Các vấn đề của Fuchs cho nhóm abel khơng phân
2.3 Chứng minh định lí cơ bản trong trường hỢp nhóm khơng xoắn
khơng xoắn
Trong phần này. ta sè chì ra rằng mọi nhóm abel. khơng xoắn 6’ là nhóm các phần tứ khá nghịch của một vành giao hốn nào đó.
Dầu tiên cần định nghĩa thứ tự tuyến tính trên một nhóm abel 6’ là một quan hệ hai ngôi < trên 6’ thỏa các tính chất phàn xạ, phản đối xứng, bấc cầu, tồn phần, và thỏa mãn tính bào tồn thứ tự (nếu ít < b, thì với bát kỳ c € G ta có GC < bí:}. Một nhóm abel vói thứ tự tuyến tính là một nhóm abel mà có một quan hệ thứ tự tuyến tính (vừa (lịnh nghĩa) ờ trên nó.
Một ví dụ của một nhóm abel với thứ tự tuyến tính là nhóm (Q, +). nhóm cộng của các số hữu ti theo quan 11Ộ < thông thường.
Trong bất kỳ một nhóm abel với thứ tự tuyền, ta viết a < b khi (ì < b và a / b.
Mệnh đề 2.3.1. Cho G là một nhóm abeỉ với thứ tự tuyến tính. Nếu a < b và c < d.
thi ac < bd.
Chứng minh. Do a < 6 nên ta cùng có a < b. Do bào tồn thử tự ta có oc < bc. Mà ac bc do khơng xét trường hợp a = b. Do dó oc < bc.
Lại có c < d nên do báo tồn thử tự ta có cb < bd. Khi đó oc < bc < bd. Áp dụng tinh chất bấc cầu ta có oc < btl.
Giả sữ ac = M suy ra (IC < bc < (tc. tức là bc ac (màu thuần). Vậy có
Dể chứng minh định lý cơ bản trong trường hợp nhóm khơng xoắn ta cần định lý sau đây là định lý Levis về sự tồn tại thứ tự tuyến tính trên một nhóm abcl khơng xoắn.
Định lý 2.3.2. Một nhóm abc.i G có thứ tự tuyền tỉnh khi Víì thi khi nó khơng
xoắn.
Xem [4], Định lý Levi trang 256-263.
Hơn nừa ta cần biết các kiến thức về vành nhóm sau:
Vành nhóm
Định nghĩa 2.3.3. Cho /? là vành giao hốn, có đơn vị 1. G là nhóm nhân với phần tử đơn vị e. Ta định nghĩa /?ịứ] là tập hợp mà mỏi phần tử của nó là tổng hình thức hữu hạn: u = 52 r9.Ịi với r9 € /i và rợ = 0 với hầu hết g trừ ra hữu hạn phần tử, với phần tử í’ = 52 s„.g. Khi (ló, u = V khi và chi
$€<? khi r9 = Sg với mọi g € G.
Phép cộng trong dược định nghĩa như .san:
tt ® t' = (r9 + $ữ)-ỉỉ
phép nhân hai đơn thức: r.j.g 0 .
Phép nhân u $ V quy về phép nhân hai (lơn thức như trên theo luật phân phối sau đó nhóm các phẩn tử đồng (lạng với nhau.
Khi (ló. /? G'] vói phép cộng và phép nhân trên làm thành một vành với phần tử - khơng là phần tử có rg = 0 với mọi g € G, phần từ (lơn vị là phần tứ có r6 = 1 và
43 3
rg=0 với mọi g Ỷ e-
Dể thấy G <
Trường hợp đặc biệt. R = p2. Khi đó mồi phần tứ cúa F> chi có thể là 0 hoặc 1 do đó mỗi phần tứ thuộc /••/£»’) có thế viết dưới dạng: u = 91 4- 92 + + 9n
với 9, € G.
Định lý cơ bán trong trường hợp nhóm khơng xoắn được thể hiện trong định lý dưới dây.
Định lý 2.3.4. jVếu G tà nhóm abel khơng xoắn, thi ỉ"'i{GỴ = G. Dặc biệt, nhóm
abel khơng xoắn ln bì nhóm các phần từ khà nghịch trong các vành giao hốn. Chứng minh. Do G là khơng xoắn, trên G xác định một thứ tự tuyến tính, ký hiệu
là <-
Gọi u là một phần tữ khả nghịch của Ẹỉ(G). Ta có the viết dưới dạng:
« = 91 + 92 + ■■■ + 9n, Veil n > 1 và 91 < g2 < ... < gn, Ọi G
Ta sè chứng minh rang u chi có một số hạng duy nhất; nghía là n = 1, do dó u = 91 e G.
Giá sứ ngược lại n > 1 Khi dó 91 < g„. Dặt V là nghịch dào của u (do Ư khã nghịch). Ta có thế viết V dưới dạng: i' = hi 4- h2 + ... 4- hm. Với một số m > 1 nào dó VÀ hi < h2 < ... < h,„. Vì u.v = 1 ta có: 4 4
n Hỉ
E E.9.^ = 1-Diều này có the được viết với (lạng: Diều này có the được viết với (lạng:
ýlM + ỹnhm 4- ...... = 1
Do f]i < gn và /li < /ỉ,„ nên theo mệnh dề (|2.3 1(| ờ trơn ta có Ọỵhỵ < g„hm, suy ra <71/iJ là số hạng nhó nhất duy nhất và gnhm là số hạng lớn nhất duy nhất trong tống trên. Diều này chi ra rằng các phần tử cùa 6' không dộc lập tuyến tính (mâu
thuẫn). □