Các vấn đề của Fuchs cho nhóm abel khơng phân
2.2 Chứng minh định lý cơ bản trong trường hỢp nhóm khơng phải là nhóm khơng xoắn
phải là nhóm khơng xoắn
Theo định lý Kullikof, một nhóm abel khơng phân tích được, khơng phài là nhóm khơng xoắn ln đẳng cấu với p-nhóm cyclic cấp pn (Cpn) hoặc p- nhóm tựa cyclic
(C'p~).
Mệnh đề 2.2.1. Cho R là vành thỏa mân R* = Cp*, với 1 < n < 00. Khi dó. dặc sổ của
R phải là 0.2,4, ợ hoặc 2ợ với q là số nguyên tố Fermat. Hơn nửa, nếu đặc. số của fí khác 2 thì ta có p = 2.
Chúng minh. Ký hiệu c là đặc số của vành lì. Khi dó, E, là vành con cùa vành R nên ta
có Z* là nhóm con của nhóm /?’,
29 9
2’ ■-----> /?• = C’pn
Mặt khác, ta có cyclic khi và chi khi c = 2.4, q' hoặc 2q’ với q là số nguyên tố lè và r là số nguyên (lương.
Trường hợp c = qT và c = 2q' ta có:
(W s (Z2)‘ X (Zfl. r * {Ztf Y * .
Do mọi nhóm con hữu hạn cùa Cp- đều là p—nhóm cyclic nên G/'to-i) là p-nhóm cyclic (lo (ló r = 1 và í/ = p*+ 1 với k là một số nguyên (lương nào đó. Do đó p — 2 và
q là số nguyên tố Fermat.
Trường hợp c ý- 2. plum tử -1 e và (-1)2 = 1; (-1) 1 nên cấp cúa -1
là 2 và p":2 nên p = 2. □
Trong phẩn liếp theo ta xét từng trường hợp tương ứng với (lặc sốcủa vành, chú ý rằng trường hợp vành có đặc số là 1 có thể quy về vành cóđặc số là 2; trường hợp vành có dặc số có dặc số là 2q có thể quy về vành códạc số là q. Như vậy. t.rưởc hết ta xét các vành có dặc số là 0.2. q.
Mệnh đề 2.2.2. Tổn íại vành fì có (lặc số charlì = 0 thỏa mân R" = Cp" khi vd chi khi (p, n) = (2.1) hoặc (p, n) = (2,2).
Chứng minh. Dễ thấy rằng khi p = 2 và n = 1 thì ta có z* = c2(nliórn có hai phần tử là
1 và 1, Cĩ sinh bời 1 ). Và khi p = 2. n = 2 thì z[ip = C4 (nhóm có 4 phần từ là -1, 1, -í, I và C| sinh bời ỉ).
Chiều ngược lại, theo mệnh dề l|2.2.1||. ta có Ị) = 2 (lo chat lì = 0/2. Ta cần chứng minh n = 1 hoặc n = 2. Tức là nếu 3 < n < oc thì khơng có vành fì nào có đặc sé là 0 mà nlióni các phần tứ khả nghịch của I1Ĩ đẳng cầu với í 2». Giã sử ngược lại tồn tại
30 0
vành R như vậy. Do n > 3 nên ta có vành /í* chứa phần tử có cấp 8, ký hiệu là Xét đồng cấu vành tự nhiên:
f : Z[x] ---------♦ /?
/(x) ----------» /«8)
Do là phần tử cấp 8 nên = 1 và ý- 1 hay SS - 1 / 0. Như vậy — 1 = 0 kéo theo $8 4- 1 = 0, tức là ,ổ(x) = X4 4-1 là một phần tứ thuộc ker /. Khi đó ta có sơ đồ giao hốn sau:
Bây giờ ta sẽ chứng minh tồn tại số tự nhiên sao cho (1 + X 4- X2)2 - 1 là một phần tử khác trong ker /.
Trước hết, ta chứng minh /(1 4- X 4- X2) khả nghịch trong /?.
Thật vậy, ta có (1 - X2 + x3)(l + X + X2) = 1 + X + Xs = 1 + x(x4 4- 1) = 1 mod (x4 4- 1). Đo dó 1 - X2 + X3 là phần tứ khà nghịch cùa 1 4- X 4- X2 trong vành thương Do sơ dồ trên giao hoán và dồng cấu vành bào tồn tính
khả nghịch, nên /(1 4- X 4- X2) khà nghịch hay /(1 4- X 4- X2) Cling khá nghịch trong
R. nghĩa là /(1 4-X4-X2) thuộc R’ - Ứ2-. Suy ra cấp của /(1 4-X4-X2) là 2k do dó /(1 4- X 4- X2)2* = 1 = /(1) hay /[(1 4- X 4- X2)2* - 1] = 0. suy ra (1 4- X 4- X2)2* - 1 là một phần tứ của ker Ị. Dạt «(x) = (1 4- X 4- X2)2’ - 1 € ker/ thì ta có £(x) và «(x) là hai da thức 3 1
nguvên tố cùng nhau trong Q[x). Thật vậy. ta có 3(x) - X1 + 1 là da thức bất khá quy trong Q[x] theo tiêu chuẩn Aidenstainơ (Eisenstein), hơn nửa phần tứ $ = eirỊf4 = COSTT/4 4- isinir/4 là nghiệm cùa ậ(x), nhưng không là nghiệm của Ot(x) (do 1 + < + <2 khơng nam trên dường trịn đơn vị). Vậy $(x) không là ước cùa o(x) trong Q[x| nén ,3(x) và a(x) nguyên tố cùng nhau. Vì Q[x] là miền Euclide nên hai đa t hức hệ số hữu tỷ o(x) và ờ(x) sao cho 1 = a(x)a(x) + ị(x)/ỉ(x). Khi dó, tồn tại số nguyên dương m dể m.a(x) và n».6(x) dền thuộc z[x]. Nên ta có:
m = (m.ữ(x))a(x) + (m.ờ(x))^(x) trong ZỊxỊ.
Lại vì a(x) và 3(x) đều nằm trong ker f nên kéo theo số nguyên dương m thuộc ker f diều này là khơng thể vì f(m) = m.
Vậy « = 1 hoặc n = 2. Chứng minh kết thúc. □
'lYước khi chứng minh bồ dề về sự tồn tại của vành đạc số ợ mà fì' = Cp’., ta cồn bổ đề về vành thương của một vành sau:
Bổ đề ‘2.2.3. Cho R = Ĩ[F, với F, là các trường. Nếu .4 /à vành thương cùa vành /?. thi /1 3 n F,
với K c {1,2,...,«}.
Chứng minh. Vì .4 là vành thương cúa vành /ỉ nên .4 = /?// (1) với Ị là ideal của R.
Với mỗi ỉ = 1,2,...,« la dặt K, = /•’, nếu (0, ...0) € / và Ki = 0 nếu (0, ...,Ci,...,0)
Ta chứng minh ỉ = fi K, (2). /"1
Thật vậy, giã sử ữ = («|. ...,aị. ...,an) € /. Vói mỗi chi số i: nếu at = 0 thì hiên nhiên a, 6 À',; nếu a,
ý- Othì (0, ...,ej,o,..., 0) = (0, ...,a,_l, 0................................................0)(a|, e ỉ do dó
Ki - F, nên ai € F, = Kị. Vậy / c II Kị.
t—1
Ngược lại. lây a — («1,€ II K,:a, 6 A',. Ta chứng minh a € ỉ. í-1
Với mỗi chi số i. nếu (0,..., e,-, ...,0) $ ỉ thì Ki — 0 nơn a, = 0 do đó
(0....0) = 06 /; nếu (0, .... 0) € ỉ thì (0,...,ơ,,...,0) = (0....»0)(0, ....01 /(do (0, ...,e,, ...,0) 6 / ). Vậy, (0, ...0) € / với mọi ỉ = 1,2, Do dó,
ơ = (ai,«2} ...,On) = («1.0,...,()) + ... 4- (0,...,(),On) 6 /. Vậy íl Ki c ỉ. Do đó, / = n A; và (2) đúng.
Từ (1) và (2) suy ra /1 = RỊ Ị = Ị Ị F, vói A' c {1,2, ...,7i}. □ >ẽÃ-
Mệnh đề 2.2.4. ƠAo q và p là hai sổ nguyên tố khác nhau và cho 1 < n < oc.
Tồn tại vành R có đặc số (Ị với R* = Cp» khi và chi khi một trong các. diễu sau xày ra:
(A) n = 1. q = 2 và p là số nguyên tổ Mersenne, (lì) n = 3. <7 = 3 vổ p = 2.
(C) n < 00, <7 = 2'1 + 1 /à số nguyên tố Fermat, và p = 2.
Chửng minh. Cho R là vành có đặc số là số nguyên tố q thỏa mãn R" = Cpn với 1 < n < oo.
Nếu n < <x> thì ta đặt k - n; nếu n = 00 thì ta chọn k > 1 thỏa mãn pk > q2.
Khi dó tồn tại £pi có cốp // trong /?*. Ký hiệu Ft là trường có q phần tứ. Ta có tồn cấu vành:
-> W £ lì (1) xác định bài f(x) <-> /(Cp*).
Do q và p là hai số nguyên tố cùng nhau nên hai đa thức xpí - I và đạo hàm
cùa nó (p*xp* ') ngun tố cùng nhau trong F,[xỊ. Do dó đa thức - 1 khơng có nghiệm bội nên xpi
— 1 phân tích (lược thành tích các đa thức bất khà quy phân biệt trong FfljrỊ. nghĩa là:
với p,(r) là các đa thức bất khà quy khác nhau. Hơn nữa, do Fv là trường và p,(x) bất khá quy nên cũng là trường hữu hạn đặc số q và
với ni, là số tự nhiên não đó. Theo định lý Trung Hoa về dư ||1.3.4[| ta có:
(^5 đ F,M/(Pi(i).p2(ơ) .p<(ơ)) a WtaW) X ... X F,|,J.a Fợ-1 X ... X
Vì FqiCpii là vành thương cùa d° (1) theo bổ đề lỊ2.2.3fr thì: F,[sp*] - x — x
Suy ra ta có:
vì /■’,/Ípí]‘ là nhóm con hữu hạn cùa p-nhóm Cp’> và có cấp ít nhất là pk do ípi có cấp là //. Do F, £pj' là nhóm abel khơng phân tích được mà lại đung cẩu với tích các nhóm cyclic Cpi-1 X ... X C^.-I nên tồn tại r > k sao cho F4[ípt]* = Cp', nghĩa là Cp' = GỊ«. 1 với i là một số nào đó. Từ dó suy ra pr = qm- - 1 và n > r > k.
Bây giờ ta giá sử n < oc khi dó n = r = k. Nếu p = 2 thì theo bổ đề (Ị1.1.25D, số (Ị hoặc là số nguyên tố Fermat và m, — 1. thỏa trường hợp (C), hoặc <7 = 3 và m, = 2 thỏa trường hợp (B). Nếu p là số lè thì (Ị = 2 và do bố đề ||1.1.2G|| ta có r = rí = 1 và p là số nguyên tố Mersenne thỏa trường hợp (A).
Tiếp theo, giã sử n = oo. Nếu p = 2 thì theo bố dề ||1.1.25^ ta có nil < 1 do đó ợ2 < pk < pr = qm‘ - 1
< ọ2 - 1 (điều này mâu thuẫn với cách chọn k < r). Nếu p là số lẽ thì theo bố đề !]1 ■ 1.26ỊI, q = 2 và r = 1. Từ đó suy ra k - 1. mâu thuần.
Chiều ngược lại, ta chi cần chi ra trong từng trường hợp (A),(B).(C). lỏn tại vành R thỏa R’ =
Cpn.
Trường hợp (A), với p là số nguyên tố Mersenne, ta có ĨYường hợp (B), ta có R = Fg.
TYường hợp (C) cho q = 2” + 1 là số nguyên tố Fermat, ta có lì - F,t.
Chứng minh kết thúc. □
Mệnh đề 2.2.5. Tồn tại vành lì có dặc sỗ ỉn 2 thỏa mãn R’ = Cp» khi vổ chi khi (p,n) = (2,1) hoác
(p,n) — (2.2) hoặc p là số nguyên tồ Mersenne và n = 1.
Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh với 3 < n < 00 khơng có vành R nào có dặc số là 2 vơi /?’
ỀỂ Cy. Giá sử tồn tại vành R như vậy, do n > 3 nên tồn tại phần tử CB € F có cấp 8. Khi dó, F2[ệ8) là vành con của R. Ta có tồn cấu vành:
------■ ftfel
/M-----------
Nhóm (F2[ộí|)* là nhóm con cua c2» với ít nhắt 8 phần tử. do dó (F2ị£8J)* = với k > 3. Mặt khác. F2(ỘJ) là vành thương cua rành
/Co + (x - I)8 I---------> /(x + 1) + X8
là đầng cấu và đạc số cùa ỉì là 2 nên do đó:
= _fkfeL 2 F2W
(x8 - 1) (x- 1)« (x8)
Do F2(ís) là vành thương của vành cho nên /■•ìíís) cũng có thể được xem là vành thương của vành ^lặ. Khi đó, có
ft/) — ¥ —> ft(í»)
vơi p là phép chiếu tự nhiên và (Ị la toàn cấu vành. Đặt ớ là tích của (Ị và p (ỡ - q.p : F2[x] -> F2(£s)) là tồn cấu do đó:
F2«8) * F2[xỊ/kerớ = F,[x]/(/(x)) với /CO € F2[x]
(chú ý do Fj[xj là vành chính nên kerỡ là ideal chính do đó kcrớ sinh bời /(0). Mà Xs e kerớ = (/(x)) nén ta có X8 chia hết cho f(x) hay f(x) = X1 với 1 <1 <8.
Suy ra F2(&) = F2[x]/(x') với 1 < í < 8. Ta có trong F2[x]/(xr), với mọi da thức đều có dạng h(x) =
dữ + «|X + ... + với Oj €0,1- Như vậy có 2f
da thức trong F2[x]/(xf).
Giả sử lì(x) = (ìịy + ÍI1X + ... + at ỵX( 1 khả nghịch trong F2'x]/(x‘). nghĩa là tồn tại g(x) = bo +
bỵX + ... + ốf_|XẠ_1 sao cho h(x).g(x) = T, suy ra ao.ỉ»D = 1 nên <10 — 1 và ỏo = 1. Trường hợp «0 = 0 thì hiến nhiên h(x) khơng khà nghịch.
Như vậy trong F2íx]/(x')< h(z) khả nghịch khi và chi khi O() = 1 hay h(x)
21 1
khơng khỏ nghịch kin «0 - 0. có nghĩa là trong /':>ixj/(x') có đúng 2' 1 phần tử khả nghịch. Đo nhóm các phần tữ khả nghịch của vành thương đung cấu với Cọc vói k > 3 nên 2'-’ > 23, do dó t > 4, suy ra 2t - 2 > 2í - 4 > t. Khi dó:
(1 + x<-1)2 = 14- X2'-2 = 1 mod (x1) và (1 4- x*“2)2 =14- x2t~4 = 1 mod (x').
Như vậy cá hai phần tư (1 4- X1 ’) và (1 4- X*-2) đều có cấp hai. do dó nhóm các phần từ khà nghịch khơng là nhóm cyclic do C'i’‘ có duy nhất một phần tứ cấp 2.
Vậy n = 2 hoặc /1 = 1.
Chiều ngược lại, trường hợp 1: p / 2 thì theo mệnh đề IỊ2.2.4D ta suy ra p là sồ nguyên tố Mersenne và n = 1.
TYường hợp 2: Ị) = 2, theo chứng minh trên ta có (Ẹ/x]/(x2))* có dứng 22-1 phần tử (ứng vói í - 2) nên (/-2[x]/(x2))* c2. Do đó có vành /? = F2[x]/(x2)
có đặc số là 2 thỏa mãn (F2[x]/(x2))* = C-2 ứng với n = 1. Tương tự. ta có vành R = F2[X|/(J3) CÓ
đặc số là 2 thỏa màn (F;ỉ[x]/(x3))* — C| ứng với n = 2. □
Mệnh đề 2.2.6. Tồn tại một vành R có đặc số chai R là 4 thủa mãn R* ~ Cp* khi và chi khi (p. n) = (2,1) hoặc (p, n) = (2,2).
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra dược Zj là vành có dạc số là 4 vói nhóm nhân C-2- Hơn nữa z[x]/
(2x,x2 - 2) là vành có đặc số là 4 với nhóm nhân là c.| có 4 phần tứ là T. 1 4- X, 3,3 4- X vối phần tứ sinh là 1 + X.
37 7
Ngược lại, cho R là vành có đặc số là 4 / 2 do mệnh đề |Ị2.2.1[| nên p - 2. taCần chứng minh n = 2 hoặc n = 1. Bây giờ giả sử vành ỉì thỏa /?* =Ể Cp* và 4 < n < 00. Xét ánh xạ thương f : R —> /?/ (2). Hiển nhiên f toàn cáu. như vậy cần chứng minh [/?/(2)J* là một trong hai (.’■><■ hoặc C'2" I. Dầu tiên, ta chứng minh /’ : IV -> Ị/?/(2)]‘ là toàn cấu.
Thật vậy, gọi X € li thỏa /*(x) = X thỏa X khá nghịch trong /?/(2), cần chứng minh X khả nghịch trong R Do X khả nghịch trong R/(2) nên tồn tại y € R sao cho 'xy = ì mod (2), .suy ra xy = 1 4- 2t, với t € R. Bình phương 2 vế ta dược (XỈ/)2 = 1 4- 4t 4- it2 = 1 (do chữrR = 1). Vậy X khả nghịch
trái t rong R. Tương tự, X khá nghịch phải nên X khả nghịch. Vậy f* toàn cấn.
Tiếp theo ta chứng minh ker /• là một nhóm con cùa (-1). Lấy X € ker Ị* suy ra /*(x) = ĩ nên X = 1 4- 2t. Bình phương hai vế ta dược X2 = 1, tương tự như trên ta có X = 1 hoặc X = -1 do —1 là
phần tứ cấp hai duy nhất của R*. Nếu kcr /* = 1 thì Ị/?/(2)]‘ * c2n. Nếu ker /* = (-1) và n < 00, ta có:
[/?/(2)]‘ * /?*/(-!) /r/c2 c2n/c2 = C2n-I.
Nếu ker /* = (-1) và n = 00. ta có:
|rt/(2)r “ “ R-/c2 * C^/Ci = u c2n/c2 = u Ứ2-.-1 = c2«>.
n>2 n>2
Ta có vành /?/(2) có dạc số là 2 nên theo mệnh dề lỊỊTãỊi ta có (/?/(2)]’ C'2n với n = 2 hoặc n = 1. Điều nồy dẫn đến mâu thuẫn. Vậy n < 4.
Giri sử n = 3 và tồn tại vành R có đặc số là 4 thỏa mãn R* = c8. Đặt là phần từ sinh của cs. Khi dó ta có dồng cấu vành:
38 8
/(*) H. /(&)
Ảnh của là vành s hữu hạn có đặc số 4 mà nhóm các phần tử khá nghịch của s là
c$. Ta có ố = n ỉỉi với /A nguyên sơ. Suy ra Cị. = n hừũ hạn hửũ bạn mà Cs khơng phán t ích được nên tồn tại vành íi, ngun sơ có đặc số là 4 sao cho
Rị = Cu (điều này mâu thuẫn với (lịnh lý Gilmer, xem |7Ị). \ạv n = 1 hoặc n = 2.
□ Từ mệnh đề (|2.2.4|, ta suy ra được trường hợp đặc số cùa R là một số nguyên tố Fermat như sau:
Mệnh đề 2.2.7. Cho q là một số nguyên tố Fermat. Tồn tại vành R có đặc. số q
thỏa màn R* = Cpn khi và chi khi p = 2 vd q = 2" + 1 < oc. hoặc p = 2,q = 3 và n
= 3.
Bây giờ ta có kết quà trong trường hợp vành R có đặc số là 2q như sau:
Mệnh đề 2.2.8. Cho q là một số nguyên tó lè. Tồn tại vành R có dặc số là 2q thơn
mãn R’ — (?2« khi và chi khi tồn tại vành s có dặc số là q thỏa màn s**c2*. Chứng minh. Giả sử, ta có vành R có đặc số 2q thỏa mãn R' = Cọ" vói
1 < n < oc .
Xét các ideal (2) và (q) trong R. Với q là số nguyên tố lẻ nên ta có (2) + (9) = (1) và (2) íì (ợ) = (0). Khi đó theo định lý Trung Hoa về dư (]1.3.4||. ta có:
R * /?/(2) X R/(q)
Từ dó dễ dàng suy ra Ci- R’ p?/(2)]* X [7?/(ợ)]\
Do nhóm R* đẳng cấu với C’2» là nhóm abel khơng phần tích được nên ta có [/?/ (2)J’ hoặc (/í./(<?)]* là nhóm tầm thường. Hơn nữa. /?/(ợ) là vành có đặc số là số lẻ nên chứa phần tứ khá nghịch không tầm thường. Do đó, /?/((/) là vành có đặc số
ợ mà nhóm các phần từ khá nghịch đầng cấu với C’2". Vậy ta chọn s - R/(q) thỏa mệnh đề.
Chiều ngược lại. giả sứ tồn tại vành lì có đặc số (Ị với q lẻ thỏa mãn li' = cp. Khi
(ló vành R X F2 là vành có đạc số 2q cũng mà nhóm các phần tử khà nghịch đẳng
cầu với C2-. □
Nếu khơng (plan tâm đến (lặc số cùa R thì ta có (lịnh lý san:
Định lý 2.2.9. Tồn tại vành R thíỉa mãn R' — Cp» với p lá một số nguyên
tổ vã 1 < n < 00 khi vỏ chỉ khi n < 00 và
8
p" = (/ — 1 rới (/ là một só nguyên tó Fermat, hoặc p với p là
một số nguyên lố Mersenne, hoặc
Dặc biệt, khơng có vành R nào mà nhóm cắc phàn tử khá nghịch là p—nhóm tựa cyclic.
Chứng minh. Dễ (làng thấy rang nếu p" bang một trong các số (lược nêu trên, thì
tồn tại một vành (thực te là vành hữu hạn) chứa nhóm các phản từ khá nghịch chính là Cp«.
Chiền ngược lại. ta (plan sát (lược lằng khơng bao giờ là nhóm nhân trong một vành (theo rnệnli (lề ||ĨTĨ|;. (|ĨZ2||. ||Ĩ2JS| |, (ĨĨÍĨỊ . ;jZ25ji và |gT8>), (lo (kí ta có thế chắc chấn là n < 00.
Bậy giò giá sử rằng p là số lẻ. Do mệnh đề q2.2.1|h đặc số cùa R phái là 2. Mệnh đề (Ị2.2.5P chi ra rằng n = 1 và p là số nguyên tố Mersenne.
Tiếp theo, ta xét p = 2. mệnh (lè ||2.2.1|l chi ra rang đặc số cùa ỉì phải là 0.2.4. ợ hoặc 2(Ị với ợ là một số ngun tố Fermat. Vì các nhóm cyclic c*2, C2S và Cỵx