IV. Các bài tốn về Đại số tổ hợp
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
KHOẢNG CÁCH
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆNI/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện: I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện: 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG
TRỤ:
V= B.h với B: diện tích đáy , h: chiều cao
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước b)Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh 2.THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V=1 3Bh
với B: diện tích đáy , h: chiều cao
B
h
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨDIỆN: DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta cĩ:
SA BC A BC SA ' B ' C ' V SA SB SC V SA ' SB ' SC ' C' B' A' C B A S
THPTChâu Văn Liêm.GVĐồn Khoa Thọ Ơn Thi tốn 12 4. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: h V B B' BB' 3
với B,B’ : diện tích 2 đáy h: chiều cao
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuơng cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là d = a b c2 2 2 ,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3 2
a
3/ Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc cĩ đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều.
Dạng I: Chĩp cĩ cạnh bên vuơng gĩc đáy. Bài 1:A2011
Cho chĩp S.ABC đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM và song song BC, cắt AN tại N. Biết gĩc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chĩp S.BCNM
Bài 2:B 2006
Cho hình Chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật , AB=a, AD=a 2, SA vuơng gĩc (ABC). SA = a. M là trung điểm AD. N là trung điểm SC, I là giao điểm của AC và BM.
a. Chứng minh rằng : mp(SAC) vuơng gĩc mp(SBM) b. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Bài 3:D 2010
Chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA(ABCD), SA = a, E là trung điểm CD. H là hình chiếu của S trên BE. Tính V của S.ABH.
THPT .GV Ơn Thi tốn 12
Dạng 2: Chĩp cĩ mặt bên vuơng gĩc với đáy
Bài 1 (D-2011 trích )Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, BA = 3a, BC = 4a , (SBC) ( ABC ) , SB= 2 3a ,SBC30o,Tính thể tích khối chĩp S.ABC.
Bài 2: Cho chĩp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, BA = AC = a , mặt bên (SBC) vuơng gĩc với đáy và tam giác SBC là tam giác đều. Tính thể tích khối S.ABC
Bài 3 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a, M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C . Tính thể tích khối I.ABC
Bài 4:B – 2008(trích) Cho chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3, (SAB) vuơng gĩc với mp đáy. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích khối chĩp S.BMDN
Bài 5:A – 2007(trích)
Cho chĩp SABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Tính thể tích khối C.MNP
Dạng 3 : Chĩp đều:
* Tính chất:
+ Đáy là đa giác đều (chĩp tứ giác đ ều đáy là hình vuơng) + Chân đường cao trùng với tâm của đáy.
+ Gĩc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau + Gĩc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau + Tất cả các cạnh bên bằng nhau.
* Chú ý: Cách xác định tâm:
+ Tam giác đều ABC. Để xác định tâm: Gọi I là trung đi ểm BC.
K là trung điểm AC.
Giao điểm 2 trung tuyến AI và BK là O là tâm của tam giác đ ều ABC (O là trọng tâm tam giác ABC và là trực tâm tam giác)
+ Cho hình vuơng ABCD. Gọi O là giao đi ểm của AC và BD. Lúc này O chính là tâm hình vuơng.
Bài 1:B2004
Cho chĩp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng, 0o<<90o
THPT .GV Ơn Thi tốn 12 b. Tính tan gĩc giữa 2 mp(SAB) và (ABCD)
Bài 2: Cho chĩp tứ giác đ ều S.ABCD. Cạnh đáy bằng a. SH là đường cao hình chĩp. I là điểm nằm trên SH. Khoảng cách từ I đ ến (SBC) bằng b.Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
Bài 3: Cho chĩp tam giác đều S.ABC. Đỉnh S, cạnh đáy bằng a. M, N là trung điểm SB và SC. Mp(AMN) vuơng gĩc mp(SBC)
a. Tính thể tích khối chĩp ABCNM b. Tính d(S,(ABC)).
Dạng 4 Bài tập tổng hợp hình chĩp
Bài 1:Cho chĩp S.ABCD là hình vuơng cạnh a. M, N là trung điểm AB và
AD. Giao điểm của hai đường CN và DM là H. SH vuơng gĩc với mặt phẳng đáy ABCD. SH = a 3. Tính thể tích S.CDNM.
Bài 2: D 2010
Cho chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. SA = a. Hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH = ¼ AC. CM là đường cao tam giác SAC.
1. Chứng minh rằng M là trung điểm SA. 2. Tính thể tích khối chĩp S.MBC
Bài 3:B 2009
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. BB’ = 2a. Gĩc giữa đường BB’ và mp(ABC) là 60o. Tam giác ABC vuơng tại C. gĩc BAC600 . Hình chiếu vuơng gĩc của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chĩp A’.ABC.
Dạng 5: Cơng thức: tỷ số thể tích:
+ Cho chĩp S.ABCD. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy A’, B’, C’. Khi đĩ
. ' ' '. . ' ' ' S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC
Bài 1 D 2006 Cho chĩp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a. SA vuơng gĩc mp(ABC). M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính thể tích khối chĩp A.BCNM.
Bài 2:D 2010 Cho hình chĩp S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. SA = a. Hình chiếu của S trên (ABCD) là H thuộc AC sao cho AH = ¼ AC. CM là đường cao của tam giác SAC.
1. Chứng minh M là trung điểm của SA. 2. Tính thể tích khối chĩp S.MBC.
Bài 3 : Cho chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật AB =a. AD = 2a. SA vuơng gĩc với đáy. SB tạo với mặt phẳng đáy gĩc bằng 60o. M thuộc
THPT .GV Ơn Thi tốn 12 đoạn SA sao cho AM = 3
3 a Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích SBCNM. Dạng 6 Lăng trụ đứng Lăng trụ đứng * Cơng thức tính thể tích chung: VLT= diện tích đáy x Chiều cao -Nhớ định nghĩa hình lăng trụ:
-Tất cả cạnh bên song song bằng nhau -Các mặt bên là hình bình hành
-Hai đáy nằm trong 2 mặt phẳng song song và cĩ diện tích bằng nhau.
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng.
AB = BC = a. AA’ = a 2. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. AB = a. Gĩc giữa hai
mặt (A’BC) và (ABC) là 60o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ (lăng trụ đứng, cĩ đáy
là hình vuơng). Khoảng cách giữa hai đường AB, A’D là bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
Dạng 7 Lăng trụ xiên
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, hình
chiếu vuơng gĩc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ và BC là 3
4
a
Bài 2. Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy bằng a.
Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’C bằng 15 5
a . Tính thể
tích của khối lăng trụ