5 Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui
5.4 Mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui
Trong mục này chúng tơi phát biểu bài tốn mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui, tương tự như bài tốn mở rộng nhóm kiểu mơđun chéo trong [9]. Đồng thời giải quyết bài toán này bằng lý thuyết cản trở của các Ann-hàm tử, xem như là một ứng dụng của lý thuyết Ann-phạm trù.
Định nghĩa [38]. Cho E-hệ chính qui (B, D, d, θ). Một mở rộng của vànhB bởi vành Q
kiểu E-hệ chính qui B →Dlà một biểu đồ các đồng cấu vành
0 //B j //E p //
ε
Q //0,
trong đó dịng trên là khớp, hệ (B, E, j, θ0)là một E-hệ chính qui với θ0 là phép lấy song tích, cặp (id, ε)là một đồng cấu của các E-hệ chính qui.
Hai mở rộng củaB bởiQkiểu E-hệ chính qui(B, D, d, θ)được gọi là tương đương nếu biểu đồ sau giao hoán
0 //B j //E p // α Q //0, E ε //D 0 //B j0 //E0 p 0 //Q //0, E0 ε0 //D (5.20)
và ε0α =ε. Hiển nhiênα là một đẳng cấu. Trong biểu đồ E : 0 //B j //E p // ε Q // ψ 0, B d //D q //Cokerd (5.21)
vớiq là phép chiếu chính tắc, do dịng trên là khớp vàq◦ε◦j =q◦d= 0 nên có một đồng cấu vànhψ :Q→Cokerdsao cho hình vng thứ hai giao hoán. Hơn nữa,ψ chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương của mở rộng E. Mục tiêu của chúng tôi là sử dụng lý thuyết cản trở của các Ann-hàm tử để nghiên cứu tập các lớp tương đương các mở rộng vành của B bởiQ
kiểu E-hệ chính qui B →Dcảm sinh ψ,
ExtB→D(Q, B, ψ).
Trong phần này, chúng tôi tiếp tục mở rộng kỹ thuật hệ nhân tử đối với bài tốn mở rộng nhóm kiểu mơđun chéo ở Chương 3 sang cho bài tốn mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui. Trong bổ đề dưới đây, các Ann-hàm tử DisQ→ AB→D là hệ dữ liệu phù hợp để xây dựng các mở rộng như vậy.
Bổ đề 5.8. Cho E-hệ chính qui (B, D, d, θ)và đồng cấu vành ψ : Q → Cokerd. Với mỗi Ann-hàm tử(F,F ,˘ Fe) : DisQ→Acảm sinh cặp(ψ,0)đều tồn tại một mở rộngEF củaB
bởi Qkiểu E-hệB →Dcảm sinh đồng cấuψ :Q→Cokerd.
Mở rộng EF được gọi là mở rộng tích chéo liên kết với Ann-hàm tửF.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1 (F,F ,˘ Fe) cảm sinh Ann-hàm tử K : DisQ → SA kiểu
(ψ,0). Gọi(H,H,˘ H)e là Ann-hàm tử chính tắcSA→Axác định bởi đính (xs, ix). Khi đó theo (1.11) ta có
Cũng theo Mệnh đề 1.1,(F,F ,˘ Fe)là đồng luân với cái hợp thành DisQ−→K SA−H→A,
Do đó có thể lấy(F,F ,˘ Fe)chính là hợp thành này. Khi đó theo cách xác định củaHK,˘ ]HK
ta có
˘
Fu,v =f(u, v) =f0(u, v)−ixs+xr, (5.22)
e
Fu,v =g(u, v) =g0(u, v)−ixsãxr ∈B, (5.23)
với u, v ∈ Q, s = ψ(u), r = ψ(v), f0(u, v) = ˘Ku,v, g0(u, v) = Keu,v. Do tính tương thích của (F,F ,˘ Fe)với các ràng buộc chặt chẽ của DisQvà Anên f, g là những hàm chuẩn tắc thỏa mãn các đẳng thức:
f(u, v+t) +f(v, t)−f(u, v)−f(u+v, t) = 0, (5.24)
f(u, v) =f(v, u), (5.25)
θF(u)g(v, t)−g(uv, t) +g(u, vt)−g(u, v)θF(t) = 0, (5.26)
g(u, v+t)−g(u, v)−g(u, t) +θF(u)f(v, t)−f(uv, ut) = 0, (5.27)
g(u+v, t)−g(u, t)−g(v, t) +f(u, v)θF(t)−f(ut, vt) = 0. (5.28)
Hàm ϕ:Q→MB xác định bởi
ϕ(u) = θF(u) =θxs (s =ψ(u))
thỏa mãn các hệ thức
ϕ(u) +ϕ(v) =àf(u,v)+ϕ(u+v), (5.29)
ϕ(u)ϕ(v) = àg(u,v)+ϕ(uv). (5.30)
Thật vậy, ta sẽ chứng minh hệ thức (5.29), còn hệ thức (5.30) được suy ra tương tự từ hệ thức (5.23). Do f0(u, v) = ˘Ku,v ∈Kerd nên theo Mệnh đề 5.1 ta cóf0(u, v)∈CB.Khi đó theo (5.22) thìàf(u,v)=à(−ixs+xr). Bởi vậy,
ϕ(u) +ϕ(v) =θxs +θxr =θxs+xr
=θ[d(−ixs+xr) +xs+r] =θ[d(−ixs+xr)] +θxs+r =à(−ixs+xr) +ϕ(u+v)(5.22)= àf(u,v)+ϕ(u+v).
Do họ các hàm (ϕ, f, g) thỏa mãn các hệ thức (5.24) - (5.30) nên theo [28] ta có thể xây dựng tích chéo E0 = [B, ϕ, f, g, Q],nghĩa làE0 =BìQcùng với hai phép tốn
(b, u).(b0, u0) = (b.b0+bϕ(u0) +ϕ(u)b0+g(u, u0), uu0).
E0 thỏa mãn các tiên đề của vành nhờ các hệ thức trên. Trong đó, đáng chú ý là tính kết hợp của phép nhân trong E0 có được khi và chỉ khi E-hệ (B → D)là chính qui. Thật vậy, ta có các tích
[(b, u)(b0, u0)](b00, u00) = ((bb0)b00+bϕ(u0)ϕ(u00) + [ϕ(u)b0]ϕ(u00)
+g(u, u0)ϕ(u00) +ϕ(uu0)b00+g(uu0, u00),(uu00)u00),
(b, u)[(b0, u0)(b00, u00)] = (b(b0b00) +bϕ(u0u00) +ϕ(u)[b0ϕ(u00)]
+ϕ(u)ϕ(u0)b00+ϕ(u)g(u, u0) +g(u, u0u00), u(u0u00)).
Do (5.26), (5.30), luật kết hợp đối với tích trong B, Q,và luật giao hoán đối với tổng trongB, đặc biệt do hệ thức (5.4):[ϕ(u)b0]ϕ(u00) =ϕ(u)[b0ϕ(u00)],ta thu được luật kết hợp đối với tích trongE0.Ta được dãy khớp các đồng cấu vành
EF : 0→B →j0 E0 →p0 Q→0
với j0(b) = (b,0); p0(b, u) = u, b ∈ B, u ∈ Q.Do j0(B) là iđêan hai phía trong E0 nên
j0 :B →E0 là một E-hệ chính qui vớiθ0 :E0 →MB là phép lấy song tích. Đồng cấu vànhε:E0 →Dđược xác định bởi
ε(b, u) = db+xψ(u), (b, u)∈E0,
trong đóxψ(u) là đại diện củaψ(u)trongD. Ta chứng tỏ cặp(idB, ε)thỏa mãn các hệ thức (5.7), (5.8). Dễ thấy rằng ε◦j0 =d. Hơn nữa, với mọi(b, u)∈E0, c∈B ta có
θ(b,u)0 c=j0−1[(b, u)(c,0)] =bc+ϕ(u)c,
θε(b,u)c=θdb+xψ(u)c=bc+ϕ(u)c.
Do đóθ0
(b,u)c=θε(b,u)c. Tương tự,cθ0
(b,u) =cθε(b,u). Vì vậy(idB, ε)là một đồng cấu của các E-hệ chính qui, nghĩa là ta có mở rộng kiểu E-hệ chính qui (5.21), trong đó E được thay bởi E0.
Do với mọi u ∈ Q ta có qε(0, u) = q(xψ(u)) = ψ(u) nên mở rộng EF cảm sinh
ψ :Q→Cokerd.
Trong bổ đề trên, bộ ba (ϕ, f, g)mô tả một Ann-hàm tử từ DisQtớiAlà một hệ nhân tử đối với mở rộng vành kiểu E-hệ (B →D). Nó là mở rộng của khái niệm hệ nhân tử đối với mở rộng nhóm kiểu mơđun chéo được xét ở Chương 3 sang cho trường hợp hai phép toán.
Định lý dưới đây là phiên bản của lý thuyết Schreier cho các mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui.
Định lý 5.9 (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui). Có một song ánh
Ω : HomAnn(ψ,0)[DisQ,A]→ExtB→D(Q, B, ψ).
Chứng minh. Bước 1: Các Ann-hàm tử (F,F ,˘ Fe), (F0,F˘0,Fe0)đồng luân khi và chỉ khi các mở rộng liên kết tương ứngEF,EF0 là tương đương
Giả sửF, F0 :DisQ→Alà hai Ann-hàm tử đồng luân, với đồng luânα :F →F0. Khi đó, theo định nghĩa của Ann-mũi tên, các biểu đồ sau giao hoán
F(u+v) F(u) +F(v) F0(u+v) F0(u) +F0(v), - ˘ Fu,v ? αu+v ? αu+αv - ˘ F0 u,v F(uv) F(u)F(v) F0(uv) F0(u)F0(v). - e Fu,v ? αuv ? αu⊗αv - f F0 u,v
Theo định nghĩa phép tốn ⊗trênAta có
αu⊗αv =αuαv+αuθF(v)+θF(u)αv.
Từ đó, vớif(u, v) = ˘Fu,v, f0(u, v) = ˘F0
u,v, g(u, v) =Feu,v, g0(u, v) = Feu,v0 ta có
f0(u, v)−f(u, v) =αu−αu+v+αv, (5.31)
g0(u, v)−g(u, v) =αuαv+αuθF(v)+θF(u)αv−αuv. (5.32) Bây giờ ta đặt
α∗ :EF →EF0
(b, u)7→(b−αu, u).
Chú ý rằng θF0(u) = àαu +θF(u) và sử dụng các hệ thức (5.31), (5.32), ta chứng minh được α∗ là một đẳng cấu. Hơn nữa, biểu đồ (5.20) giao hốn, trong đó E và E0 lần lượt được thay bởi EF vàEF0.
Ta còn phải chỉ ra ε0α∗ = ε. Do α : F → F0 là một đồng luân nên F(u) = xψ(u) = F0(u). Bởi vậyxψ(u) =d(αu) +xψ(u), hayd(αu) = 0. Khi đó,
ε0α∗(b, u) = ε0(b−αu, u) = d(b−αu) +xψ(u)
=d(b)−d(αu) +xψ(u) =d(b) +xψ(u)=ε(b, u).
Vậy hai mở rộng EF và EF0 là tương đương.
Ngược lại, nếu hai mở rộngEF vàEF0 là tương đương thì tồn tại đẳng cấu vành(b, u)7→
(b−αu, u) từ EF đến EF0. Do vậy, bằng cách lập luận ngược lại từng bước, ta thu được đồng luân α:F →F0.
Bước 2: Ωlà toàn ánh.
Giả sử E là một mở rộng E của B bởi Q kiểu E-hệ chính qui (B, D, d, θ) cảm sinh
ψ :Q→Cokerdnhư trong biểu đồ giao hốn (5.21). Ta sẽ chứng tỏ rằngE có một hệ nhân tử liên kết, nghĩa là tương đương với một mở rộng tích chéo EF liên kết với một Ann-hàm tử (F,F ,˘ Fe) : DisQ→Anào đó.
GọiA0 =AB→E là Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ chính qui(B, E, j, θ0). Khi đó theo Mệnh đề 5.3, cặp đồng cấu(idB, ε)trong biểu đồ (5.21) xác định một Ann-hàm tử đơn (K,K,˘ K) :e A0 →A.
Doπ0A0 =Q, π1A0 = 0 nên Ann-phạm trù thu gọnSA0 chính là Ann-phạm trùDisQ.
Trong A0 ta chọn đính(eu, ie), e∈E, u∈Q(nghĩa là{eu}là một hệ đại diện của Qtrong
E). Khi đó theo (1.11) Ann-hàm tử chính tắc(H0,H˘0,He0) : DisQ→A0 được cho bởi
H0(u) = eu, H˘0
u,v =−ieu+ev =g0(u, v), Heu,v0 =−ieu.ev =h0(u, v).
Khi đó hợp thành F =K◦H0 xác định một Ann-hàm tửDisQ→A, với
F(u) =ε(eu), F˘u,v = ˘H0
u,v =g0(u, v), Feu,v =Heu,v0 =h0(u, v).
Theo phép chứng minh Định lý 5.10, ta xác định được mở rộng EF của tích chéo E0 = [B, ϕ, g0, h0, Q], liên kết với(F,F ,˘ Fe).
Bây giờ ta chứng tỏ E và EF tương đương, tức là có biểu đồ sau giao hốn
EF : 0 //B j0 //E0 p0 // α Q //0, E0 ε0 //D E : 0 //B j //E p //Q //0, E ε //D và εα=ε0.
Do mỗi phần tử của E viết được duy nhất dưới dạng b+eu, b ∈ B, nên ta có thể xác định một ánh xạ
α:E0 →E, (b, u)7→b+eu.
Để chỉ ra α là một đồng cấu vành, trước hết ta thấy rằng hệ đại diện {eu} có một số tính chất sau:
ϕ(u)c=θeu0 (c), cϕ(u) = cθ0eu, c∈B, (5.33)
eu+ev =−ieu+ev+eu+v =g0(u, v) +eu+v, (5.34)
eu.ev =−ieu.ev+eu.v =h0(u, v) +euv. (5.35)
(Đẳng thức (5.33) có được do cặp(idB, ε)là đồng cấu mơđun chéo. Đẳng thức (5.34), (5.35) có được do định nghĩa của mũi tên trongA0). Vì vậy, ta có
α[(b, u) + (c, v)] =α(b+c+g0(u, v), u+v) = b+c+g0(u, v) +eu+v
(5.34)
α[(b, u)(c, v)] =α(bc+bϕ(v) +ϕ(u)c+h0(u, v), uv) =bc+bϕ(v) +ϕ(u)c+h0(u, v) +euv (5.33),(5.35) = bc+bθev0 +θeu0 c+euev =bc+b.ev +eu.c+eu.ev = (b+eu).(c+ev) =α(b, u).α(c, v).
Cuối cùng, ta chọn đại diệneu sao choε(eu) =xψ(u). Điều này có thể thực hiện được do từ (5.21) ta cóq(ε(eu)) =ψp(eu) = ψ(u). Khi đó:
εα(b, u) = ε(b+eu) =ε(b) +ε(eu) =d(b) +xψ(u) =ε0(b, u),
nghĩa là E vàEF là hai mở rộng tương đương.
Giả sử A =AB→D là Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ chính qui B → D. Do
π0A= Cokerdvà π1A= Kerdnên Ann-phạm trù thu gọnSA có dạng
SA = (Cokerd,Kerd, k),
trong đó k ∈ H3
Shu(Cokerd,Kerd)do A và SA là những Ann-phạm trù chính qui. Khi đó đồng cấu ψ :Q→Cokerd cảm sinh một cản trở
ψ∗k∈HShu3 (Q,Kerd).
Dưới đây, chúng tôi phát biểu kết quả chính của mục này, là một mở rộng của Định lý 5.2 [9]. Hơn nữa, mỗi một ∂-mở rộng được xét trong [6] thực ra là trường hợp riêng của E-hệ chính qui khiQ= Cokerd,vàψ =idCokerdnên kết quả của chúng tôi là chứa Định lý 4.4.2 [6].
Định lý 5.10. Cho E-hệ chính qui (B, D, d, θ) và đồng cấu vànhψ :Q→Cokerd. Khi đó sự triệt tiêu của ψ∗k trong H3
Shu(Q,Kerd)là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng vành của B bởi Q, kiểu E-hệ B → D cảm sinh ψ. Hơn nữa, khi ψ∗k triệt tiêu thì tồn tại một song ánh
ExtB→D(Q, B, ψ)↔HShu2 (Q,Kerd).
Chứng minh. Nếuψ∗k = 0thì theo Định lý 1.2 tồn tại một Ann-hàm tử (Ψ,Ψ) : Dise Q →
SA. Lấy hợp thành với Ann-hàm tử chính tắc(H,H,˘ H) :e SA → A ta được một Ann-hàm tử (F,F ,˘ Fe) : DisQ→A, và theo Bổ đề 5.8 thu được mở rộng liên kếtEF.
Ngược lại, giả sử có mở rộng kiểu E-hệ chính qui thỏa mãn biểu đồ (5.21). Gọi A0 là Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ B → E. Thế thì theo Mệnh đề 5.3, tồn tại một
Ann-hàm tử F : A0 → A. Bởi vì Ann-phạm trù thu gọn của A0 là DisQ nên theo Mệnh đề 1.1, F cảm sinh một Ann-hàm tử kiểu (ψ,0)từ DisQ tới (Cokerd,Kerd, k). Bây giờ, theo Định lý 1.2, cái cản trở của cặp (ψ,0) phải triệt tiêu trong HShu3 (Q,Kerd), nghĩa là
ψ∗k= 0.
Bây giờ, song ánh nói trong định lý được suy ra như sau. Trước hết, có một song ánh tự nhiên
Hom[DisQ,A]↔Hom[DisQ, SA]
Từ đó do π0(DisQ) = Q, π1(SA) = Kerd nên theo Định lý 5.9 và Định lý 1.2 ta có song ánh
ExtB→D(Q, B, ψ)↔HShu2 (Q,Kerd).
Kết luận của Chương 5
Trong chương này chúng tơi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
• Đưa ra khái niệm E-hệ, E-hệ chính qui, chỉ ra sự tương đương giữa các E-hệ chính qui và các song mơđun chéo trên vành.
•Biểu diễn E-hệ chính qui qua ngơn ngữ của Ann-phạm trù chặt chẽ.
• Phát biểu mối liên hệ giữa các đồng cấu E-hệ chính qui và các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù liên kết.
•Phân lớp các E-hệ chính qui.
• Phát biểu và giải bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui nhờ các kết quả của lý thuyết Ann-phạm trù.
Kết luận
Mơđun chéo và nhóm phạm trù, một cách độc lập, đã được sử dụng rộng rãi trong nhiều khung cảnh khác nhau. Các kết quả về nhóm phạm trù của H. X. Sính (1975) đã được nâng lên cho nhóm phạm trù phân bậc bởi A. M. Cegarra và các cộng sự, và cho trường hợp vành phạm trù (hay Ann-phạm trù) bởi N. T. Quang. Bên cạnh đó, R. Brown và C. Spencer (1976) đã chỉ ra rằng mơđun chéo có thể được nghiên cứu bởi các nhóm phạm trù chặt chẽ. Điều này gợi ý cho chúng tơi rằng có thể nghiên cứu các lớp phạm trù phức tạp hơn như: nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, Ann-phạm trù chặt chẽ, để từ đó nghiên cứu các cấu trúc gần với mơđun chéo như: môđun chéo đẳng biến, E-hệ. Luận án đã giải quyết vấn đề này với những kết quả chính như sau:
1. Xác định kiểu của một hàm tử monoidal giữa hai nhóm phạm trù và lý thuyết cản trở của một hàm tử. Từ đó đưa ra định lý phân lớp chính xác cho phạm trù các nhóm phạm trù và phạm trù các nhóm phạm trù bện.
2. Phân lớp các mơđun chéo và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo dựa trên các kết quả của lý thuyết nhóm phạm trù chặt chẽ. Các kết quả thu được là mở rộng các kết quả của R. Brown và các đồng tác giả.
3. Nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, và từ đó phân lớp các Γ-mơđun chéo và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo. Các kết quả thu được là bao hàm lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến của A. M. Cegarra - J. M. García-Calcines - J. A. Ortega và lý thuyết mở rộng nhóm kiểu mơđun chéo của R. Brown - O. Mucuk.
4. Nghiên cứu Ann-phạm trù chặt chẽ, từ đó phân lớp các E-hệ chính qui và các mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui.
5. Phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù bệnΓ-phân bậc nhờ các hệ nhân tử trênΓvới hệ tử trong nhóm phạm trù bện kiểu (M, N).
Danh mục các cơng trình của tác giả có liên quan đến luận án
1. N. T. Quang, N. T. Thuy, P. T. Cuc, Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J. of Mathematics, 13, No 2 (2011), 163-186.
2. N. T. Quang, P. T. Cuc, Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math. Commun., 17 No. 2 (2012), 575-598.
3. N. T. Quang, P. T. Cuc, Classification of graded braided categorical groups by pseudo- functors, Journal of Science, Hue University, Vol. 77, No. 8 (2012), 59-68.
4. N. T. Quang, P. T. Cuc, N. T. Thuy, Crossed modules and strict Gr-categories, Commu- nications of Korean Mathematical Society, Vol. 29 (2014), No.1, 9-22.
5. N. T. Quang, P. T. Cuc, Equivariant crossed modules and cohomology of groups with operators, arXiv: 1302.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013.
Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:
- Hội thảo khoa học về Một số hướng nghiên cứu mới trong tốn học hiện đại và ứng dụng, Thanh Hóa (do Trường Đại học Hồng Đức, Viện Toán học Việt Nam và Trường Đại học sư phạm Hà Nội phối hợp tổ chức), 5/2011.
- Hội nghị tồn quốc về Đại số - Hình học - Tơpơ, Thái Ngun, 11/2011. - Đại hội Tốn học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 8/2013.
- Xeminar Bộ mơn Đại số - Hình học, Khoa Tốn, Trường Đại học sư phạm, Đại học Huế.
- Xeminar Bộ môn Đại số, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa.
Tài liệu tham khảo
[1] N. T. Quang, Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ, 1988, Hà Nội. Tiếng Anh
[2] Z. Arvasi, T. S. Kuzpinari, E. Oă. Uslu, Three-crossed modules, Homology Homotopy and Appl., 2 (2009), 161-187.
[3] J. C. Baez, A. D. Lauda, Higher dimensional algebra V: 2-groups, Theory Appl. Categ., 12 (2004), 423-491.
[4] H.-J. Baues, Secondary cohomology and the Steenrod square, Homology Homotopy Appl., 4 (2002), No. 2, part 1, 29-62.
[5] H.-J. Baues, E. G. Minian, Crossed extensions of algebras and Hochschild cohomology, Homology Homotopy Appl., 4 (2002), No. 2, 63-82.
[6] H-J. Baues, T. Pirashvili, Shukla cohomology and additive track theories, arXiv:0401158v1 [math.CT] 14 Jan 2004.
[7] R. Brown, Groupoids and crossed objects in algebraic topology, Homology Homotopy and Applied, 1 (1) (1999), 1-78.
[8] R. Brown, C. Spencer, G-groupoids, crossed modules and the fundamental groupoid of a topological group, Proc. Konn. Ned. Akad. v. Wet., 79 (1976), 296 - 302.
[9] R. Brown, O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited,