4. Ứng dụng đường tròn để giải hệ bất phương trình 1 Cơ sở lý luận
4.3. Một số bài toán cụ thể
Bài tốn 1: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất :
Cơ sở lý luận
Vế trái của các bất phương trình (1) và (2) có dạng phương trình của đường trịn .Cịn vế phải phụ thuộc vào m nếu có thể xét sự tương giao của hai bất phương trình trong trường hợp chúng đều là phương trình của đường trịn.
Miền thỏa mãn hai bất phương trình trên giao nhau thì hệ có nghiệm.
Lời giải
- Nếu m=0 thì
- (x+1)2+y2=0
thay vào (2) ta có (vơ lý ) .suy ra hệ vơ nghiệm
- Nếu m>0 (1’) là phương trình đường trịn (C1) tâm I1(-1 ;0) bán kính
Xét phương trình x2+(y+1)2=m (2’) trong trường hợp m>0 thì (2’)là phương trình đường trịn (C2) tâm I2(0 ;-1) bán kính
- Ta có tập hợp các điểm thỏa mãn (1) làm phần bên trong đường trịn (C1) - Ta có tập hợp các điểm thỏa mãn (2) làm phần bên trong đường tròn (C2) - Ta thấy nếu (C1) và (C2) cắt nhau thì hệ ln có nhiều hơn một nghiệm
-1 -1 x y O 1
Vậy với thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Khai thác và mở rộng bài tốn
Bài 1 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :
Bài 2 : Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm :
Thay bằng việc cho bán kính thay đổi ta cho tâm thay đổi cịn bán kính khơng đổi.
Bài tốn 2 : Tìm a để hệ sau có nghiệm :
Cơ sở lý luận
Nếu xét dấu bằng ở bất phương trình (1) thì ta có phương trình của đường thẳng.Cịn (2) sau khi chuyển vế và bình phương sẽ xuất hiện phương trình đường trịn.Nên ta đưa bài tốn trên về việc xét sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn.
tập hợp các điểm thỏa mãn bất phương trình này nằm trên mặt phẳng kể cả đường thẳng x+y-2 =0.Phần mặt phẳng này là phần không bị gạch chéo trên hình vẽ.
. Theo (1) thì (x;y) thỏa mãn (1)
+ Nếu a+1<0 thì (2) vơ nghiệm hệ vơ nghiệm + Nếu a+1=0 a=-1
thay vào (1) ta có : 1+2-2=1<0 (vơ lí) a=-1 khơng thỏa mãn
+ Nếu a+1>0 thì tập hợp các điểm (x;y) thỏa mãn (2) nằm trên đường trịn ( C) tâm I(1;2) bán kính
hệ có nghiệm khi và chỉ khi (d) tiếp xúc với (C ) hoặc (d) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.
2 O I 1 2 d x y 1
Kết hợp với điều kiện thỏa mãn Vậy hệ đã cho có nghiệm
Mở rộng bài toán
- Thay cho việc xét sự tương giao của hai đường ta đi xét sự tương giao của nhiều đường.
- Thay bằng xét sự tương giao của đường thẳng và đường tròn ta đi xét sự tương giao của đường trịn và một đường cong.
Bài tốn 3 : Tìm m để hệ bất phương tình sau có nghiệm duy nhất
Cơ sở lý luận
(1) và (2) có dạng phương trịn của đường trịn,nên ta chuyển việc giải bài tốn trên về việc xét sự tương giao của hai đường tròn.
Lời giải
- Ta thấy với m<0 thì hệ (I) vơ nghiệm
- Với thì x2+y2=2m+1 là phương trình đường trịn (C ) tâm O(0;0) bán kính và x2+(y-1)2=m là phương trình đường trịn (C’) tâm I(0;1) bán kính
x O y 1 (C) (C')
- Phần các điểm thỏa mãn (1) là phần bên ngồi đường trịn (C ) ,còn các điểm thỏa mãn (2) nằm bên trong đường trịn (C’) như hình vẽ.
Từ hình vẽ trên ta thấy :
- Nếu thì hệ vơ nghiệm
- Nếu thì hệ có nhiều hơn 1 nghiệm
Vậy để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì (C ) phải tiếp xúc với (C’).
Vậy với m=0 hoặc m=4 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Bài tốn 4 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :
Cơ sở
Bất phương trình (1) có dạng phương trình của đường trịn,cịn bất phương trình (2) có dạng phương trình của đường thẳng nên ta có thể xét sự tương giao của hai đường trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Lời giải
- Xét bất phương trình (1) :
Tập hợp các điểm (x;y) thỏa mãn (1) nằm ở miền trong của đường tròn (C ) : bao gồm cả đường tròn (C ).
- Xét bất phương trình (2) : TXĐ :
d0 d2 d1 I 1 -3 -1 y x O -1
Tập hợp tất cả các điểm (x;y) thỏa mãn (2’) là phần khơng bị gạch chéo trên hình vẽ , bỏ phần nửa mặt phẳng chứa điểm O(0;0)
Tìm điểm m để d là tiếp tuyến của ( C) :
Ta thấy d1 không thể xảy ra.
Để hệ bất phương trình có nghiệm hoặc d tiếp xúc với (C ) khi đó
Từ hình vẽ ta thấy thì d ln tiếp xúc hoặc cắt (C) tức hệ phương trình đã cho có nghiệm.
Mở rộng bài tốn
- Ta có thể thay đổi dấu của các bất phương trình ta được các bài tốn mở rộng. - Ta có thể xét các bất phương trình trên là các phương trình ta cũng có một lớp bài tốn xét sự tương giao của các đường trên mặt phẳng tọa độ.
-