I -CÁC DẤU HỆU NHẬN BẾT TỨ GÁC NỘ TẾP
a, Do CE là tiếp tuyến của (O) nờn:
= (Cựng chắn ) ∆CEM ~ ∆CNE . =
CM.CN =CE2
Mặt Khỏc , do CE; CF là cỏc tiếp tuyến của (O) nờn
AB⊥ EF tại I vỡ vậy trong tam giỏc vuụng CEO đường cao EI ta cú: CE2 = CI.CO
Từ (1) và (2) suy ra CM.CN = CI.CO => =
∆CMI ~ ∆CON
=
OO' O' A B C C' B'
b Kộo dài NI cắt đường trũn tại M’. Do tứ giỏc IONM nội tiếp nờn : = = sđ
=> = . Do đú: = =
Vớ Dụ 2
Cho tam giỏc ABC cú = 450 ; BC =a nội tiếp trong đường trũn tõm O; cỏc đường cao BB’ và CC’. Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’.
a. Chứng minh rằng A; B’; C’; O’ cựng thuộc một đường trũn b. Tớnh B’C’ theo a.
Lời giải
a. Do O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC nờn
= 2 =900
Từ đú suy ra cỏc điểm O; B’; C’
Cựng thuộc đường trũn đường kớnh BC.Xột tứ giỏc
nội tiếp CC’OB’ cú : = 1800 -
= 1800 - ( 900 - ) =1350.
Mà O’ đối xứng với O qua B’C’ nờn: = = 1350 =1800 -
Hay tứ giỏc AC’O’B’ nội tiếp.
b. Do = 450 nờn ∆BB’A vuụng cõn tại B’
Vỡ vậy B’ nằm trờn đường trung trực của đoạn AB hay B’O ⊥ AB C’OB’C là hỡnh thang cõn nờn B’C’ =OC
Mặt khỏc ∆BOC vuụng cõn nờn: B’C’ =OC = 2
22 2 2 a BC = III bài tập áp dụng Bài tập 1:
Cho tứ giỏc ABCD nội tiế đường trũn đường kớnh AD. Hai đường chộo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuụng gúc với AD. Chứng minh:
a/ Tứ giỏc EBEF, tứ giỏc DCEF nội tiếp. b/ CA là phõn giỏc của BCFã
c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giỏc BCMF nội tiếp.
Tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn đường kớnh AD. Hai đường chộo AC, BD cắt nhau tại E. Hỡnh chiếu vuụng gúc của E trờn AD là F. Đường thẳng CF cắt đường trũn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a/ CEFD là tứ giỏc nội tiếp
b/ Tia FA là phõn giỏc của gúc BFM c/ BE.DN = EN.BD.
Bài tập 3:
Cho tam giỏc ABC vuụng ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường trũn đường kớnh BD cắt BC tại E. Cỏc đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường trũn tại cỏc điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a/ Tam giỏc ABC đồng dạng với tam giỏc EBD
b/ Tứ giỏc ADEC và AFBC nội tiếp được một đường trũn c/ AC song song với FG
d/ Cỏc đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài tập 4:
Cho tam giỏc ABC cú Aˆ 90= 0; AB > AC, và một điểm M nằm trờn đoạn AC ( M khụng
trựng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường trũn đường kớnh MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường trũn đường kớnh MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a/ Bốn điểm A, M, N, B cựng thuộc một đường trũn b/ CM là phõn giỏc của gúc BCS.
c/
TA TCTD = TB