II. 2 Tính tỉ số thể tíc h2 phần khối đa diện bị chia bởi thiết diện hoặc tính thể tích mợt trong 2 khối đa diện được tạo ra bởi thiết diện.
1. Một số lưu ý về kiến thức liên quan:
Giả sử mặt phẳng (P) chia khối đa diện T thành 2 Bài tốn đặt ra là cần tính V1, V2 của T1, T2 hoặc tỉ số - Nếu khối đa diện (P) được chia thành 2 khối T1, T2 thì - Cơng thức: Thể tích khối chóp: ;
Thể tích khối lăng trụ: V = B.h.
- Nếu cắt các cạnh SA. SB. SC của hình chóp SABC bởi mp(P) tại A’, B’, C’ thì ta có cơng thức :
- Một trong 2 khối đa diện T1, T2 có thể có hình dạng phức tạp. Để tính một trong 2 khối giả sử V1 ta thường là như sau:
+ Bổ sung vào T1 một số tứ diện để được một đa diện có thể tính được thể tích. Khi đó V1 là hiệu số giữa thể tích đó và tổng các thể tích các tứ diện bổ sung cho T1.
+ Chia T1 thành các khối đơn giản tính thể tích từng khối rồi cộng lại.
Ví dụ 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên các cạnh BB’, DD’ lấy
các điểm M, N sao cho MB’ = ND’ = . Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (AMN). Tính thể tích mỗi phần của hình lập phương bị chia bởi thiết diện và tỉ số thể tích giữa 2 phần đó.
Giải:
Gọi . Đường thẳng KL cắt B’C’, C’D’ tại F, E. Mặt phẳng (AMN) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác AMFEN. Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích
khối lập phương, khối đa diện chứa AA’ và khối đa diện cịn lại (chứa CC’) Ta có V = a3. V1 = VAKLA’ – VMB’KF – VND’EL Do MB’ = ND’ = nên ta tính được KB’ = B’F = ED’ = D’L = . E F L N K C' B' D' C A D B A' M
Suy ra: VAKLA’ = ;
VMB’KF = VND’EL =
Vậy V1 = ; .
Ví dụ 32: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh SA vng góc với
đáy. Cạnh SC lập với mặt phẳng (SAB) một góc 300 và SC = a. Mặt phẳng qua A và vng góc với SC chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2 phần đó.
Giải:
Cách dựng giống ví dụ 15 thiết diện nhận được là tứ giác AMHN.
Ta có nên
góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là góc theo giả thiết thì = 300.
đặt V = VSABCD = 2VSABC, V1 = VSAMHN = 2VSANH, V2 = V – V1. M N E O C A D B S H Ta có:
Trong tam giác vng SBC có SB = SCcos300 = ;
BC = SCsin300 = ; AC = BC =
Do AH là đường cao của tam giác vuông SAC nên .
Do .
Từ SN là đường cao tam giác SAB :
.
Nên hay
Ví dụ 33: (Dự bị khối D - 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
và điểm K thuộc CC’ sao cho . Mặt phẳng (P) qua A. K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích 2 khối đa diện đó.
Giải
+ Dựng mặt cắt: gọi O, O’ là tâm 2 hình vng ABCD và A’B’C’D’ gọi I là giao điểm của OO’ và AK thì I là điểm chung của (P) và (BDD’B’). Qua I kẻ đường thẳng và song song với BD cắt DD’, BB’ tại E, F. Thiết diện là tứ giác AEKF.
EF F I G K O' O C' B' D' C A D B A' + Gọi V là thể tích hình lập phương, V = a3. V1 = VABCDEGF, V2 là thể tích phần cịn lại.
Ta có . Gọi G là trung điểm CK thì EGF.DCB là hình lăng trụ đứng tam giác. Ta có: V1 = VA.BDEF + VE.KGF + VBDC.FEG
VA.BDEF =
VEKGF =
Suy ra V1 = ; .
Ví dụ 34: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và các mặt bên nghiêng đều
trên đáy góc 600. Một mặt phẳng (P) qua AC và vng góc với mặt phẳng (SAD) chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích giữa 2 phần đó.
Giải:
+ Dựng thiết diện:
Gọi O là tâm hình vng ABCD, gọi M, N là trung điểm AD, BC. SMN là tam giác cân tại S có góc ở đáy là 600 và (SMN) AD. Kẻ đường cao NK của tam giác SMN ta có NK (SAD). Mặt phẳng (P) chứa AC và song song NK. F E I M O D N S A C B K
Kẻ OI // NK (I SM) nối AI cắt SD tại E. Thiết diện chính là tam giác ACE. + Tính tỉ số:
Đặt V = VSABCD = 2VDACS, V1 = VDACE, V2 = V – V1. Ta có:
Kẻ MF // AE (F SD) ta có
Mà OI là đường cao của tam giác vuông SOM nên:
Suy ra: cịn .
Vậy .
Ví dụ 35: Cho khối chóp tam giác SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M trên cạnh SB lấy
điểm N sao cho: . Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số 2 phần đó.
Giải:
+ Dựng thiết diện: Kéo dài MN cắt AB tại I. Xét (P) và (SAC) có M chung, (P) // SC nên qua M kẻ đường thẳng và song song với SC cắt AC tại D. Nối DI cắt BC tại E.
Thiết diện là tứ giác MNED. + Ta có ( ) E N A I C S B D M
Gọi V1 = VAMD.BNE, V2 là thể tích phần cịn lại.
V1 = VA.MDI – VI.BNE = VS.ABC nên V2 = VS.ABC .
Ví dụ 36: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’. Trên A’B’ kéo dài lấy điểm M sao cho
B’M = A’B’. Gọi N, P là trung điểm A’C’ và B’B.
b. Chứng minh thiết diện chia lăng trụ thành 2 phần có tỉ số thể tích 49 : 95
Giải:
a. Gọi K = MN B’C’ Q = MP AB; E = MP AA’.
Nối NE cắt AC tại I, nối QI được thiết diện là ngũ giác NKPQI.
b. Gọi V1 là thể tích phần chứa AA’, V2 là thể tích phần cịn lại (chứa CC’). V1 = VEMNA’ - VE.AIQ – VMB’KP I K E Q P B' C' A C B A' M
Gọi V, a. h là thể tích, cạnh đáy, chiều cao lăng trụ. Ta có V = Ta có: ; ; ; V1 = ; V2 = V – V1 =
Suy ra .
Vậy
Ví dụ 37: (Học viện ngân hàng năm 1999 khối D)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và mội điểm M trên AB. AM = x (0 < x< a). Xét mặt phẳng (P) đi qua M và chứa đường chéo A’C’ của hình vng A’B’C’D’.
a. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi (P).
b. Mặt phẳng (P) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện; hãy tìm x để thể tích của một trong 2 khối đa diện đó gấp đơi thể tích của khối đa diện kia.
Giải: J N O O' B A C B' D' C' A' D M
a. + Dựng thiết diện: Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N. nối A’M, C’N ta có thiết diện là hình thang A’C’NM.
+ Tính diện tích thiết diện:
Kí hiệu như hình vẽ ta có O’J là đường cao của hình thang A’C’NM. Ta có MN = 2MJ = MB
Do MN // AC nên và
Vậy
b. (P) chia khối lập phương thành 2 phần có thể tích gấp đơi nhau . Ta có:
Ta có:
Theo giả thiết ta có phương trình: