4.1 Số lượng tử từ
Ta đã tìm được cơng thức tính momen quỹ đạo L = pl(l+1)~. Nhưng momen quỹ đạo là đại lượng vectơ nên ta phải xác định cả cách định hướng của nó trong khơng gian.
Khi giải phương trình (III.13) người ta thu được một kết quả vật lý khác là. Nếu chọn chiều từ trường ngoàiB~ đặt lên nguyên tử làm trục 0z thì hình chiếu củaL~ lên trục 0z phải thoả mãn hệ thức:
Lz =m~ (III.24)
Trong đó m là số nguyên: m = 0,±1,±2, . . . ,±l được gọi là số lượng tử từ. Như vậy có (2l+ 1)
cách định hướng của vectơ momen quỹ đạo ~L.
4.2 Sự lượng tử hóa khơng gian
Như trên đã trình bày, vectơ momen xung lượng khơng thể định hướng tuỳ ý mà phải định hướng sao cho thoả mãn (III.24). Sự định hướng xác định trong không gian của vectơ momen xung lượng có ý nghĩa như thế nào? Điều này có liên quan trực tiếp đến từ trường ngoài. Thực vậy, khi electron quay quanh hạt nhân thì nó tạo thành dịng điện kín, tức là nó gây ra từ trường giống như lưỡng cực từ. Vì thế một electron có momen quỹ đạo~Lsẽ tương tác với từ trường ngoàiB. Nếu ta hướng~
trục 0z song song với phương từ trường ngồi thì số lượng tử m sẽ đặc trưng cho sự định hướng khả dĩ của vectơ ~L trong không gian thể hiện qua các giá trị của thành phần Lz trên phương từ trường ngoài xác định bởi (III. 24). Hiện tượng này được gọi làsự lượng tử hố khơng gian: các phương không gian trở thành chọn lọc và gián đoạn đối với sự định hướng của vectơ momen quỹ đạo L.~
Do có 2l+ 1 giá trị của số lượng tử từ m nên sẽ có 2l+ 1 cách định hướng vectơ momen quỹ đạo ~L. Khi l = 0 thì m = 0 nên Lz = 0. Điều này có nghĩa là momen xung lượng L~ ln vng góc với từ trường ngồi. Khi l= 1 thì có 3 cách định hướng, . . .
Ta có bảng tổng hợp một số giá trị của momen xung lượng ứng với số lượng tử quỹ đạo và hình chiếu của nó lên phương 0z.
l 0 1 2 3 L 0 ~√ 2 ~√ 6 2√ 3~ m 0 −1; 0 ; 1 −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 Lz 0 −~; 0 ; ~ −2~; −~ ; 0 ; ~ ; 2~ −3~ ; −2~; −~; 0 ; ~; 2~ ; 3~
Từ bảng này ta vẽ được sơ đồ lượng tử hố khơng gian tương ứng như hình (III.1)
Hình III.1: Sự lượng tử hố khơng gian
Cuối cùng, chúng ta cần hiểu rằng nguyên tử đặc trưng bởi một giá trịmnào đó như là nguyên tử đó sẵn sàng có một hướng nhất định tương ứng của vectơ ~L đối với từ trường ngồi. Như vậy, khi khơng có từ trường ngồi, phương 0z hồn tồn có tính chất ngẫu nhiên, nhưng nếu có từ trường ngồi thì, phương0zđược chọn trùng với phương từ trường ngoài, sẽ trở thành một phương đặc biệt, phương ưu tiên đối với ngun tử.
§5 PHÂN BỐ XÁC SUẤT TÌM THẤY ELECTRON TRONG NGUYÊN TỬ
Theo lý thuyết cổ điển thì electron chuyển động trên những quỹ đạo xác định, có bán kính xác định (ao = 0,53Ao) gọi là quỹ đạo Bohr.
Lý thuyết lượng tử về nguyên tử Hydro và các Ion tương tự lại cho ta kết quả hoàn toàn khác. Nguyên lý bất định Heisenberg đã khẳng định không thể xác định đồng thời chính xác tọa độ và xung lượng của hạt vi mô, như vậy là đã phủ nhận khái niệm quỹ đạo của hạt vi mô. Trong Vật lý lượng tử chỉ có khả năng biết chính xác xác suất tìm thấy hạt tại một điểm bất kì có tọa độ
rằng, xác suất tìm thấy hạt electron tại một vị trí quanh hạt nhân lại khơng phụ thuộc vào thời gian.
5.1 Mật độ xác suất: w
Ta biết hàm sóng mơ tả trạng thái của hạt có dạng:
ψn,l,m(r, θ, ϕ) = Rn,l(r)Θl,m(θ)Φm(ϕ) (III.25) trong đó các thành phần R,Θ,Φ đều là những hàm thoả mãn ba điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng. Suy ra mật độ xác suất tìm thấy electron là:
w=|ψ|2 =ψψ∗ =|R|2|Θ|2|Φ|2 (III.26) Trong (III.26) ta đã biết
Φm(ϕ) = Aeimϕ ⇒ |Φm(ϕ)|2 =A2 =Const (III.27) Như vậy mật độ xác suất tìm thấy electron khơng phụ thuộc tọa độ ϕ, hay nói cách khác mật độ
xác suất tìm thấy hạt có tính chất đối xứng qua trục 0z. Nghĩa là mật độ xác suất tìm thấy hạt
ở mọi toạ độ góc ϕ là như nhau.
Mật độ xác suất |Θl,m(θ)|2 cho ta biết mật độ xác suất theo hướng góc θ xác định trên mặt phẳng kinh tuyến. Trong giáo trình này chúng ta chưa đủ điều kiện giải tìm ra hàm Θl,m(θ) cụ thể, tuy nhiên chúng ta thừa nhận kết quả giải của Cơ học lượng tử: Hàm Θl,m(θ) là phức tạp, phụ thuộc vào tọa độ θ, số lượng tử quỹ đạo l và số lượng tử từ m. Tuy nhiên nếu xét trạng thái s (l = m = 0) thì |Θl,m(θ)|2 = const. Như vậy ở trạng thái s mật độ xác suất tìm thấy electron khơng phụ thuộc toạ độθ, nghĩa là mật độ xác suất có giá trị như nhau theo mọi hướng tại khoảng
cáchr cho trước tính từ tâm hạt nhân.
Như vậy, ở trạng thái s, mật độ xác suất tìm thấy hạt electron có tính chất đối xứng cầu. Kết
quả này lý giải vì sao ở trạng thái s mơmen xung lượng của electron bằng không. Mômen xung lượngL= 0 không có nghĩa là hạt electron ngừng quay mà có nghĩa là hạt electron quay đối xứng cầu nên mọi phương khơng gian đều bình đẳng, vectơ ~L có thể định hướng xuyên tâm, dẫn đến giá trị trung bình của momen xung lượng L= 0.
Việc giải phương trình (III.14) cũng rất phức tạp nên ta khơng thực hiện trong giáo trình này. Hàm sóng xun tâmRn,l,m(r)phụ thuộc vào tọa độ bán kính r và cả ba số lượng tửn, l, m. Mọi
trạng thái của nguyên tử, mật độ xác suất tìm thấy hạt electron đều phụ thuộc toạ độ bán kínhr.
Tóm lại nếu xét ở trạng thái s thì mật độ xác suất tìm thấy electron trong nguyên tử là:
w=|Rn,l,m(r)|2 (III.28)
5.2 Biểu thức tính xác suất: dW
Lấy một vi phân thể tích trong hệ toạ độ cầu: dV =r2sinθdθdϕdr thì xác suất tìm thấy electron trong thể tích dV là: |ψ|2 dV.
Kí hiệu dW là xác suất tìm thấy hạt electron trong thể tích giới hạn bởi hai mặt cầu bán kính r
và r+dr thì ta có: dW =|R|2r2dr Z π 0 |Θ|2sinθdθ Z 2π 0 |Φ|2dϕ=|R|2r2dr (III.29) ở đây các tích phân: Z π 0 |Θ|2sinθdθ= 1; Z 2π 0 |Φ|2dϕ= 1
Hình III.2: Đồ thị xác suất tìm thấy electron trong nguyên tử
do điều kiện chuẩn hóa.
Ta có đồ thị xác suất tìm thấy electron trong nguyên tử Hydro theo bán kính r như hình (III.2). Đồ thị này cho thấy, xác suất tìm thấy electron chẳng những phụ thuộc vào bán kínhr mà còn phụ thuộc vào các số lượng tử trạng thái của nó. ở trạng thái 1s, mật độ xác suất tìm thấy hạt
cực đại ở vị trí r =ao, trạng thái 2p với m = ±1 có mật độ xác suất cực đại tại r = 4aO, trạng
thái 3d với m=±2 có mật độ xác suất cực đại tại r= 9ao, trạng thái 4f với m=±3 có mật độ xác suất cực đại tại r= 16ao,..rất phù hợp với lý thuyết Bohr.
Tóm lại,xác suất phân bố tìm thấy electron trong nguyên tử thay đổi tuỳ theo trạng thái của nguyên tử. Trường hợp tổng qt phân bố này có tính đối xứng qua trục 0z. Trường hợp đặc biệt khi nguyên tử ở trạng thái 1s thì phân bố này có tính chất đối xứng cầu.