ ta suy ra
f1(bb0) +f1(bθx0) +f1(θxb0) = f1(b)f1(b0) +f1(b)θf00 (x0)+θf00 (x)f1(b0). (5.18) Trong hệ thức trên lần lượt chọn b= 0, b0 = 0 ta thu được
Tức là (5.8) được thỏa mãn. Đồng thời khi đó đẳng thức (5.18) trở thành f1(bb0) = f1(b)f1(b0), nghĩa là f1 là một đồng cấu vành. Cuối cùng ta chứng tỏ hệ thức (5.7) được thỏa mãn. Thật vậy, với mọi mũi tên (x→b y)trongA,ta cóy=d(b) +x.Suy ra
f0(y) = f0(d(b) +x) = f0(d(b)) +f0(x).
Mặt khác,(f0(x)f1(b)→ f0(y))là mũi tên trongAB0→D0 nên ta có:
f0(y) =d0(f1(b)) +f0(x).
Vậy f0(d(b)) =d0(f1(b))với mọi b∈B.
Bổ đề 5.5. Hai Ann-hàm tử cùng dạng (F,F ,˘ Fe),(F0,F˘0,Fe0) : AB→D →AB0→D0 là đồng luân.
Chứng minh. Giả sửF, F0 là hai Ann-hàm tử có cùng dạng (f1, f0). Theo Bổ đề 5.3,F ,˘ F˘0 là các hằng. Ta chứng tỏ α = ˘F0 −F˘ là đồng luân của F và F0. Dễ dàng kiểm tra tính tự nhiên của α và tính tương thích củaα với phép tốn⊕. Bây giờ ta chứng tỏα tương thích với phép tốn ⊗, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
F(xy) F(x)F(y) F0(xy) F0(x)F0(y). - e F ? α ? α⊗α - e F0 (5.19) Theo Bổ đề 5.3 ta có e F0−Fe =(θF0 (x)( ˘F0)−F˘0)−(θF0 (x)( ˘F)−F˘) =θ0F(x)(α)−α. Mặt khác, doα ∈Kerd0 ⊂CB0 nên α⊗α=α.α+ (α)θF0 0(y)+θF0 0(x)(α) =(α)θF0 0(y)+θF0 0(x)(α).
Với y= 0hoặcx= 0 ta được
α⊗α= (α)θF0 0(y)=θF0 0(x)(α) =θ0F(x)(α).
Bởi vậy,Fe0−Fe=α⊗α−α,nghĩa là biểu đồ (5.19) giao hoán.
Hai Ann-hàm tử (F,F ,˘ Fe),(F0,F˘0,Fe0) được gọi là đồng luân mạnh nếu chúng đồng luân và F =F0. Từ Bổ đề 5.5 ta có ngay kết quả sau.
Hệ quả 5.6. Hai Ann-hàm tử F, F0 : AB→D → AB0→D0 là đồng luân mạnh khi và chỉ khi chúng cùng dạng.
Ký hiệu phạm trù của các Ann-phạm trù chặt chẽ và các Ann-hàm tử đơn bởiAnnstr. Ta có thể định nghĩa phạm trù đồng luân mạnhHoAnnstrcủaAnnstrnhư là một phạm trù thương với cùng các vật nhưng các mũi tên là các lớp đồng luân mạnh của các Ann-hàm tử đơn:
HomHoAnnstr(A,A0) = HomAnnstr(A,A
0)
đồng luân mạnh .
Ký hiệu ESyst là phạm trù có các vật là các E-hệ chính qui và mũi tên là các đồng cấu giữa chúng, ta có kết quả sau là mở rộng của Định lý 1 [8].
Định lý 5.7. [Định lý phân lớp] Tồn tại tương đương phạm trù
Φ :ESyst → HoAnnstr,
(B →D) 7→ AB→D
(f1, f0) 7→ [F]
trong đó F(x) =f0(x), F(b) = f1(b), vớix∈ObA, b∈MorA.
Chứng minh. Theo Hệ quả 5.6, tương ứngΦtrên các tậpHom:
Φ : HomESyst(B →D, B0 →D0)→HomHoAnnstr(AB→D,AB0→D0)
là đơn ánh. Theo Bổ đề 5.4, mỗi Ann-hàm tử đơnF :AB→D →AB0→D0 xác định một đồng cấu (f1, f0) : (B →D) →(B0 → D0), và rõ ràng Φ(f1, f0) = [F], nghĩa làΦ là toàn ánh trên các tập Hom.
NếuMAlà E-hệ chính qui liên kết với Ann-phạm trù chặt chẽAthì theo cách xác định Ann-phạm trù liên kết với một E-hệ chính qui ta có Φ(MA) = A(khơng chỉ là đẳng cấu). Vậy Φlà một tương đương giữa hai phạm trù.