D 25 2C 30/ 12C 30 2C 25/ 17C 30 25// 30 25 C
2. Các bài toán rèn luyện
Bài 1. Chonnguyên dương. Tìm tất cả hàm sốf :R→Rthỏa mãn f(x+nf(xy)) =f(x) +nxf(y),∀x, y ∈R.
Bài 2. Cho số nguyên lẻn > 1.Tìm tất cả hàm sốf :R→Rthỏa mãn f(xn+f(y)n) = yn+f(x)n,∀x, y ∈R.
Bài 3. Cho trước số nguyên dươngn.Tìm tất cả hàm sốf :R→Rthỏa mãn f(xf(y) +nf(x)) = (n+ 1)f(x) +xyvới mọix, y ∈R.
Bài 4. Với số nguyên dươngn, xét hàm sốf :R→Rthỏa mãn 2020
(x+y)f(x+y)−f x2+y2
=xfn(y) +yfn(x)
với mọix, y ∈R, trong đó ký hiệufn(x) =f(f(...f(x)...))là hàm hợpnlần củaf. Chứng minh rằng với mọin∈Z+thì có khơng q 3 hàm số phân biệt thỏa mãn.
Bài 5. Cho trước số nguyên dươngn.Tìm tất cả hàm sốf :R→Rthỏa mãn f(f(x) +nx+y) = f x2
Bài 6. Tìm tất cả hàm sốf :R+→R+thỏa mãn
f(nx+f(x) +y) =f((n+ 1)x) +f(y), với mọix, y >0.
Bài 7. Cho trước số nguyên dươngn.Tìm tất cả hàm sốf :R→Rthỏa mãn f nx3+y+f(y)
= 2y+nx2f(x) với mọix, y ∈R.
Bài 8. Cho trước số nguyên dươngn.Tìm tất cả hàm sốf :R→Rthỏa mãn f(x−f(y)) =f x+y2n
+f f (y) +y2n
+ 1với mọix, y ∈R.
Bài 9. Cho số nguyên dươngn≥2.Tìm tất cả hàm sốf :R→Rthỏa mãn f(xn+ 2f(y)) =f(x)n+y+f(y) với mọix, y ∈R.
Bài 10. Choα, βlà các số thực dương. Tìm tất cả các hàm sốf : (1; +∞)→Rthỏa mãn f(x)f(y) =yαfx 2 +xβfy 2 với mọix, y >2.
Bài 11. ChoP (x)là một đa thức hệ số thực có bậc chẵn. Tìm tất cả hàm sốf : R → Rthỏa mãn
f(x) = f(x+P (y) +f(y)) với mọix, y ∈R.
Bài 12. Cho số nguyên dươngn≥2.Tìm tất cả hàm sốf :R+ →R+thỏa mãn f(x)f(y)f(z) =nf (z+xyf(z)) với mọix, y, z >0.
Tài liệu
[1] Lê Anh Vinh (chủ biên), Định Hướng Bồi Dưỡng Học Sinh Năng Khiếu Toán - Đại Số. [2] Nguyễn Tài Chung, Chuyên Khảo Phương Trình Hàm.
[3] Titu Andreescu, Iurie Boreico, Oleg Mushkarov, and Nikolai Nikolov, Topics in Functional Equations – 3rd Edition.
[4] Diễn đàn Art of Problem Solving. [5] Nhóm Hướng tới Olympic Tốn VN