Lại theo bất đẳng thức Cơsi ta có:
Như vậy ta có: P (10) Từ (10) không thu được so sánh giữa P và
Cách áp dụng bất dẳng thức Côsi sau khi biến đổi P như trên gọi tắt là kĩ thuật Cối ngược dấu.Đây là kĩ thuật hay và khéo léo.Nhờ nó mà tránh được các hệ thức kiểu dạng (10)
Bài 2: Giả sử x,y,z,t là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện:
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
Hướng dẫn giải Ta có: (1)
Theo bất đẳng thức Cơsi,thì ,do đó từ (1) có hay (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra
Lập luận hồn tồn tương tự,có (3)
(4)
(5) Dấu bằng trong (3)(4)(5) tương ứng xảy ra
Cộng từng vế (2)(3)(4)(5),ta có (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (2)(3)(4)(5) (do ).
Theo bất đẳng thức Cơsi cơ bản ta có
(7) Dấu bằng trong (8) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong(6)(7)
Như vậy ta có minP=4 .
3,Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cơsi:
-Phương pháp này thích hợp với những bài tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số mà có thể trực tiếp áp dụng ngay bất đẳng thức Cơsi,hoặc sau những biến đổi sơ cấp
đơn giản là có thể dùng được bất đẳng thức Côsi.Kĩ thuật chủ yếu là dựa vào biểu thức đầu bài cũng như điều kiện đã cho chọn ra số thích hợp sau khi áp dụng bất đẳng thức Côsi với các số ấy sẽ cho ta đáp số bài tốn.
Bài 1: Cho ba số khơng âm x,y,z thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức P=xyz. Hướng dẫn giải
Từ
Theo bất đẳng thức cơsi ta có (1) Dấu bằng trong (1) xảy ra
Như vậy . (2) Lập luận tương tự ta có: (3) (4) Dấu bằng trong (3),(4) tương ứng xảy ra .
Do các vế của (1)(2)(3) đều là số dương,nên nhân từng vế (1)(2)(3) và có (5)
Từ (1+x)(1+y)(1+z)>0,và từ (5) suy ra P (6) Dấu bằng trong (2)(3)(4)
Vì lẽ đó suy ra max
Giá trị lớn nhất cực đạt được khi và chỉ khi
Bài 2: cho x,y,z là các số thuộc khoảng (0;1) và thỏa mãn điều kiện .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hương dẫn giải
Đặt .
Từ giả thiết suy ra và Lúc này biểu thức P có dạng