Phương pháp đánh giá - (SKKN HAY NHẤT) một số p- 123docz.net

Với phương pháp này đòi hỏi người làm toán phải tiến hành đánh giá giá trị hai vế của một hoặc hai phương trình trong hệ. Nhờ đó ta có thể thu hẹp được miền giá trị của các ẩn, tạo điều kiện cho ta chỉ ra nghiệm của hệ hoặc chứng minh hệ đã cho vô nghiệm.

Tuy nhiên với phương pháp này, đòi hỏi người làm toán cần nắm rất vững kiến thức về bất đẳng thức, các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dưới đây là một số ví dụ có tính chất minh hoạ cho phương pháp này.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau

Lời giải:

Xét phương trình thứ nhất của hệ ta có:

Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta có: . Do vậy ta suy ra và .

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được Vậy hệ có nghiệm duy nhất:

Nhận xét:

- Đối với các hệ phương trình mà số ẩn nhiều hơn số phương trình có trong hệ, thì ta thường tìm cách đánh giá giá trị của một ẩn nào đó.

- Ta cũng có thể giải hệ trên bằng cách đánh giá như sau: Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:

Do đó từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được . Thay vào phương trình thứ hai ta được

Vậy hệ có nghiệm duy nhất:

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau

Lời giải:

ĐK: .

Đánh giá giá trị hai vế của phương trình thứ nhất của hệ ta có:

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có . Với với

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

Nhận xét:

- Cũng như ví dụ 1, trong hệ phương trình trên có số ẩn nhiều hơn số phương trình của hệ,do đó ta cũng phải tìm cách đánh giá giá trị các vế của phương trình từ đó xác định được giá trị của một trong các ẩn.

- Ta cũng có thể giải hệ trên bằng các cách đánh giá theo các cách biến đổi khác nhau, xuất phát từ các phương trình cũng như từ những đặc điểm riêng khác nhau.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau

Lời giải:

Phương trình thứ hai của hệ được viết lại như sau: Phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn x có Để phương trình có nghiệm thì .

Tương tự coi phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai với ẩn y ta cũng có:

Từ đó suy ra: .

Thay vào hệ ban đầu thấy không thoả mãn. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Nhận xét:

Trong ví dụ thứ 3 này, chúng ta đã sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để xác định miền giá trị của hai ẩn x và y, từ đó tiến hành đánh giá giá trị hai vế của phương trình thứ nhất rồi suy ra giá trị của x và y phải nhận.Tuy nhiên, phép biến đổi như trên là không tương đương nên ta phải đem cặp giá trị (x; y) tìm được thay vào hệ ban đầu để kiểm tra xem chúng có đúng là nghiệm của hệ hay không.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau

Lời giải:

ĐK:

Nhận thấy nếu thay vào phương trình thứ nhất của hệ thì vế trái bằng vế phải. Do đó ta xét các trường hợp sau:

* Nếu thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: Do vậy hệ không có nghiệm khi .

Do đó hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

BÀI TÂP.