I -CÁC DẤU HỆU NHẬN BẾT TỨ GÁC NỘ TẾP
a) Ở phần a là một dạng toỏn chứng minh hệ thức, chớnh vỡ vậy việc hướng dẫn học sinh tỡm lời giải bài toỏn hết sức quan trọng nhằm phỏt triển tư duy hỡnh học ở học sinh Chỳng ta cú thể dựng phương phỏp phõn tớch đi lờn để tỡm lời giải bài toỏn Với sơ đồ như sau:
1.2: Ta thử suy nghĩ nếu tam giỏc ABC là tam giỏc cõn thỡ bài toỏn cũn đỳng khụng?
và giả thiết như thế nào? từ đú ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 1.2: Cho tam giỏc ABC cõn ở A, O là trung điểm BC. Trờn cạnh AB, AC
theo thứ tự lấy cỏc điểm M, N sao cho gúcBMO = gúcCON. Chứng minh rằng:
Bài toỏn 1.3: Cho tam giỏc ABC cõn ở A, O thuộc cạnh BC đường trũn tõm O tiếp
xỳc với cỏc cạnh AB, AC của tam giỏc. Trờn AB, AC theo thứ tự lấy hai điểm M, N.
Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đ ường trũn (O) ⇔ . 4
2BC BC CN BM = a) . 4 2 BC CN BM = ; b) BN∩MO = { }I , Chứng minh BI.MN = IN.BM;
c) Khi M, N thay đổi trờn AB, AC thỡ MN luụn tiếp xỳc với một đường trũn cố định.
⇒
gúc MON = gúcB; gúcBOM = gúcONC; gúcNOC = gúcBMO; từ đú suy ra ∆BMO đồng
dạng ∆CON (g.g) . 4 2 BC CN BM CN BO CO BM = ⇒ = ⇒ (đpcm). (⇐) Giả sử cú . 4 2 BC CN BM =
cần phải chứng minh MN là tiếp tuyến của (O).
Cỏch 1: Chứng minh tương tự bài toỏn 1;
Cỏch 2: Từ M dựng tiếp tuyến với (O) cắt AC ở N'. Ta chứng minh N'≡N.
Theo phần thuận ta cú . ' 4
2
BCCN CN
BM =
kết hợp với giả thiết ta suy ra BM.CN' = BM.CN ⇔
CN' = CN. Mà N', N cựng thuộc cạnh AC do đú N' ≡ N (đpcm).
Chỳ ý: - Nếu M nằm trong đoạn AB thỡ N nằm trong đoạn AC.
- Nếu M nằm ngoài đoạn AB thỡ N cũng nằm ngoài đoạn AC.
Bài toỏn 1.4: Cho tam giỏc ABC cõn ở B cú gúcB = 400, O là trung điểm cạch AC, K là chõn đường vuụng gúc kẻ từ O xuống AB, (O) là đường trũn tõm O bỏn kớnh OK. 1) Chứng minh (O) tiếp xỳc với BC;
2) Giả sử E là một điểm thay đổi trờn cạnh AC sao cho
gúc AOE = α (200 <α <900), kẻ tiếp tuyến EF với đường trũn (O) tiếp sỳc với (O) tại P.
a) Tớnh theo α cỏc gúc của tứ giỏc AEFC; b) ∆AEO đồng dạng với ∆COF;
c) Tớnh α để AE + CF nhỏ nhất. (Đề thi chuyờn toỏn ĐHSP H N năm 2005)
HD Giải:
1) Kẻ OH vuụng gúc với BC. do tam giỏc ABC cõn ở B nờn OH = OK do đú H nằm trờn (O), lại cú OH ⊥BC tại H
nờn BC là tiếp tuyến của (O).
2) a) Ta cú Aˆ=Cˆ=700, tương tự bài toỏn trờn ta suy ra gúc AEF = 2(1100-α),
gúc CFE = 2α.
b) ∆AEO đồng dạng với ∆COF
(c.g.c)
c) Tương tự lời giải bài ý 1.1 ta suy ra
O A E B F C P
⇒ QA B A B ⇒ C N O M P I
Bài toỏn 1.5: Cho đường trũn (I) tiếp xỳc với hai cạnh của gúc xOy tại A và B. Từ
C trờn cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường trũn (I) cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Xỏc định vị trớ của C trờn cung nhỏ AB để MN cú độ dài nhỏ nhất.
Ta cú MN = AM + BN = MP + NQ - AP - BQ = MP + NQ - 2AP.
Do đú MN nhỏ nhất ⇔ MP + NQ nhỏ nhất (Áp dụng kết quả bài toỏn 1.1) ta cú được C là
điểm chớnh giữa cung nhỏ AB.
Nếu vẫn tiếp tục khai thỏc bài toỏn ban đầu ta cú thể đưa ra một số bài toỏn cho học sinh tự làm, coi như bài tập về nhà để học sinh tự giải quyết.
Bài toỏn 1.6: Cho ∆ABC cõn ở A. Lấy M, N trờn cạnh AB, AC sao cho
4.CN BC2 .CN BC2
BM =
. Tỡm vị trớ của M, N sao cho ∆AMN cú diện tớch lớn nhất.
Bài toỏn 1.7: Cho M, M' trờn tia AB và tia đối của tia BA; N, N' thuộc tia CA và tia
đối của tia CA. Chứng minh rằng:
1) Nếu MB.NC = M'B.N'C = 4
2
BC
thỡ tứ giỏc MM'N'N ngoại tiếp được một đường trũn;
2)Phõn giỏc tạo bởi MN và MM' đi qua một điểm cố định.
Bài toỏn 1.8:
1) Cho ∆ABC. Dựng hai điểm P, Q thứ tự trờn AB và AC sao cho AP = AQ và
BP.CQ = 4
2
PQ
;
2) Cho hỡnh vuụng ABCD, lấy điểm F thuộc CD, G thuộc BC sao cho EG//AF (với E là trung điểm của AB). Chứng minh rằng FG là tiếp tuyến của đường trũn nội tiếp hỡnh vuụng.
JK K O D C E B A y x
Bài toỏn 1.9: Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Đường trũn cú tõm O là trung điểm của
BC tiếp xỳc với AB, AC thứ tự ở H và K. Lấy P thuộc đoạn AB, Q thuộc đoạn AC sao cho PQ là tiếp tuyến của (O). Tỡm quĩ tớch tõm O' của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OPQ.
Với cỏch làm tương tự trờn, bằng phương phỏp đặc biệt hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, tương tự và thao tỏc tư duy thuận đảo ta cũng hỡnh thành cho học sinh tư duy lụgớc, tư duy sỏng tạo, tớnh độc đỏo trong toỏn học. Chẳng hạn ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2: Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy với
đường trũn. Từ một điểm E nằm trờn đường trũn, kẻ tiếp tuyến với đường trũn đú cắt Cx tại A và Dy tại B. Chứng minh gúc AOB = 900.
Phõn tớch bài toỏn:
Để chứng minh gúc AOB = 900, ta cú thể làm bằng nhiều cỏch khỏc nhau. Chẳng hạn:
- Ta chứng minh OA, OB là hai tia phõn giỏc của cặp gúc kề bự; - Ta chứng minh gúc AOB = gúc CED, mà gúc CED = 900 nờn gúcAOB = 900.
Do +) ∆AOB đồng dạng với ∆CED (g.g) nờn gúc AOB = gúc CED,
mà gúc CED = 900 vậy gúc AOB = 900.
+) Tứ giỏc OKEJ là hỡnh chữ nhật ( cú ba gúc vuụng) nờn gúc AOB = 900.
Tiếp tục tư duy chỳng ta cũn tỡm được thờm một vài cỏch giải khỏc nữa. Sau đõy ta xột một trong cỏc cỏch giải đú:
Ta cú gúc ACO = gúcAEO = 900 (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra gúcACO + gúc AEO = 1800 suy ra tứ giỏc ACOE nội tiếp Do đú ta cú gúcEAO = gúcECO (hai gúc cựng chắn một cung OE)
Tương tự ta cũng cú gúcEBO = gúcEDO, mà gúcECO + gúcEDO = 900 (vỡ gúcCEO = 900- gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn). Nờn gúcEAO + gúcEBO = 900. Từ đú suy ra gúcAOB = 900. (Đpcm).
Khai thỏc bài toỏn:
- Nếu ta thay đổi một vài điều kiện của bài toỏn, chẳng hạn vị trớ của điểm O thay bằng điểm M bất kỡ trờn CD. Khi đú đường thẳng vuụng gúc với ME tại E khụng cũn là tiếp tuyến nữa mà trở thành cỏt tuyến với (O). Thế thỡ yờu cầu của bài toỏn chứng minh
M O D D C E B A y x M O D C E A y x
gúcAMB = 900 cũn đỳng nữa hay khụng?. Điều này vẫn cũn đỳng, từ đú ta cú bài toỏn khỏc như sau:
Bài toỏn 2.1: Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx,
Dy. Một điểm E bất kỳ nằm trờn đường trũn, điểm M bất kỳ nằm trờn CD (M khụng trựng với C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vuụng gúc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gúcAMB = 900.
Ta trở lại bài toỏn: Như vậy tương tự bài toỏn trờn ta cũng cú: gúcMAB = gúcECM (do tứ giỏc ACME nội tiếp)
gúcEBM = gúcEDM (do tứ giỏc BDME nội tiếp)
mà gúcECM + gúc EDM = 900 (do gúcCED = 900). Nờn gúcAMB = 900.
-) Ta tiếp tục khai thỏc và mở rộng bài toỏn, chẳng hạn điểm M khụng nằm trong đoạn CD mà nằm trờn đường thẳng CD và giữ nguyờn cỏc điều kiện của bài toỏn 2.1 thỡ sao? từ đú ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.2: Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx,
Dy. Một điểm E bất kỳ nằm trờn đường trũn, điểm M bất kỳ nằm trờn đường thẳng CD (M khụng trựng với C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vuụng gúc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gúcAMB = 900.
-)Tại sao ta lại đặt vấn đề M khỏc C, D, O.
- Vỡ nếu M ≡ O thỡ trở lại bài toỏn trờn. - Cũn nếu M ≡ C thỡ đường thẳng ⊥ME
cắt Cx tại A, cắt Dy tại B ≡ D. Khi đú ta cú gúc AMB = 900. Nếu M ≡ D thỡ tương tự trờn. x y A E D≡B O M≡C
KH H B A M D C y x
- Muốn chứng minh gúc AMB = 900 ta dựa vào cỏch chứng minh bài toỏn trờn. Ta
chứng minh gúcMAB + gúcMBA = 900.
Muống chứng minh gúcMAB + gúc MBA = 900 ta chứng minh
gúcMAB + gúcMBA = gúcCDE + gúcDCE = 900
Để chứng minh điều này ta cần chứng minh gúcMAB = gúcECD,
gúcMBA = gúcMDE. Như vậy ta cần phải chứng minh cỏc tứ giỏc AMCE, MEDB nội tiếp.
Từ đú ta cú lời giải sau:
Chứng minh: Ta cú gúcACM = gúcAEM = 900, do đú tứ giỏc AMCE nội tiếp
⇒ gúcMAB = gúc ECD (cựng bự gúcMCE)
Tương tự tứ giỏc MEDB nội tiếp ⇒ gúcMAB = gúcMDE (cựng chắn một cung).
Mà gúcECD + gúcEDC = 900. Do đú gúcMBA + gúcMAB = 900. Suy ra gúcAMB = 900.
Như vậy nhỡn lại bài toỏn trờn ta cú thể đưa thành bài toỏn tổng quỏt hơn như sau:
Bài toỏn 2.3: (Bài toỏn tổng quỏt)
Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Một điểm E thuộc đường trũn (O). M là điểm bất kỡ thuộc đường thẳng CD. Kẻ đường thẳng vuụng gúc với ME tại E cắt cỏc tiếp tuyến Cx, Dy của đường trũn tại A và B. Chứng minh gúc AMB = 900.
Vẫn tiếp tục bài toỏn 2 ta khai thỏc theo khớa cạnh khỏc, ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.4: Cho đường trũn (O; 2
AB
), qua A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của đường trũn. Một điểm M thuộc đường trũn, qua M kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
1) Chứng minh CD = AC + BD;
2) Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD luụn tiếp xỳc với một đường thẳng cố định khi M thay đổi trờn đường trũn.
Phõn tớch bài toỏn:
1) Với phần này rất phự hợp với học sinh trung bỡnh khi học xong bài tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau, Ta thấy ngay CM = CA; DM = DB
từ đú suy ra CM + DM = CA + DB mà M nằm giữa C và D nờn CD = CA + DB.
2) Cũng tương tự bài toỏn trờn ta cú ∆COD vuụng ở O. Mặt khỏc gọi I là trung
điểm của CD thỡ O ∈ 2 ;CD I (1).
Lại cú tứ giỏc ABDC là hỡnh thang, OI là đường trung bỡnh nờn OI // CA, mà CA ⊥
AB do đú IO ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD. Mà AB là đường thẳng cố định nờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD luụn tiếp xỳc với đường thẳng AB cố định khi M thay đổi trờn đường trũn.
3) Với phần này là một bài toỏn rất hay vỡ nú đũi hỏi học sinh phải dựng phương phỏp phõn tớch đi lờn để tỡm lời giải của bài toỏn. Hơn nữa để tỡm ra lời giải học sinh cũn phải huy động kiến thức về định lớ Talột đảo.
Giỏo viờn hướng dẫn học sinh tỡm lời giải của bài toỏn bằng sơ đồ phõn tớch đi lờn, như sau: MH //AC ⇑ HA DH MC DM = ⇑ HA DH AC DB = (vỡ DM=DB; MC=CA) ⇑ AC // DB (⊥AB)
Từ đú yờu cầu học sinh lờn bảng căn cứ vào sơ đồ trỡnh bày lời giải của bài toỏn:
Ta cú AC, BD là hai tiếp tuyến của (O) đường kớnh AB nờn AC⊥AB, BD⊥AB do đú AC // BD. Xột ∆ACH cú AC // BD ỏp dụng hệ quả định lớ Talột, ta cú HA DH AC DB = mà DB = DM; AC = MC nờn ta cú HA DH MC DM =
ỏp dụng định lớ Talột đảo trong tam giỏc DAC suy ra MH // AC.
-) Giỏo viờn đặt vấn đề cho học sinh suy nghĩ. Gọi giao điểm của MH và AB là K, cú nhận xột gỡ về vị trớ của H đối với MK? Từ đú ta cú bài toỏn:
Bài toỏn 2..5: Với giả thiết của bài toỏn trờn. Chứng minh H là trung điểm của MK.
-) Nếu gọi P là giao điểm của BM và Ax. Thỡ ta cũng cú kết quả C là trung điểm của AP.
-) Nếu giỏo viờn cho thờm điều kiện AC = R 3 (AB = 2R) thỡ chỳng ta lại cú bài toỏn liờn quan đến tớnh toỏn. Từ đú ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.6: Cho
2 ;AB O
, từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của đường trũn. Một điểm C trờn tia Ax sao cho AC = R 3. Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường trũn cắt By ở D. AD cắt BC ở H.
1) Tớnh số đo gúcAOM;
2) Chứng minh trực tõm của tam giỏc ACM nằm trờn (O); 3) Tớnh MH theo R.
-) Bõy chỳng ta lại xột bài toỏn khụng tĩnh như trờn nữa, mà cho điểm C thay đổi trờn tia Ax sao cho AC ≥R 3 thỡ khi đú trực tõm của ∆ACM cũng thay đổi theo. Từ đú ta
cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.7: Cho
2 ;AB O
, từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của đường trũn. Một điểm C trờn tia Ax sao cho AC ≥ R 3. Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường trũn cắt By ở D.Gọi H là trực tõm của tam giỏc ACM. Tỡm quĩ tớch điểm H.
-) Lại nhỡn bài toỏn dưới gúc độ bài toỏn cực trị hỡnh học, ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.8: Cho
2 ;AB O
từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của đường trũn. Một điểm M trờn đường trũn, từ M kẻ tiếp tuyến của (O) cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Tỡm vị trớ của điểm M để:
1) CD cú độ dài nhỏ nhất;
2) Diện tớch tam giỏc COD nhỏ nhất.
Như vậy xuất phỏt từ bài toỏn trong SGK, bằng những thao tỏc tư duy lật ngược vấn đề, tương tự, khỏi quỏt hoỏ, tương tự hoỏ,… chỳng ta đó sỏng tạo ra được rất nhiều bài toỏn xuất phỏt từ bài toỏn gốc trong quỏ trỡnh tỡm lời giải, nghiờn cứu sõu lời giải: như bài toỏn tớnh toỏn, bài toỏn quĩ tớch, bài toỏn cực trị,…. Việc làm như thế ở người thày được lặp đi, lặp lại và thường xuyờn trong quỏ trỡnh lờn lớp sẽ dần dần hỡnh thành cho học sinh cú phương phỏp, thúi quen đào sõu suy nghĩ, khai thỏc bài toỏn ở nhiều gúc độ khỏc nhau. Đặc biệt là rốn cho học sinh cú phương phỏp tỡm lời giải bài toỏn bằng phương phỏp phõn
tớch đi lờn-một phương phỏp tư duy rất đặc trưng và cực kỡ hiệu quả khi học mụn hỡnh học. Thụng qua đú học sinh được phỏt triển năng lực sỏng tạo toỏn học, nhất là những học sinh khỏ giỏi. Qua mỗi giờ dạy người thày cần giỳp học sinh làm quen và sau đú tạo cơ hội cho học sinh luyện tập, thể hiện một cỏch thường xuyờn thụng qua hệ thống cõu hỏi gợi mở, hệ thống bài tập từ dễ đến khú.
Trờn đõy là một vài ý tưởng của tụi đó đưa ra trong quỏ trỡnh lờn lớp trong giờ luyện tập hỡnh học. Theo tụi nú cú tỏc dụng:
- Giỳp cỏc em củng cố kiến thức đó học;
- Giỳp cỏc em biết vận dụng kiến thức đó học vào bài tập; - Rốn kĩ năng trỡnh bày cho học sinh;
- Phỏt triển tư duy toỏn học thụng qua cỏc thao tỏc tư duy khỏi quỏt hoỏ, đặc biệt hoỏ, tương tự hoỏ, tư duy thuận đảo,…
- Dần dần hỡnh thành phương phỏp tỡm lời giải bài toỏn hỡnh học, tư duy linh hoạt, phương phỏp học toỏn, học sỏng tạo toỏn học.