D 25 2C 30/ 12C 30 2C 25/ 17C 30 25// 30 25 C
MỞ RỘNG BẤT ĐẲNG THỨC CỦA VASILECIRTOAJE
Bất đẳng thức Vasile Cirtoaje là một bất đẳng thức khơng khó nhưng rất chặt. Ngồi cấu trúc gọn, đẹp nó còn được phát biểu dưới hai dạng tương đương tường minh rất thuận tiện cho việc áp dụng để giải hàng loạt bài tốn bất đẳng thức khác hay và khó. Trong bài viết này tác giả không đề cập đến ứng dụng của bất đẳng thức đó vào giải tốn, mà chỉ xin giới thiệu một số mở rộng mới đã được các tác giả tìm ra trong thời gian gần đây.
Nội dung bất đẳng thức Vasile Cirtoaje như sau:
Bài toán 1. Choa; b; c là ba số thực dương. Chứng minh rằng
a2 a2CabCb2 C b 2 b2CbcCc2 C c 2 c2CcaCa2 >1: (1) Từ bất đẳng thức (1) ta đưa về bất đẳng thức tương đương:
1
1C ba C ba2 C 1
1C cb C cb2 C
1
1Cac C ac2 >1: Bây giờ ta đặtx D ba; y D bc; zD ac thì (1) được phát biểu dạng khác sau đây: Bài toán 2. Chox; y; zlà ba số thực dương thỏa mãnxyz D1:Chứng minh rằng
1
x2CxC1 C 1
y2Cy C1C 1
z2CzC1 >1: (2) Bất đẳng thức (1) và (2) đã có vài cách chứng minh khác nhau đăng trên các diễn đàn Toán học sơ cấp. Song tất cả các cách chứng minh đó đều khá dài và phức tạp, kể cả cách chứng minh của chính tác giả Vasile Cirtoaje. Cách chứng minh đưa ra dưới đây của bạn Lê Khánh Sỹ ở Long An có lẽ là cách chúng minh hay nhất, đặc sắc nhất ở thời điểm hiện tại. Xin mời đọc giả theo dõi thưởng thức. Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sẽ được:
a2 a2CabCb2 C c 2 c .aCbCc/ > .aCc/ 2 a2Cb2Cc2CabCbcCca;