8. Bố cục của luận án
3.2. Tính chất tương quan địa phương của m-dãy
3.2.1. Khái niệm tương quan địa phương
Như ta đã biết, trong thực tế khi mã hóa một bản rõ nào đó trong hệ mã dịng đang xét, ta chỉ dùng đoạn khóa có độ dài M tương ứng với độ dài bản rõ để thực hiện phép mã hóa đó. Có thể giả thiết M là số cố định đối với một hệ thống mật mã thực tế nào đó. Nếu các đoạn khóa độ dài M xuất hiện ngẫu nhiên độc lập, đồng xác suất từ một nguồn khóa nào đó thì hệ mã dịng của ta là hệ mật hoàn thiện. Tuy nhiên nếu ta dùng khóa giả ngẫu nhiên, tức là các đoạn khóa độ dài M được sinh ra từ một thuật tốn sinh dãy, khi đó ta cần quan tâm tới sự tương quan giữa các đoạn khóa độ dài M được lấy ngẫu nhiên đều từ nguồn khóa sinh ra.
Trước hết ta khảo sát tính chất này đối với khóa ngẫu nhiên lý tưởng. Giả sử M là số tự nhiên cố định nào đó. Ký hiệu:
M = { (a0, a1, .., aM-1), ai GF(2)}.
Rõ ràng lực lượng của tập hợp M này là #M = 2M .
Giả sử , là các véc tơ ngẫu nhiên phân bố đều nhận giá trị trong khơng gian M. Khi đó véc tơ = (với phép cộng véc tơ chính là phép XOR) cũng có phân bố đều trên khơng gian M.
Ký hiệu wt(), M, là hàm trọng số của . Khi đó wt() là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập hợp {0, 1, 2, ..., M}.
Đến đây ta có thể thiết lập bài tốn như sau:
Giả thiết lấy ngẫu nhiên đều trên khơng gian M. Tìm phân bố của biến
ngẫu nhiên wt(), trọng số của M.
Rõ ràng nếu = (a0, a1, .., aM-1), thì wt() =
1 0 M i i a , tức là wt() là số các bít 1 trong véc tơ . Do đó, số các véc tơ có wt() = k, 0 k M, sẽ chính bằng tổ hợp chập k trong M phần tử, tức là bằng k
M
C . Từ đó ta có hàm phân bố của biến ngẫu nhiên wt() có dạng sau:
P{ wt() = k, 0 k M} = k M C / 2M. (3.14) Dưới dạng bảng ta có: wt() 0, 1, ... , k , ..., M-1, M P(wt()) 1/2M, M/2M ... k M C / 2M, ..., M/2M, 1/2M. Nhận xét:
a) Từ (3.14) ta thấy biến ngẫu nhiên wt(), khi lấy ngẫu nhiên đều trên không gian M, có phân bố đối xứng qua kỳ vọng của nó. Do đó nếu ta xét các
mơmen trung tâm cấp p tương ứng p c W , ta sẽ có p c W = 0, với p-lẻ. Ngoài ra Wainberg và Wolf cũng đã chỉ ra rằng: 2 c W = M/4; 4 c W = (3M2 - 2M)/16; 6 c W = (15M3 - 30M2 + 16M)/64; p c W = 0, với p-lẻ. (3.15) Đây là những mômen quan trọng đầu tiên để ta làm căn cứ nhận định về phân bố giá trị tương quan địa phương đối với những nguồn giả ngẫu nhiên.
b) Khi nghiên cứu tương quan địa phương của một dãy nào đó, nếu ta chuyển sang việc khảo sát phân bố trọng số của các đoạn con độ dài M tương ứng trong một dãy đã biết, khi đó có thể dùng các cơng thức trong (3.14) để so sánh hai phân bố, trên cơ sở đó có thể kết luận sơ bộ về tính ngẫu nhiên địa phương trong phạm vi M của dãy đã cho.