Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.8 Cơ sở phương pháp điều khiển
2.8.2.1 Bộ điều khiển SMC theo luật tiếp cận mặt trượt
Xét hệ thống như sau:
𝑥̈(𝑡) = −𝑓(𝑥, 𝑡) + 𝑏𝑢(𝑡) + 𝑑(𝑡) (2-42) Trong đó −𝑓(𝑥, 𝑡) và b đã biết, b > 0, 𝑑(𝑡) là nhiễu của hệ thống.
Mặt trượt của bộ điều khiển SMC được định nghĩa như sau:
𝑠(𝑡) = 𝑐𝑒(𝑡) + 𝑒̇(𝑡) (2-43)
Trong đó c thỏa điều kiện Hurwitz, c > 0.
Sai lệch và đạo hàm của sai lệch theo thời gian giữa tín hiệu mong muốn và tính hiệu thực tế được xác định như sau:
𝑒(𝑡) = 𝑥𝑑− 𝑥(𝑡) (2-44)
𝑒̇(𝑡) = 𝑥̇𝑑− 𝑥̇(𝑡) (2-45)
Với 𝑥𝑑 là tín hiệu mong muốn, 𝑥(𝑡) là tín hiệu thực tế. Đạo hàm mặt trượt được xác định như sau:
𝑠̇(𝑡) = 𝑐𝑒̇(𝑡) + 𝑒̈(𝑡) = 𝑐(𝑥̇𝑑− 𝑥̇(𝑡)) + (𝑥̈𝑑− 𝑥̈(𝑡)) (2-46) = 𝑐(𝑥̇𝑑− 𝑥̇(𝑡)) + (𝑥̈𝑑+ 𝑓 − 𝑏𝑢 − 𝑑) Áp dụng luật tiếp cận hàm mũ, ta có: 𝑠̇ = −𝜀sgn(𝑠) − 𝑘𝑠, 𝜀 > 0, 𝑘 > 0 (2-47) Từ phương trình (2-46) và (2-47) ta có; 𝑐(𝑥̇𝑑− 𝜃̇) + (𝑥̈𝑑+ 𝑓 − 𝑏𝑢 − 𝑑) = −𝜀sgn(𝑠) − 𝑘𝑠 Từ (2-46) và (2-47) ta có: 𝑢(𝑡) = 1 𝑏(𝜀sgn(𝑠) + 𝑘𝑠 + 𝑐(𝑥̇𝑑− 𝑥̇) + 𝑥̈𝑑+ 𝑓 − 𝑑) (2-48) Trong luật điều khiển (2-48), tất cả các đại lượng ở phía bên phải của phương trình (2-48) là các đại lượng đã biết, ngoại trừ nhiễu d chưa biết. Do đó luật điều khiển ở phương trình (2-48) khơng thể sử dụng được. Để giải quyết vấn đề này, d trong
phương trình (2-48) được thay thế bằng một đại lượng đã biết dc.
Quy luật điều khiển của bộ điều khiển SMC được định nghĩa lại như sau:
𝑢(𝑡) = 1
𝑏(𝜀sgn(𝑠) + 𝑘𝑠 + 𝑐(𝑥̇𝑑− 𝜃̇) + 𝑥̈𝑑+ 𝑓 − 𝑑𝑐) (2-49) Trong đó dc được chọn để đảm bảo hệ thống tiến về mặt trượt.
45
Thay thế phương trình (2-49) vào phương trình (2-46) và đơn giản hóa kết quả, ta nhận được:
𝑠̇(𝑡) = −𝜀sgn(𝑠) − 𝑘𝑠 + 𝑑𝑐− 𝑑 (2-50) Với dc được chọn để đảm bảo hệ thống tiến về mặt trượt. Giả sử d là giá trị được giới hạn trong phạm vi nhỏ nhất và lớn nhất ta có:
𝑑𝐿 ≤ 𝑑(𝑡) ≤ 𝑑𝑈 (2-51)
Trong đó 𝑑𝐿 và 𝑑𝑈 là các giới hạn nhỏ nhất và giới hạn lớn nhất đã biết. Từ phương trình (2-50), 𝑑𝑐 được chọn như sau:
Khi 𝑠(𝑡) > 0, 𝑠̇(𝑡) = −𝜀 − 𝑘𝑠 + 𝑑𝑐− 𝑑, muốn 𝑠̇(𝑡) < 0 thì 𝑑𝑐 = 𝑑𝐿 Khi 𝑠(𝑡) < 0, 𝑠̇(𝑡) = 𝜀 − 𝑘𝑠 + 𝑑𝑐 − 𝑑, muốn 𝑠̇(𝑡) > 0 thì 𝑑𝑐 = 𝑑𝑈 Giả sử: 𝑑1 =𝑑𝑈−𝑑𝐿 2 , 𝑑2 =𝑑𝑈+𝑑𝐿 2 thì ta có: 𝑑𝑐 = 𝑑2− 𝑑1sgn(𝑠) (2-52)