Cho cây toán tử đƣờng ống POT T = (V, E). Trong đó:
:
V i iN là tập các đỉnh hay còn gọi là các toán tử
WT t i Vi | là tập các trọng số tại đỉnh i(có thể xem là chi phí tại toán tử i)
( , )
E i j là cạnh nối i với j (cạnh này chỉ tồn tại khi có sự truyền dữ liệu giữa i và j)
ij
WC {c | i j, i, j V} là tập các trọng số trên cạnh (chi phí truyền dữ liệu từ toán tử i đến toán tử j)
Ta xây dựng ma trận đặc trƣng POM của POT nhƣ sau:
1. Hàng thứ nhất và cột thứ nhất thể hiện đỉnh của POT.
2. Hàng thứ hai và cột thứ hai thể hiện trọng số đỉnh của POT.
3. Giao của hàng i với cột j là trọng số cij. Khi viết cij hoặc (i,j) nghĩa là hàng i là hàng con của hàng cha j. Vì cấu trúc của POT nên trong POM mỗi con i
chỉ có một cha j duy nhất, vì vậy chỉ có một j sao cho cij≠0 và cik=0 với k ≠ j.
Nhận xét: ci i, 0 i. Nếu m là lá thì ci,m 0 i
Mỗi hàng i có nhiều nhất một m để ci,m≠ 0 (do mỗi đỉnh con i có nhiều nhất một đỉnh cha). Chẳng hạn, nhƣ hình 2.1 đỉnh cha 8 có 3 đỉnh con là 3, 4, 5 nên trong bảng 2.1 có c3,8 = 2, c4,,8 = 1, c5,8 = 3.
Trong POM chỉ có thể có ci,j ≠ 0 khi i < j.
Hàng i và j đƣợc gọi là có liên đới với nhau nếu tồn tại dãy cik1 ≠ 0, ck1k2 ≠ 0, hoặc ck2k1 ≠ 0,…, ckmj ≠ 0, hoặc cj,km ≠ 0.
Chẳng hạn, hình 2.1 đỉnh 2 và 3 liên thông
Có c2,7 = 11 ≠ 0, c7,10 = 5 ≠ 0, c10,11 = 2 ≠ 0, c11,8 = 0 nhƣng c8,11 = 1 ≠ 0, c8,3 = 0 nhưng c3,8= 2 ≠ 0. Vậy theo quy ƣớc các hàng 2 và 3 liên đới với nhau.
Các hàng trong POM đều liên đới với nhau, điều này tƣơng đƣơng với nghĩa POT bao giờ cũng là cây liên thông.
Hình 2.1. Cây POT
Và ta cũng có bảng POM tƣơng ứng với cây POT nhƣ bảng 2.1:
Hàng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Hàng ti 7 3 3 2 7 10 7 2 2 4 1 1 7 0 9 2 3 0 11 3 3 0 2 4 2 0 1 5 7 0 3 6 10 0 4 7 7 0 5 8 2 0 1 9 2 0 17 10 4 0 2 11 1 0