P (1) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi,ta có
BÀI 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
BÀI 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊLỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
Những bài tốn này thường có dạng đơn giản hoặc là trực tiếp khảo sát chiều biến thiên hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cho trong đầu bài, hoặc là thực hiện một phương pháp đổi biến đơn giản để đưa hàm số cần khảo sát về dạng đơn giản vì thuận lợi hơn cho việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp chiều biến thiên hàm số.
Bài 1:(Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2011)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sồ: trên miền
Hướng dẫn giải
Ta có:
Từ đó ta có bảng biến thiên:
y' + y
Vậy , .
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2010)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định của nó
Hướng dẫn giải Miền xác định của hàm số là: Từ đó có bảng biến thiên: x 5 y' 0 + y Vậy
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn
Hướng dẫn giải
Khảo sát trực tiếp và suy ra
Bài 4: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D)
Hướng dẫn giải
Khảo sát trực tiếp , rồi suy ra: ; .
Bài 5: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên miền xác định của nó.
Hướng dẫn giải
Khảo sát trực tiếp , rồi suy ra: ;
Bài 6: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Hướng dẫn giải
Đặt . Do .
Lúc này ta có: với
Ta có: nên ta có bảng biến thiên sau:
x 1 2 0 +
Vậy
Như vậy
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: với
Đặt khi đó do nên
Ta có: (1) ở đây
Ta có:
Vậy có bảng biến thiên sau:
x 0 1 2 F'(t) 0 + F(t) Như vậy: Ta có:
Bài 8: Cho x,y là các số thực không âm, sao cho . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn giải Do , vậy Đặt . Do Ta có: (1) với .
Ta có: .
và có bảng biến thiên sau:
t 1 3 F'(t) 0 + F(t) 4 10 Như vậy: Ta có:
Bài 9: Cho x,y là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn giải
Đặt với
Ta có: (1)
Rõ ràng nên có bảng biến thiên sau:
x 0 1 0 + Từ đó theo (1) có: , Vậy nx:
1.Ta cịn có thể giải như sau(cũng bằng phương pháp chiều biến thiên hàm số). Ta có:
Đặt . Ta có: . Xét hàm số:
với và có bảng biến thiên sau:
x 0
Vậy
Thu lại kết quả trên.
2.Để tìm giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: với , ta có thể sử dụng phương pháp bất đẳng thức sau: Ta có: (1) Do . vả lại Từ đó suy ra Lạ có Do
Vậy Do đó:
Bài 10:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với
Hướng dẫn giải
Do nên ta có: ;
Ta có:
Dựa vào cơng thức: , ta đặt . Lúc đó: ; , ở đây
Ta có bảng biến thiên sau:
t F(t) F'(t) F'(t) + F(t) 1 Vậy
Từ (1),(2),(3) suy ra:
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
với .
Hướng dẫn giải
Ta có: . Đặt
Do và hàm y=sinx đồng biến trên nên Lúc đó
Vậy ; ,(1) ở đây . Dễ thấy
và có bảng biến thiên sau:
t sin1 F'(t) + 0
F(t)
Từ (1) suy ra:
Đ2: Sử dụng chiều biến thiên hàm số để kết hợp thêm các phương pháp khác
để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Với những bài toán phức tạp hơn, lược đồ sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất như sau:
-Trước hết bằng các bài tốn phụ (thí dụ như sử dụng các bất đẳng thức trung gian, sử dụng phép biến đổi đại số) ta đưa bài tốn ban đầu về một bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số có dạng đơn giản hơn.
-Với bài toán mới này cần lưu ý xác định lại miền sác định của biến mới. Để làm được điều này người ta thường dùng một bất đẳng thức phụ, đơi khi cịn giải thêm một bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nữa để xác định các tiệm cận trên và tiệm cận dưới của biến mới.
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = + - trên miền xác định của nó.
Hướng dẫn giải
ta có: -3 (1)
vậy (1) là miền xác định của hàm số f(x).
đặt t = + . ta tìm miền xác định của biến mới t như sau: do t 0 nên t2 (2) Theo bất đẳng thức Côsi, suy ra: (3)
từ (2) suy ra:
như vậy ta có: ,
,
ở đây f(t) = .
ta có: f’(t) = , nên có bảng biến thiấn sau:
t 1 3 f'(t) 0 f(t) từ (4), (5) suy ra: = , ; , . Nhận xét:
Trong bài trên đã sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm miền xác định của biến mới t.
Bài 2. Cho các số thực x,y thoả mãn các điều kiện:
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: p =
Hướng dẫn giải
đặt t = , khi để
vậy p =
bây giờ tìm miền xác định của t. ta có: với ;
dễ thấy:
đặt và xét , với Ta có bảng biến thiên sau:
u f’(u) - f(u)
vậy ta cể miền xác định của hàm số: là .
ta có:
do , nên nói riêng ta có bảng biến thiên sau: t f'(t) + f(t) vậy , ; Nhận xét:
1. Trong bài tốn này, để tìm miền xác định của biến mới, ta phải giải một bài tốn phụ đó cũng là bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số ( tuy nhiên có dạng đơn giản hơn nhiều!)
2. Bằng phương pháp giải hoàn toàn tương tự, các bạn hãy giải bài toán sau: cho x, y, z là ba số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
p=
Hướng dẫn giải
Bài 3. cho và
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p =
Hướng dẫn giải
theo bất đẳng thức cơsi cơ bản, ta có:
(1)
từ (1) suy ra: p ≥ (2) dấu bằng trong (2) xảy ra
đặt . xét hàm số: với 0 . ta có: , và có bảng biến thiên sau:
t -3 0 f'(t)
f(t)
vậy , ta có (3) từ (2), (3) suy ra: (4) Dấu bằng trong (4) xảy ra
vậy min p =
trấn cơ sở (2) sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số để giải tiếp bài toán. Đây là sự kết hợp giữa phương pháp bất đẳng thức và chiều biến thiên hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của p.
Bài 4. (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A – 2011)
cho x ≥ y, x ≥ z vÀ x, y, z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng đẫn giải
Bình luận: đây là sự kết hợp khéo léo giữa hai phương pháp bất đẳng thức và chiều biến thiên hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của p.
Bài 5. (Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng khối B – 2011)
Cho a, b là hai số thực dương thoả mãn điều kiện: 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = 4
hướng dẫn giải
Bài 6. (Đề thi tuyển sinh đại học khối D)
Cho x,y la hai số thực khễng Âm thoả mÃn điều kiện: x + y = 1. tèm giÁ trị lớn nhất vÀ nhỏ nhất của biểu thức: s =
Bài 7. (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B)
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a =
Hướng dẫn giải
Cho x,y là hai số thực thoả mãn:
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức: p =
Hướng dẫn giải
Bài 9.(Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B)
Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p =
Hướng dẫn giải
Bài 10.( Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B)
cho x, y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a =
Hướng dẫn giải
Bình luận: trong các đề thi tuyển sinh nói trên (từ bài 4 đến bài 10) để giải các bài
tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức đều dựa vào sự kết hợp khéo léo giữa phương pháp chủ đạo là chiều biến thiên các hàm số và các phương pháp khác ( thí dụ như dựa vào một bất đẳng thức cho trước, hoặc sử dụng bất đẳng thưc Cơsi, hoặc dựa vào các kiến thức về hình học giải tích ,...)
Các bài tốn ấy đã minh hoạ rõ nét cho những điều mà chúng tôi đã đưa ra trong phần mở đầu của bài 2, chương 4 này.
Bài 11. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Lời giải vắn tắt sau: đưa về dạng: p=
đặt và đưa về xét chiều biến thiên của hàm số:
từ để có: min p
Nhận xét: Lời giải gọn gàng tự nhiên!
Bài 12. Cho x, y,z là ba số thực dương sao cho x + y + z =3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn giải Áp dụng hằng đẳng thức và giả thiết x + y + z = 3, ta có: (1) từ (1) ta có: 3p (2) (chú ý do x + y + z = 3) Xét hàm số với 0 . ta có: hay (ở đây đặt
vậy phương trình =0 có một nghiệm và một nghiệm nên từ để suy ra phương trình cể một nghiệm và một nghiệm nên
như thế có bảng biến thiên sau:
t 0 1
f'(t) 0
f(t)
từ đó suy ra (vè ). từ (2) suy ra
dấu bằng trong (3) sảy ra tìm lại min
Nhận xét: Ta có cách giải khác bằng phương pháp bất đẳng thức sau đây:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cể hay (1)
dấu bằng trong (1) xảy ra ( do ). lập luận tương tự, ta có , (2)
(3)
dấu bằng trong(2) (3) tương ứng xảy ra .
cộng từng vế (1)(2)(3) và có + (4) (do x + y + z = 3)
dấu bằng trong (4) xảy ra
Áp dụng hằng đẳng thức ta viết lại (4) dưới dạng sau: +
+
. hay
dấu bằng trong (5) xảy ra
vậy ta có max ta thu lại kết quả trên.
vậy bạn thích cách giải nào?
Bài 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
với
Hướng dẫn giải
viết lại dưới dạng
(1) Áp dụng công thức và đặt do khi để từ (1) xét hàm số với ta có
từ (2) suy ra
Bài 14. Giả sử và
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn giải Xét hàm số với ta có từ đó ta có bảng xét dấu sau: t 0 1 f'(t) + 0 f(t) 1 vậy hay (1) dấu bằng trong (1) xảy ra
như vậy ta có (2) (3)
(4) vì nên x, y, z khơng thể đồng thời bằng 0.
sau khi cộng từng vế (2)(3)(4), ta có (5)
ta lại có
dấu bằng trong(6) xảy ra
vì nên từ (5)(6) suy ra (7) dấu bằng trong (7) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong(5)(6)
.
Vậy min .
Bài 15 Cho ba số thực . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn giải
Với mỗi y, z cố định . Xét hàm số biến x sau đây
ta có
Vậy là hàm đồng biến khi chỉ có ba khả năng sau đây:
1. Nếu . Khi để là hàm đồng biến trên như vậy với mọi
ta có (do )
2. Nếu .
khi để là hàm nghịch biến trên . Từ để với mọi , ta có
.
do < và y, z đều .
3. Nếu có dấu thay đổi trên . do là hàm đồng biến trên nên chỉ cể thể là
x 0 1 f'(x) + 0 +
f(x)
do , nên suy ra với mọi , ta ln có . như vậy kết hợp lại, ta ln có . vậy
Nhận xét :
1.Trong bài toán trên mặc dầu biểu thức phụ thuộc vào ba biến x,y,z nhưng ta đã coi nó chỉ là hàm của một biến ( biến x chẳng hạn ) sau để ta sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số để giải bài toán đã cho.
2.Cách giải này cũng có thể áp dụng để giải đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học khối A– 2011: cho sao cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 16. (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A)
Cho hai số thực khác 0 và thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn giải
ta có: (1)
từ (1) và giả thiết suy ra (2) đặt . khi để từ giả thiết ta có
(3)
thay(3) vào (2) và có .
với với ta có và có bảng biến thiên sau:
t -1 1
F'(t) 0 + 0 F(t) 1 4
0 1
Ta có nên
Nhận xét: Xem cách giải bài toán trên bằng phương pháp bất đẳng thức trong bài
Bài tập tự luyện
Bài 1:cho x>0, y>0 và x+ y= .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Bài 2: cho bốn số thực dương x, y, z, t. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Bài 3: cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p=
Bài 4: cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z==1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
Bài 5:Giả sử x, y, z lả các số thực dương thỏa mãn điều kiện . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=
Bài 6: cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tim giá trị nhỏ nhất của biều thức P=
Bài 7: cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p=
Bài 8: cho x,y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
Bài 9: cho x>0, y>0, z>0 và x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhât của biểu thức p= .
Bài 10: cho x, y, z là ba số thực dương và xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
Bài 11: cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức P=
Bài 12: cho x>0, y>0 và x+y=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= Bài 13: cho x>0, y>0 và x+y=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thưc p= Bài 14: cho x>1, y>1 .tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=
Bài 15:cho x>0, y>0, z>0 và x+y+z=3. tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức p=
bài 16: cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=
Bài 17: cho x>0, y>0, z>0 và xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất cuar biểu thức P=
Bài 18: cho các số thực dương sao cho . Tìm gia trị nhỏ nhất của biểu thức P=
Bài 19: cho x>0, y>0, z>0 và x+y+z=3xyz. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p=
Bài 20: cho Tim giá trị lớn nhất của hàm số
Bài 21: cho x, y là các số dương và thỏa mãn điều kiện xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=
Bài 22: cho x>0, y>0, z>0 và x+y+z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=
Bài 23: cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3. tìm giá trị nhỉ nhát của biểu thức S=