4 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
3.1 Các quần thể NSGA-III của bài toán tối ưu danh mục đầu tư
Thuật tốn xấp xỉ ngồi
Với phương pháp đã trình bày ở mục 1.2.2, các tia chiếu tìm nghiệm trên mặt Pareto được minh hoạ trong Hình 3.2.
Hình 3.2: Phương pháp xấp xỉ ngồi cho bài tốn tối ưu danh mục đầu tư
So sánh phương pháp xấp xỉ ngoài và NSGA-III
Tập nghiệm của 2 phương pháp nêu trên được minh hoạ trong Hình3.3 cùng với điểm tham chiếu để tính giá trị độ đo HV. Giá trị HV cụ thể của phương pháp xấp xỉ ngoài và NSGA-III lần lượt là8.914e+ 9 và 7.197e+ 9, có thể thấy mặc dù
2 thuật tốn đều hội tụ trên mặt Pareto nhưng thuật tốn NSGA-III có độ đa dạng nghiệm yếu hơn thuật toán xấp xỉ ngồi từ đó khiến độ đo HV bị nhỏ hơn.
Tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu
Để giải quyết bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu xấp xỉ thu được sau khi chạy thuật toán NSGA-III (kết quả của phương pháp xấp xỉ ngồi được bỏ qua vì kết quả ra gần như tương tự với NSGA-III), ta tạo một véc-tơ với các giá trị trải đều trong khoảng [0; 1] và coi những giá trị này chính là λ của hàm tuyến
Hình 3.3: Tập nghiệm trên khơng gian ảnh của hai thuật toán Bảng 3.1: Kết quả tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu.
λ E(x∗) V(x∗) 0.6 1.244e+ 5 0.594e+ 5 0.7 1.004e+ 5 0.634e+ 5 0.8 0.592e+ 5 0.742e+ 5 tính φ trong (PX) φ(f(x)) = (1−λ)E(x) +λV(x), x∈ XE, λ ∈[0; 1]. (3.4) Để ý rằng nếu E(x) hay V(x) lớn hơn hẳn nhau, khả năng λ sẽ khơng có tác dụng trong việc tối ưu trên XE. Do đó, ta cần chuẩn hố các nghiệm trong khơng gian hàm mục tiêu bằng cách chia cho giá trị lớn nhất thu được theo mỗi hàm mục tiêu trước khi tìm nghiệm x∗ bằng cách tối đa hố hàm lợi ích φ(f(x)) với các giá trị λ và đặt lại giá trị ban đầu.
Do có thể thấy rằng tập nghiệm Pareto của bài tốn đa phần là mặt tuyến tính nên với nhiều tham số λ thì kết quả sẽ tương đối giống nhau và phương án được lựa chọn cuối cùng sẽ bị lệch về phía biên của tập Pareto. Chính vì thế ta chỉ chọn ra 3 giá trị λ để biểu diễn kết quả cuối cùng như trong Bảng 3.1. Có thể thấy rằng có sự đánh đổi giữa giá trị lợi nhuận kỳ vọng và độ hiệu quả đầu
tư khi thay đổi trọng số λ.
3.2 Bài toán tối ưu canh tác
Phần tiếp theo trình bày về bài tốn tối ưu canh tác với một phần nội dung dựa trên bài báo nghiên cứu [10] đã được cơng bố của tác giả.
Bài tốn tối ưu canh tác là một bài toán rất phổ biến và rất được quan tâm ở các nước phát triển nơng nghiệp. Ngồi việc tăng tối đa lợi nhuận rịng, người quản lý thường sẽ phải quan tâm đến các mục tiêu khác như lợi nhuẩn tổng, lượng nước sử dụng, độ xói mịn, nhân cơng,... với các ràng buộc giới hạn về đất, nhân công, yêu cầu sản lượng tối thiểu tối đa,... Jain [12] đã có một bài nghiên cứu khảo sát về các kỹ thuật tối ưu sử dụng cho bài toán tối ưu canh tác và đưa ra các góc nhìn về các nghiên cứu trước đó. Rút ra từ thực tế, các hệ số trong bài tốn thường rất khó để xác định một cách chính xác, nên các phương pháp tiếp cận sử dụng hệ mờ với hàm mục tiêu, hàm đích mờ thường được sử dụng [19, 25] cũng như các mơ hình ngẫu nhiên mờ [27, 32, 33].
Mơ hình ngẫu nhiên của tơi cho bài tốn quy hoạch cây trồng có vài điểm khác so với các mơ hình đề xuất bởi Yano [32] và Toyonaga [27]. Trong khi những mơ hình họ sử dụng xử lý việc ước lượng độ đo xác suất một cách trực tiếp, mơ hình chúng tơi tập trung vào việc mơ hình hóa phân phối rời rạc của các biến ngẫu nhiên mờ.
Trong phạm vi bài báo nghiên cứu, chúng tơi đã sử dụng giải thuật tiến hóa NSGA-II để xấp xỉ tập nghiệm Pareto. Tuy nhiên trong phạm vi đồ án này, 3 thuật toán tiến hoá được so sánh với nhau và thuật tốn xấp xỉ ngồi giải bài toán tương đương (SQMOP) cũng được sử dụng để đem ra so sánh với 2 thuật tốn tiến hóa.
3.2.1 Phát biểu bài tốn
Bài toán tối ưu canh tác (Crop planning problem - CPP) là một bài tốn xác định những loại hình canh tác nào sẽ được ni trồng với số lượng hay diện tích là bao nhiêu trong một diện tích canh tác cho phép để đạt được sự tối ưu theo
các mục tiêu đã đề ra.
Giả sử rằngn là số lượng loại hình canh tác với diện tích tương ứng từng loại là xi, i = 1, . . . , n. Trong thực tế, người quản lý nông nghiệp thường sẽ xác định
một vài tiêu chí quan trọng để tối ưu chẳng hạn như lợi nhuận, thời gian tiêu tốn, lượng nước tiêu hao, sự xói mịn đất [12], ta đặt k là số lượng hàm mục tiêu mà ta quan tâm này và bài tốn được mơ hình hóa dưới dạng sau đây
Min Cx= (c1x, . . . , ckx) (CPP-LP) v.đ.k. x∈ X,
trong đó x = (x1, . . . , xn)T và ci = (ci1, . . . , cin), i= 1, . . . , k là các hệ số của hàm mục tiêu thứ i. Tập chấp nhận được X có thể bao gồm các ràng buộc liên quan đến các yếu tố canh tác như đất, nhân công, nước, sản lượng,...
3.2.2 Dạng quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính ngẫu nhiên mờ
Với việc mở rộng các tham số trở thành các biến ngẫu nhiên mờ, bài toán (CPP-LP) chuyển thành bài toán (MOFRLP), chi tiết cụ thể sẽ được trình bày trong phần kết quả thử nghiệm ở mục tiếp theo.
Từ bài tốn (MOFRLP), luận văn trình bày 3 mơ hình khác nhau với 3 lần thử nghiệm.
• Đầu tiên, với nội dung trong bài báo nghiên cứu của tác giả [10], ta thử nghiệm giải thuật NSGA-II cho bài toán dạng (FE-model) như sau
Min −QE1 (x),−QE2 (x) (FE-model-CPP) v.đ.k. x∈ X.
• Tiếp theo, 3 phương pháp tiến hố đã trình bày trong mục 1.2.3 được so sánh với nhau bằng kết quả chạy cho bài toán dạng (FEV-model-2) như sau Min −QE1 (x),−QE2 (x), QESD1 (x), QESD2 (x) (FEV-model-CPP) v.đ.k. x∈ X.
là NSGA-II và SPEA2-SDE dựa theo kết quả chạy cho bài toán sau
Min QESD1 (x), QESD2 (x) (FESD-model-CPP) v.đ.k. x∈ X, QE1(x)≥0.5, QE2(x)≥0.5.
3.2.3 Kết quả thử nghiệm
Tại khu vực đồng bằng sơng Cửu Long, có nhiều loại đất canh tác khác nhau, tuy nhiên để đơn giản, ta cân nhắc đến 4 loại canh tác chính bao gồm trồng lúa, rau màu, cây ăn quả và nuôi tôm. Theo thứ tự đó, bằng cách ký hiệu diện tích đất canh tác là x= (x1, x2, x3, x4)T, ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ngẫu nhiên mờ (MOFRLP) với 2 hàm mục tiêu bao gồm tối đa hoá lợi nhuận và tối thiểu hố nhân cơng.
Bảng 3.2: Giới hạn sản lượng yêu cầu của 4 loại hình canh tácLoại hình canh tác Sản lượng tối thiểu (tấn) Sản lượng tối đa (tấn) Loại hình canh tác Sản lượng tối thiểu (tấn) Sản lượng tối đa (tấn)
Lúa 22,000,000 ∞
Rau màu 6,000,000 12,000,000
Cây ăn quả 3,872,000 7,000,000
Tôm 850,000 6,000,000
Với dữ liệu thu thập từ các báo cáo trên website1 của Bộ Nông nghiệp và Phát triển Nơng thơn, giới hạn diện tích đất canh tác cũng như giới hạn sản lượng yêu cầu hiển thị trong Bảng 3.2 được chuyển thành các ràng buộc của bài toán cũng như các hệ số của hàm mục tiêu sau khi chuẩn hoá để thu được những con số nhỏ hơn mà vẫn giữ ngun được tỉ lệ. Từ đó bài tốn tối ưu canh tác được
Bảng 3.3: Tham số các hàm mục tiêue= 1 e= 2 e= 3 γij e= 1 e= 2 e= 3 γij c11e −66 −63 −64 5 c12e −180 −185 −177 4 c13e −294 −300 −295 5 c14e −384 −386 −380 3 p1e 0.5 0.3 0.2 c21e 83 88 85 3 c22e 231 225 234 4 c23e 65 64 68 3 c24e 127 125 125 3 p2e 0.6 0.2 0.2
biểu diễn như sau
min ˜¯c1x= ˜¯c11x1+ ˜c¯12x2+ ˜¯c13x3+ ˜¯c14x4 min ˜¯c2x= ˜¯c21x1+ ˜c¯22x2+ ˜¯c23x3+ ˜¯c24x4 v.đ.k. x1, x2, x3, x4 ∈R, x1+x2+x3+x4 ≤ 35000, −6.11x1 ≤ −22000, −1.42x2 ≤ −6000, 1.42x2 ≤ 12000, −1.06x3 ≤ −3872, 1.06x3 ≤ 7000, −0.12x4 ≤ −850, 0.12x4 ≤ 6000, (MOFRLP-CPP)
trong đó cij˜¯ (i= 1,2;j = 1,2,3,4) là các hệ số ngẫu nhiên mờ được giả sử là xác định bởi 3 chuyên gia với độ tin cậy, giá trị lan rộng tương ứng được cho trong Bảng 3.3 (lưu ý rằng hàm mục tiêu thứ nhất là cực đại lợi nhuận, nên chúng ta thay đổi các hệ số của chúng thành số âm để chuyển về mục tiêu cực tiểu hoá giống với hàm mục tiêu thứ hai biểu diễn nhân công tiêu tốn) và tham số của các hàm đích mờ được cho trong Bảng 3.4.
Bảng 3.4: Tham số các hàm đích mờδ0 δ0 i δ1 i i= 1 −5000000 −11000000 i= 2 5000000 2000000
Bảng 3.5: Độ đo hypervolume của một số quần thểQuần thể Hypervolume Quần thể Hypervolume 25 0.1499 50 0.1649 100 0.1976 200 0.2293 NSGA-II
Ta giải quyết bài toán (FE-model-CPP) bằng thuật toán NSGA-II với các tham số khởi tạo như sau:
• Xác suất trao đổi chéo 0.5.
• Xác suất đột biến 0.5.
• Kích thước quần thể 200.
• Trao đổi chéo mơ phỏng nhị phân.
• Đột biến đặt lại ngẫu nhiên.
Để quan sát sự tiến hoá của quần thể trong NSGA-II, kết quả của 4 vòng lặp được thu thập để minh hoạ giá trị hàm mục tiêu của chúng như trong Hình 3.4 bởi sau vịng lặp 200 thì tập nghiệm khơng có nhiều sự thay đổi. Chúng ta có thể thấy rằng sau khi hội tụ đến mặt tối ưu Pareto tại vòng lặp thứ 100, NSGA-II cải thiện độ đa dạng của quần thể và tạo ra quần thể cuối cùng được vẽ với các hình sao đen với phân bố trải rộng, điều này khiến cho việc ra quyết định có nhiều chiến thuật lựa chọn hơn. Độ đo hypervolume cũng được sử dụng để định lượng kết quả như trong Bảng 3.5.
Hình 3.4: Các quần thể NSGA-II của bài tốn tối ưu canh tác
Bảng 3.6: Tham số khởi tạo của 3 thuật toán tiến hoáTham số NSGA-II, NSGA-III SPEA2-SDE Tham số NSGA-II, NSGA-III SPEA2-SDE Kích thước quần thể 100 100 Số lượng vòng lặp tối đa 100 100 Xác suất trao đổi chéo 0.5 1
Xác suất đột biến 0.5 1
Phương pháp trao đổi chéo Mô phỏng nhị phân Mô phỏng nhị phân Phương pháp đột biến Đặt lại ngẫu nhiên Đặt lại ngẫu nhiên
NSGA-II, NSGA-III và SPEA2-SDE
Ta giải quyết bài toán (FEV-model-CPP) bằng 3 thuật toán NSGA-II, NSGA-III và SPEA2-SDE với các tham số khởi tạo được cho trong Bảng 3.6.
Để so sánh độ hiệu quả của 3 thuật toán bằng 3 độ đo đã trình bày trong mục 1.2.4, ta xác định điểm tham chiếu A cho HV bằng các giá trị cực đại của 4 hàm mục tiêu trên cùng quần thể khởi tạo. Để tính giá trị GD và IGD, mặt Pareto P F∗ được tạo ra bằng cách chọn lấy 100 nghiệm hữu hiệu từ 300 cá thể được sinh ra bởi 3 thuật tốn tiến hố sau 1000 vịng lặp.
Bảng 3.7: Các giá trị Mean, Std, Median, IQR của HV, GD, IGDMean Std Median IQR Mean Std Median IQR
NSGA-II
HV 7.149e−6 1.517e−6 6.833e−6 1.503e−6
GD 1.071e−2 1.248e−3 1.081e−2 1.546e−2
IGD 1.053e−1 1.529e−2 1.030e−1 2.050e−2
NSGA-III
HV 6.256e−6 1.378e−6 5.988e−6 1.568e−6
GD 1.310e−2 1.542e−3 1.325e−2 2.139e−3
IGD 1.626e−1 2.068e−2 1.640e−1 2.401e−2
SPEA2-SDE
HV 8.699e−6* 2.179e−6 8.170e−6* 2.317e−6
GD 6.192e−3* 1.920e−3 6.361e−3* 3.159e−3
IGD 6.241e−2* 2.028e−2 6.388e−2* 3.289e−2
(Median) và tứ phân vị (IQR) của 3 độ đo hiệu năng dựa trên kết quả 100 vịng lặp thuật tốn chạy độc lập, kết quả tốt nhất được đánh dấu với ký tự ’*’. Kết quả cho thấy thuật tốn SPEA2-SDE tốt hơn 2 thuật tốn cịn lại là NSGA-II, NSGA-III với cả 3 chỉ số đánh giá.
Bảng 3.8: Mean, Std của HV
Mean Std Thuật tốn xấp xỉ ngồi 7.8112e−4* 0.0
NSGA-II 5.8899e−4 1.4745e−5
SPEA2-SDE 6.4473e−4 1.0399e−5
Thuật tốn xấp xỉ ngồi, NSGA-II và SPEA2-SDE
Ta giải quyết bài toán (FESD-model-CPP) bằng 3 thuật toán là thuật tốn xấp xỉ ngồi, NSGA-II và SPEA2-SDE.
Ta sử dụng độ đo HV để so sánh kết quả của 3 thuật tốn, lý do GD và IGD khơng được sử dụng là vì 2 thuật tốn đó cần có một mặt Pareto để tham chiếu, mà thuật tốn xấp xỉ ngồi cũng sinh ra một mặt Pareto nên nếu sử dụng kết quả của thuật tốn này thì độ đo sẽ khơng cịn ý nghĩa.
Bảng 3.8 đưa ra chỉ số trung bình và độ lệch chuẩn của độ đo HV dựa trên kết quả của thuật tốn xấp xỉ ngồi sinh ra 100 nghiệm cũng của 2 thuật toán NSGA-II, SPEA2-SDE được cài đặt thời gian chạy như thời gian chạy của thuật tốn xấp xỉ ngồi. Hơn nữa, giá trị khơng gian ảnh của 2 tập nghiệm ngẫu nhiên của NSGA-II và SPEA2-SDE cũng được lấy ngẫu nhiên để minh hoạ cùng với kết quả thuật tốn xấp xỉ ngồi như trong Hình 3.5.
Kết quả cho thấy thuật tốn xấp xỉ ngồi cho biểu diện tập nghiệm tốt hơn hẳn 2 thuật toán tiến hoá dù độ đa dạng của cả tập có vẻ khơng tốt bằng. Thuật tốn SPEA2-SDE vẫn cho ra kết quả tốt hơn NSGA-II giống như trong ví dụ trước.
4.1 Kết luận
Luận văn “Tối ưu đa mục tiêu ngẫu nhiên” trình bày kiến thức về việc mơ hình hố một số lớp bài tốn tối ưu đa mục tiêu ngẫu nhiên cũng như hai phương pháp giải mơ hình tương đương của bài tốn. Việc ngẫu nhiên hố và mờ hoá các bài toán tối ưu là một trong những hướng đi mới của việc định lượng hố sự khơng chắc chắn trong thực tế. Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
• Trình bày cơ sở lý thuyết liên quan đến lớp hàm tựa lồi và tựa lồi nửa chặt.
• Trình bày cơ sở lý thuyết về tập chuẩn và từ đó xây dựng phương pháp xấp xỉ ngồi giải bài tốn tối ưu đa mục tiêu tựa lồi nửa chặt.
• Đề xuất một số giải thuật tiến hố điển hình để giải bài tốn đa mục tiêu.
• Đề xuất cách mơ hình hố tất định cho một số dạng bài toán tối ưu dạng ngẫu nhiên và ngẫu nhiên mờ theo các mơ hình khác nhau.
• Chứng minh các dạng mơ hình đã đề xuất đều có thể dẫn về bài toán tối ưu đa mục tiêu tựa lồi nửa chặt.
• Thực nghiệm cho hai bài tốn thực tế với các phương pháp mơ hình, cách giải khác nhau và đưa ra minh hoạ kết quả và các độ đo để đánh giá. Các kết quả liên quan đến luận văn thạc sĩ này bao gồm 2 bài báo nghiên cứu là "Stochastic linear programming approach for portfolio optimization problem"[9] tại hội nghị "International Conference on Machine Learning and Applied Net- work Technologies" và "A Multi-criteria Fuzzy Random Crop Planning Problem using Evolutionary Optimization"[10] tại hội nghị "International Conference on
Research in Intelligent and Computing in Engineering", cả 2 bài báo đều thuộc danh mục SCOPUS. Ngoài ra, tác giả cũng hỗ trợ nghiên cứu bài báo "Multi- objective Optimization based on Machine Learning and Non-dominated Sorting Genetic Algorithm for Surface Roughness and Tool Wear in Ti6AI4V Turning"[8] đã gửi đăng tạp chí "Machining Science and Technology" thuộc danh mục ISI và đang trong quá trình review.
4.2 Hướng phát triển
Do sự hạn chế về thời gian nên nội dung nghiên cứu của đề tài cần được phát triển thêm để có thể bao qt hơn được các lớp mơ hình tối ưu ngẫu nhiên mờ hay những bài toán ở lĩnh vực khác cũng như nhiều phương pháp khác để giải bài toán tương đương. Một số hướng nghiên cứu tiếp theo có thể được triển khai như sau:
• Mơ hình các lớp bài tốn với yếu tố ngẫu nhiên, mờ tồn tại ở cả các hàm mục tiêu và ràng buộc.
• Nghiên cứu thêm các thuật toán tiến hoá đa mục tiêu và kết hợp với phương