4 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
3.5 Tập nghiệm của phương pháp xấp xỉ ngồi vớ i2 thuật tốn tiến
Kết quả cho thấy thuật tốn xấp xỉ ngồi cho biểu diện tập nghiệm tốt hơn hẳn 2 thuật toán tiến hố dù độ đa dạng của cả tập có vẻ khơng tốt bằng. Thuật toán SPEA2-SDE vẫn cho ra kết quả tốt hơn NSGA-II giống như trong ví dụ trước.
4.1 Kết luận
Luận văn “Tối ưu đa mục tiêu ngẫu nhiên” trình bày kiến thức về việc mơ hình hố một số lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu ngẫu nhiên cũng như hai phương pháp giải mơ hình tương đương của bài tốn. Việc ngẫu nhiên hoá và mờ hoá các bài toán tối ưu là một trong những hướng đi mới của việc định lượng hố sự khơng chắc chắn trong thực tế. Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
• Trình bày cơ sở lý thuyết liên quan đến lớp hàm tựa lồi và tựa lồi nửa chặt.
• Trình bày cơ sở lý thuyết về tập chuẩn và từ đó xây dựng phương pháp xấp xỉ ngồi giải bài tốn tối ưu đa mục tiêu tựa lồi nửa chặt.
• Đề xuất một số giải thuật tiến hố điển hình để giải bài tốn đa mục tiêu.
• Đề xuất cách mơ hình hố tất định cho một số dạng bài toán tối ưu dạng ngẫu nhiên và ngẫu nhiên mờ theo các mơ hình khác nhau.
• Chứng minh các dạng mơ hình đã đề xuất đều có thể dẫn về bài tốn tối ưu đa mục tiêu tựa lồi nửa chặt.
• Thực nghiệm cho hai bài tốn thực tế với các phương pháp mơ hình, cách giải khác nhau và đưa ra minh hoạ kết quả và các độ đo để đánh giá. Các kết quả liên quan đến luận văn thạc sĩ này bao gồm 2 bài báo nghiên cứu là "Stochastic linear programming approach for portfolio optimization problem"[9] tại hội nghị "International Conference on Machine Learning and Applied Net- work Technologies" và "A Multi-criteria Fuzzy Random Crop Planning Problem using Evolutionary Optimization"[10] tại hội nghị "International Conference on
Research in Intelligent and Computing in Engineering", cả 2 bài báo đều thuộc danh mục SCOPUS. Ngoài ra, tác giả cũng hỗ trợ nghiên cứu bài báo "Multi- objective Optimization based on Machine Learning and Non-dominated Sorting Genetic Algorithm for Surface Roughness and Tool Wear in Ti6AI4V Turning"[8] đã gửi đăng tạp chí "Machining Science and Technology" thuộc danh mục ISI và đang trong quá trình review.
4.2 Hướng phát triển
Do sự hạn chế về thời gian nên nội dung nghiên cứu của đề tài cần được phát triển thêm để có thể bao qt hơn được các lớp mơ hình tối ưu ngẫu nhiên mờ hay những bài tốn ở lĩnh vực khác cũng như nhiều phương pháp khác để giải bài toán tương đương. Một số hướng nghiên cứu tiếp theo có thể được triển khai như sau:
• Mơ hình các lớp bài toán với yếu tố ngẫu nhiên, mờ tồn tại ở cả các hàm mục tiêu và ràng buộc.
• Nghiên cứu thêm các thuật toán tiến hoá đa mục tiêu và kết hợp với phương pháp xấp xỉ ngồi đã có để cải thiện tốc độ và độ đa dạng của tập nghiệm.
• Áp dụng các cách mơ hình đã có này vào nhiều bài tốn thực tế hơn để định lượng hố những yếu tố khơng chắc chắn trong thực tế.
• Áp dụng phương pháp xấp xỉ ngồi để giải một số lớp hàm có dạng tựa lồi nửa chặt trong các mơ hình học máy.
[1] M. Avriel, W.E. Diewert, S. Schaible, I. Zang: Generalized concavity, Ple-
nium Press, New York, 1988.
[2] E.B. Bawa, E.B. Lindenberg: Capital market equilibrium in a mean-lower partial moment framework, Journal of Financial Economics, vol. 5, pp. 189–
200, 1977.
[3] C.A.C. Coello, N.C. Cortes: Solving multiobjective optimization problems using an artificial immune system, Genetic Programming and Evolvable
Machines, vol. 6, pp. 163—190, 2005.
[4] I. Das, J. Dennis: Normal-boundary intersection: A new method for gener- ating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems,
SIAM Journal on Optimization, vol. 8, pp. 631–657, 1998.
[5] K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal, T. Meyarivan: A fast and elitist multiobjec- tive genetic algorithm: NSGA-II, IEEE Transactions on Evolutionary Com-
putation, vol. 6, pp. 182–197, 2002.
[6] K. Deb: An evolutionary many-objective optimization algorithm using reference-point-based nondominated sorting approach, Part I: Solving prob- lems with box constraints, IEEE transactions on evolutionary computation,
vol. 18, pp. 577–601, 2014.
[7] S. Garcia, C. Trinh:Comparison of Multi-objective Evolutionary Algorithms to Solve the Modular Cell Design Problem for Novel Biocatalysis, in Pro-
cesses, vol. 7, pp. 361, 2019.
[8] N.V. Hai, L.T. Thinh, L.M. Vuong, D.M. Hoang: Multi-objective Optimiza- tion based on Machine Learning and Non-dominated Sorting Genetic Algo-
rithm for Surface Roughness and Tool Wear in Ti6AI4V Turning, Journal
of Machining Science and Technology, in review, 2021.
[9] D.M. Hoang, T.N. Thang, N.D. Tu, N.V. Hoang: Stochastic linear program- ming approach for portfolio optimization problem, 2021 IEEE International
Conference on Machine Learning and Applied Network Technologies (ICM- LANT), pp. 1–4, 2021.
[10] D.M. Hoang, T.V. Xuan: A Multi-criteria Fuzzy Random Crop Planning Problem using Evolutionary Optimization, Proceedings of the Sixth Interna-
tional Conference on Research in Intelligent and Computing in Engineering, pp. 43—46, 2021.
[11] W. Huang, Y. Zhang, L. Li: Survey on Multi-Objective Evolutionary Algo- rithms, Journal of Physics: Conference Series, vol. 1288, 2019.
[12] R. Jain, L. Malangmeih, S.S. Raju, S.K. Srivastava, K. Immaneulraj, A.P. Kaur: Optimization techniques for crop planning: A review, Indian Journal
of Agricultural Sciences, vol. 88, pp. 1826–1835, 2018.
[13] H. Katagiri, M. Sakawa, H. Ishii: Multiobjective fuzzy random linear pro- gramming using E-model and probability measure, Joint 9-th IFSA World
Congress and 20-th NAFIPS International Conference, vol. 4, pp. 2295– 2300, 2001.
[14] H. Konno:Piecewise linear risk functions and portfolio optimization, Journal
of Operations Research Society of Japan, vol. 33, pp. 139–159, 1990.
[15] M. Li, S. Yang, X. Liu: Shift-based density estimation for Pareto-based algo- rithms in many-objective optimization, IEEE Transactions on Evolutionary
Computation, vol. 18, pp. 348-–365, 2014.
[16] O.L. Mangasarian: Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York, 1969.
[17] H. Markowitz: Portfolio Selection, Journal of Finance, vol. 7, pp. 77–91,
1952.
[18] J.N. Morse: Reducing the size of the nondominated set: Pruning by cluster- ing, Computers & Operations Research, vol. 7, pp. 55-66, 1980.
[19] S.A. Mortazavi, R. Hezareh, S.A. Kaliji, S.S. Mehr: Application of Linear and Non-linear Programming Model to Assess the Sustainability of Water Resources in Agricultural Patterns, International Journal of Agricultural
Management and Development, vol. 4, pp. 27–32, 2014.
[20] N.T.B. Kim: Giáo trình các phương pháp tối ưu: Lý thuyết và thuật toán,
Nhà xuất bản Bách Khoa, Hà Nội, 2014.
[21] N. Riquelme, C.V. Lăucken, B. Baran:Performance metrics in multi-objective optimization, Latin American Computing Conference, pp. 1–11, 2015.
[22] R.T. Rockafellar, S. Uryasev:Optimization of conditional value-at-risk, Jour-
nal of Risk, vol. 2, pp. 1-–21, 2000.
[23] M. Sakawa, H. Yano, I. Nishizaki: Linear and Multiobjective Programming with Fuzzy Stochastic Extension, International Series in Operations Research
& Management Science, vol. 203, 2013.
[24] W.F. Sharpe: Capital asset prices: a theory of market equivalent under con- ditions of risks, Journal of Finance, vol. 3, pp. 425–442, 1964.
[25] J. Soltani, A.R. Karbasi, S.M. Fahimifard: Determining optimum cropping pattern using Fuzzy Goal Programming (FGP) model, African Journal of
Agricultural Research, vol. 6, pp. 3305–3310, 2011.
[26] T.N. Thang, V.K. Solanki, D.T. Anh, N.T.N. Anh, P.V. Hai: A mono- tonic optimization approach for solving strictly quasiconvex multiobjective programming problems, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, vol. 38, pp.
6053–6063, 2020.
[27] T. Toyonaga, T. Itoh, H. Ishii:A Crop Planning Problem with Fuzzy Random Profit Coefficients, Fuzzy Optimization and Decision Making, vol. 4, pp. 51–
69, 2005.
[28] H. Tuy:Normal sets, polyblocks and monotonic optimization, Vietnam Jour-
nal of Mathematics, vol. 27, pp. 277–300, 1999.
[29] H. Tuy:Monotonic Optimization: Problems and Solution Approaches, SIAM
[30] Q. Xu, Z. Xu, T. Ma: A Survey of Multiobjective Evolutionary Algorithms Based on Decomposition: Variants, Challenges and Future Directions, IEEE
Access, vol. 8, pp. 41588–41614, 2020.
[31] D.A.V. Veldhuizen: Multiobjective evolutionary algorithms: classifications, analyses, and new innovations, DTIC Document, Technical Report, 1999.
[32] H. Yano, M. Sakawa: Interactive fuzzy decision making for multiobjective fuzzy random linear programming problems and its application to a crop planning problem, Computational Intelligence, vol. 577, pp. 143–157, 2015.
[33] H. Yano: Interactive Multiobjective Decision Making Under Uncertainty,
CRC Press, 2017.
[34] E. Zitzler, L. Thiele: Multiobjective evolutionary algorithms: a comparative case study and the strength pareto approach, IEEE Transactions on Evolu-
tionary Computation, vol. 3, pp. 257–271, 1999.
[35] E. Zitzler, M. Laumanns, L. Thiele: SPEA2: Improving the strength pareto evolutionary algorithm, Evolutionary Methods for Design, Optimization and
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Đề tài: Tối ưu đa mục tiêu ngẫu nhiên
Tác giả luận văn: Đào Minh Hồng Khóa: 2020B Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Cảnh Nam
Từ khóa: tối ưu đa mục tiêu, tối ưu ngẫu nhiên mờ, hàm tựa lồi nửa chặt, phương pháp xấp xỉ ngồi, giải thuật tiến hố đa mục tiêu.
Nội dung tóm tắt: a) Lý do chọn đề tài
Tối ưu hoá đã trở thành một trong những lĩnh vực rất được quan tâm, phát triển và khơng thể thiếu trong Tốn học ứng dụng. Rất nhiều những lớp bài toán tối ưu khác nhau đã được nghiên cứu để áp dụng giải quyết những vấn đề trong thực tế. Tuy nhiên, khi những bài toán thực tế ngày càng phức tạp và khả năng đo đạc các giá trị ảnh hưởng đến việc mơ hình bài tốn trở nên khó khăn để xác định chính xác, việc sử dụng các phương pháp mơ hình tối ưu truyền thống với các tham số cố định là không thể biểu diễn hết được những yếu tố không chắc chắn từ thực tế. Các yếu tố này có thể đến từ sai số của các thiết bị đo, ý kiến chủ quan của các chuyên gia, việc khơng đủ khả năng nhìn hết được tầm ảnh hưởng của các yếu tố,... hay đơn giản là số lượng mẫu thống kê chưa đủ nhiều để mơ hình được chính xác.
Chính vì thế, cần có các phương pháp mơ hình mới cho các bài tốn tối ưu để có thể biểu diễn, khái quát được những yếu tố bất định trong thực tế. Bên cạnh đó, để có thể giải quyết những dạng mơ hình này với những cơng cụ đã có, ta cần đưa được chúng về dạng các mơ hình tất định cũng như nghiên cứu tính chất của chúng để có thể giải hiệu quả.
b) Mục đích nghiên cứu của luận văn, đối tượng, phạm vi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu
bài tốn tối ưu trong thực tế có sự xuất hiện của các yếu tố bất định về dạng tất định. Từ đó, trả lời câu hỏi hỏi giải các mơ hình này như thế nào bằng việc dẫn về dạng bài tốn có thể giải được hiệu quả. Cuối cùng là thử nghiệm phương pháp với một số bài toán thực tế và so sánh với một số phương pháp khác.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của luận văn là lớp bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính với các tham số có dạng biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên mờ. Bên cạnh đó là các tính chất của lớp hàm tựa lồi nửa chặt, cũng như kết quả thực nghiệm của các thuật toán tiến hoá khi so với phương pháp cổ điển.
Phạm vi nghiên cứu
Việc mơ hình hố các bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính tập trung vào dạng bất định của các tham số hàm mục tiêu và các ràng buộc tuyến tính. Dạng bài tốn dẫn được các mơ hình trên về là dạng tối ưu đa mục tiêu tựa lồi nửa chặt. Phạm vi ứng dụng là 2 bài tốn thực tế có yếu tố bất định, cụ thể là bài toán tối ưu danh mục đầu tư và tối ưu canh tác.
c) Tóm tắt các nội dung chính và đóng góp mới của tác giả Luận văn bao gồm những nội dung chính sau:
• Nghiên cứu các phương pháp mơ hình hóa bài tốn quy hoạch đa mục tiêu có yếu tố bất định bao gồm cả ngẫu nhiên và mờ.
• Chuyển bài toán ngẫu nhiên, mờ về bài toán tất định tương đương. Ở đây, tác giả chỉ ra và chứng minh rằng tất cả các bài toán tương đương đang xét đều có dạng bài tốn quy hoạch tựa lồi nửa chặt.
• Dựa vào tính chất đẹp đẽ của lớp bài tốn tựa lồi nửa chặt để đề xuất phương pháp giải hiệu quả.
• Ứng dụng kết quả lý thuyết vào các bài toán nảy sinh trong thực tế và so sánh với các giải thuật tiến hố.
Những đóng góp mới của tác giả:
• Chứng minh chi tiết các bài tốn tương đương đã mơ hình đều là các trường hợp riêng của bài tốn quy hoạch đa mục tiêu tựa lồi nửa chặt.
• Đề xuất thuật tốn xấp xỉ ngồi giải các bài tốn tương đương.
• Đề xuất một số thuật tốn tiến hố đa mục tiêu giải bài toán tương đương và so sánh với phương pháp xấp xỉ ngồi trên hai ví dụ thực tế. Các kết quả liên quan đến luận văn thạc sĩ này bao gồm 2 bài báo nghiên cứu là "Stochastic linear programming approach for portfolio optimization problem"[9] tại hội nghị "International Conference on Machine Learning and Applied Network Technologies" và "A Multi-criteria Fuzzy Random Crop Planning Problem using Evolutionary Optimization"[10] tại hội nghị "International Conference on Research in Intelligent and Computing in En- gineering", cả 2 bài báo đều thuộc danh mục SCOPUS.
d) Phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ của luận văn, tôi tiếp cận bài tốn tối ưu đa mục tiêu ngẫu nhiên tuyến tính bằng bài tốn quy hoạch đa mục tiêu truyền thống kết hợp với việc mơ hình các tham số dưới dạng biến ngẫu nhiên, sau đó suy luận đưa về dạng bài tốn tương đương với tính chất đẹp. Sử dụng cả hai loại phương pháp là quy hoạch cổ điển và các giải thuật tiến hố để giải các mơ hình cuối cùng đã xây dựng được. Các thuật toán được xây dựng bằng phần mềm MATLAB.
e) Kết luận
Luận văn “Tối ưu đa mục tiêu ngẫu nhiên” trình bày kiến thức về việc mơ hình hố một số lớp bài tốn tối ưu đa mục tiêu ngẫu nhiên cũng như hai phương pháp giải mơ hình tương đương của bài toán. Việc ngẫu nhiên hoá và mờ hoá các bài toán tối ưu là một trong những hướng đi mới của việc định lượng hố sự khơng chắc chắn trong thực tế. Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
• Trình bày cơ sở lý thuyết liên quan đến lớp hàm tựa lồi và tựa lồi nửa chặt.
• Trình bày cơ sở lý thuyết về tập chuẩn và từ đó xây dựng phương pháp xấp xỉ ngồi giải bài tốn tối ưu đa mục tiêu tựa lồi nửa chặt.
• Đề xuất một số giải thuật tiến hố điển hình để giải bài tốn đa mục tiêu.
• Đề xuất cách mơ hình hố tất định cho một số dạng bài tốn tối ưu dạng ngẫu nhiên và ngẫu nhiên mờ theo các mơ hình khác nhau.
• Chứng minh các dạng mơ hình đã đề xuất đều có thể dẫn về bài tốn tối ưu đa mục tiêu tựa lồi nửa chặt.
• Thực nghiệm cho hai bài toán thực tế với các phương pháp mơ hình, cách giải khác nhau và đưa ra minh hoạ kết quả và các độ đo để đánh giá.
Do sự hạn chế về thời gian nên nội dung nghiên cứu của đề tài cần được phát triển thêm để có thể bao qt hơn được các lớp mơ hình tối ưu ngẫu nhiên mờ hay những bài toán ở lĩnh vực khác cũng như nhiều phương pháp khác để giải bài toán tương đương. Một số hướng nghiên cứu tiếp theo có thể được triển khai như sau:
• Mơ hình các lớp bài tốn với yếu tố ngẫu nhiên, mờ tồn tại ở cả các hàm mục tiêu và ràng buộc.
• Nghiên cứu thêm các thuật toán tiến hoá đa mục tiêu và kết hợp với phương pháp xấp xỉ ngồi đã có để cải thiện tốc độ và độ đa dạng của tập nghiệm.
• Áp dụng các cách mơ hình đã có này vào nhiều bài tốn thực tế hơn để định lượng hố những yếu tố khơng chắc chắn trong thực tế.
• Áp dụng phương pháp xấp xỉ ngồi để giải một số lớp hàm có dạng tựa lồi nửa chặt trong các mơ hình học máy.