7. Cấu trúc của khóa luận
2.3. Các bài toán về thực hiện phép tính
* Kiến thức cần ghi nhớ
Để áp dụng vào giải các bài toán học sinh cần ghi nhớ các kiến thức sau: - Phép cộng: Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:
+ Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.
+ Cộng như cộng các số tự nhiên.
+ Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu phẩy của số hạng.
- Phép trừ: Muốn trừ một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:
+ Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.
+ Trừ như trừ các số tự nhiên.
+ Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.
Chú ý: Nếu số chữ số ở phần thập phân của số bị trừ ít hơn số chữ số ở phần thập phân của số trừ, thì ta có thể viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của số bị trừ, rồi trừ như trừ các số tự nhiên.
- Phép nhân:
+ Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau: • Nhân như nhân các số tự nhiên.
• Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.
+ Muốn nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, … ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba, … chữ số.
+ Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: • Nhân như nhân các số tự nhiên.
• Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.
+ Khi nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001; … ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba, … chữ số.
- Phép chia:
+ Muốn chia một số thập phân cho một số tự nhiên ta làm như sau: • Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia.
• Viết dấu phẩy vào bên phải của thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia.
• Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia.
+ Muốn chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,… ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba, … chữ số.
+ Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư, ta tiếp tục chia như sau:
• Viết dấu phẩy vào bên phải số thương.
• Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp.
• Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và có thể cứ làm như thế mãi.
+ Khi nhân số bị chia với số chia với cùng một số khác 0 thì thương không thay đổi.
+ Muốn chia một số tự nhiên cho một số thập phân ta làm như sau:
• Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì viết thêm vào bên phải số bị chia bấy nhiêu chữ số 0.
• Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia các số tự nhiên. + Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau;
• Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.
• Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia cho số tự nhiên.
- Tính chất của các phép tính trên số thập phân
+ Phép cộng các số thập phân có tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ hai số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.
a + b = b + a
+ Phép cộng các số thập phân có tính chất kết hợp: Khi cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng hai số còn lại.
( a + b) + c = a + ( b + c)
+ Phép nhân các số thập phân có tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ hai thừa số của một tích thì tích không thay đổi.
a x b = b x a
+ Phép nhân các số thập phân có tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba ta có thể nhân số thứ nhất với tích của hai số còn lại.
( a + b) x c = a x c + b x c
Khi thực hiện các phép tính về số thập phân, yêu cầu đặt ra đối với học sinh là phải đặt tính đúng. Nếu đặt tính sai sẽ dẫn đến kết quả sai. Từ việc đặt tính sai của học sinh ta có thể đi tới nhiều bài toán thú vị khác nhau.
* Phương pháp giải
Các dạng bài toán về bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân rất đa dạng. Khi giải các bài toán này ta có thể áp dụng các phương pháp giải như: phương pháp chia tỉ lệ, phương pháp tính ngược từ cuối, phương pháp ứng dụng sơ đồ, phương pháp dùng chữ thay số. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Khi cộng một số tự nhiên với một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân, do sơ xuất, một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy của số thập phân và đặt phép cộng như cộng hai số tự nhiên nên kết quả đã tăng thêm 110,7 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
Phân tích:
- Dựa vào cấu tạo số thập phân ta thấy: khi bỏ quên dấu phẩy của số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng gấp 10 lần.
- Áp dụng phương pháp chia tỉ lệ để giải bài toán.
Lời giải
Khi bỏ quên dấu phẩy của số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng gấp 10 lần. Ta có sơ đồ sau: Phép tính đúng : Phép tính chép nhầm : Số thập phân cần tìm là : 110,7 : (10 – 1) = 12,3 110,7 TN TP TN
Ví dụ 2:
Khi trừ một số tự nhiên đi một số thập phân, do sơ xuất, một học sinh đã chép nhầm dấu phẩy của số thập phân lùi sang bên trái một hàng nên kết quả đã tăng thêm 48,87 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
Phân tích:
- Dựa vào cấu tạo số thập phân ta thấy: khi dời dấu phẩy của số thập phân qua bên trái một hàng thì số đó giảm đi 10 lần
- Áp dụng phương pháp chia tỉ lệ ta vẽ được sơ đồ, từ đó giải bài toán
Lời giải
Khi dời dấu phẩy của số thập phân qua bên trái một hàng thì số đó giảm đi 10 lần. Ta có sơ đồ : Phép tính đúng : Phép tính chép nhầm : Số thập phân cần tìm là : 48,87 : ( 10 -1 ) = 5,43 Ví dụ 3:
Khi cộng thêm một số tự nhiên với một số thập phân mà phần thập phân có một chữ số, do sơ xuất, một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy của số thập phân và đồng thời chép nhầm dấu + (cộng) thành dấu – (trừ) nên kết quả đã giảm đi 353,1 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
Phân tích :
- Khi bỏ quên dấu phẩy của số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng gấp 10 lần và đồng thời do chép nhầm dấu cộng thành dấu trừ nên kết
TN
Số TP cần tìm
- Áp dụng phương pháp chia tỉ lệ ta vẽ sơ đồ và giải bài toán.
Lời giải
Khi bỏ quên dấu phẩy, số thập phân đó đã tăng gấp 10 lần.
Ta có sơ đồ sau : Phép tính đúng : Phép tính chép nhầm : Số thập phân cần tìm là : 353,1 : (10 + 1) = 54,3 Ví dụ 4:
Tìm một số biết rằng tăng số đó gấp hai lần, sau đó cộng với 2,5 rồi trừ đi 5, cuối cùng đem chia cho 4 được kết quả là 1,25.
Phân tích:
Cách 1 : áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối.
Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp các phép tính dưới đây với số cần tìm: x 2 ; + 2,5 ; - 5 ; : 4 cho kết quả cuối cùng là 1,25. Như vậy:
+ Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 4 được kết quả là 1,25. + Dựa vào số tìm được ở bước 1, ta sẽ tìm được số trước khi trừ cho 5. + Dựa vào số tìm được ở bước 2, ta sẽ tìm được số trước khi cộng với 2,5. + Dựa vào số tìm được ở bước 3, ta sẽ xác định được số cần tìm (là số trước khi nhân với 2).
Lời giải
Số trước khi chia cho 4 là : 1,25 x 4 = 5
Số trước khi trừ cho 5 là : 5 + 5 = 10
Số trước khi cộng với 2,5 là : 10 – 2,5 = 7,5 Số cần tìm là : 7,5 : 2 = 3,75 Vậy số cần tìm là 3,75 TN 353,1 TP
Cách 2 : áp dụng phương pháp ứng dụng sơ đồ. Lời giải: Ta có sơ đồ sau : Số cần tìm là : ( 1,25 x 4 + 5 – 2,5) : 2 = 3,75 Ví dụ 5:
Tìm một số, biết rằng bớt số đó đi 3 rồi chia cho 2, sau đó cộng với 1,5 và cuối cùng chia cho 4 được kết quả bằng 1,25.
- Phương pháp giải : sử dụng phương pháp ứng dụng sơ đồ để giải bài toán.
Lời giải Ta có sơ đồ sau : Số cần tìm là : ( 1,25 x 4 – 1,5) x 2 + 3 = 10 Ví dụ 6: Tìm x trong phép tính sau : a) 2,5 x x = 0,01 b) 4,5 : x = 2,5 x 2 + 2,5 : 2 - 2,5 + 5 x 4 - 5 : 4 ? 1,25 - 3 : 2 + 3 x 2 - 1,5 x 4 + 1,5 : 4 ? 1,25
Phân tích: đây là loại toán tìm số chưa biết trong phép tính, áp dụng phương pháp dùng chữ thay số để giải bài toán.
Lời giải a) 2,5 x x= 0,01 x = 0,01 : 2,5 x = 0,004 b) 4,5 : x = 2,5 x = 4,5 : 2,5 x = 1,8 c) x : 0,5 = 1,2 x = 1,2 x 0,5 x = 0,6 Ví dụ 7: Điền số thích hợp vào ô trống: a, 3,75 + = 5,25 b, 1,5 x = 3,75 c, - 5,25 = 4,25 d, : 5 = 2,5
Phân tích: đây là loại bài toán yêu cầu học sinh điền số thích hợp vào ô trống, áp dụng phương pháp dùng chữ thay số để giải bài toán.
Lời giải a, = 5,25 – 3,75 = 1,5 b, = 3,75 : 1,5 = 2,5 c, = 4,25 + 5,25 = 9,5 d, = 2,5 x 5 = 12,5
Ví dụ 8:
Khi cộng 2006 với một số thập phân có 2 chữ số ở hàng thập phân, do sơ xuất nên một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy và đặt tính rồi tính như đối với phép cộng hai số tự nhiên vì vậy kết quả thu được tăng thêm 1985,94 so với kết quả đúng. Hãy tìm kết quả đúng của phép tính đó.
Phân tích: Do đặt tính sai như vậy nên số thập phân đó đã tăng lên 100 lần và kết quả thu được tăng thêm 99 lần số thập phân đó so với kết quả đúng.
Từ sự chênh lệch giữa hai kết quả ta có thể tìm được số thập đó và từ đó tìm được kết quả đúng của phép tính.
Dựa vào phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có thể giải bài toán như sau:
Lời giải
Ta có sơ đồ sau:
Do đặt tính sai như vậy nên số thập phân đó đã tăng lên 100 lần và kết quả thu được sẽ tăng thêm so với kết quả đúng là: 100 - 1 = 99 (lần số thập phân đó)
Số thập phân đó là: 1985,94 : 99 = 20,06.
Kết quả đúng của phép tính đó là: 2006 + 20,06 = 2026,06.
Đáp số: 2026,06.
Ví dụ 9:
Tìm hai số thập phân có tổng là 22,66. Biết rằng nếu dịch dấu phẩy của số thứ nhất sang bên trái 1 chữ số ta sẽ được số thứ hai.
Phân tích: Khi dịch dấu phẩy của một số thập phân sang bên trái 1 chữ số ta được số mới giảm đi 10 lần so với số đó. Từ đó ta có số thứ nhất sẽ gấp 10 lần số thứ hai.
Bài toán cho biết tổng của 2 số, áp dụng cách giải của bài toán “Tổng - tỉ” ta tìm được mỗi số.
Ta có thể giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng như sau:
100 phần
1985,94
Lời giải:
Khi dịch dấu phẩy của số thứ nhất sang bên trái 1 chữ số ta được số thứ hai, vì vậy số thứ nhất sẽ gấp 10 lần số thứ hai. Ta có sơ đồ sau:
Số thứ hai: Số thứ nhất: Số thứ hai là: 22,66 : (1 + 10) = 2,06. Số thứ nhất là: 20,6. Đáp số: Số thứ nhất: 20,6 ; số thứ hai: 2,06. * Một số bài luyện tập :
Bài 1: Khi cộng một số thập phân có ba chữ số ở phần thập phân với một số tự nhiên, do sơ xuất một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy ở số thập phân và đặt phép cộng như cộng hai số tự nhiên. Vì vậy kết quả của phép tính tăng thêm 1232,766 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
Bài 2: Khi trừ một số tự nhiên cho một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân, do sơ xuất một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy ở số thập phân và đặt phép trừ như trừ hai số tự nhiên. Vì vậy hiệu của phép tính đã giảm đi 388,8 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
Bài 3: Khi trừ một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân cho một số tự nhiên, do sơ xuất một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy ở số bị trừ và đặt phép trừ như trừ hai số tự nhiên. Vì vậy hiệu của phép tính đã tăng thêm 210,6 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
Bài 4: Tìm một số, biết rằng bớt số đó đi 3 rồi chia cho 2, sau đó cộng với 1,5 và cuối cùng chia cho 4 được kết quả bằng 1,25.
Bài 5: Tìm một số biết rằng tăng số đó gấp hai lần, sau đó cộng với 2,5 rồi trừ đi 5, cuối cùng đem chia cho 4 được kết quả là 2,5.
Bài 6 : Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5 rồi nhân với 2 và cuối cùng chia cho 8 thì ta được kết quả là 2,5.
Bài 7: Tính nhẩm kết quả tìm x : a, 5,4 x x = 5,4 b, 9,8 x x = 6,2 x 9,8 Bài 8: Tìm x a, x x 3 = 8,4 b, 5 x x= 0,25 Bài 9: Tìm x a, x x 8,6 = 387 b, 9,5 x x= 399 Bài 10: Tìm x a, x x 1,8 = 7,2 b, x x 0,34 = 1,19 x 1,02 c, x x 1,36 = 4,76 x 4,08 Bài 11: Tìm x a, 0,8 x x = 1,2 x 10 b, 210 : x = 14,92 – 6,52 c, 25 : x = 16 : 10 d, 6,2 x x = 43,18 + 18,82 Bài 12: Tìm x a, x – 1,27 = 13,5 : 4,5 b, x+ 18,7 = 50,5 : 2,5
Bài 13: Khi trừ một số tự nhiên đi một số thập phân có 1 chữ số ở phần thập phân, một học sinh đã đặt tính như đối với phép trừ hai số tự nhiên và vẫn đánh dấu phẩy ở kết quả thu được thẳng hàng với dấu phẩy của số thập phân. Vì thế kết quả thu được giảm đi so với kết quả đúng là 1805,4. Tìm số tự nhiên trong phép trừ đó.
Bài 14: Tìm hai số thập phân có tổng là 246,85. Biết rằng số thứ nhất có 2 chữ số ở hàng thập phân và nếu xoá đi chữ số 5 ở hàng phần trăm của số thứ nhất ta được số thứ hai.
Bài 15: Khi chia một số thập phân có chữ số ở hàng thập phân là 5 cho 125, một học sinh đã bỏ quên chữ số 1 ở hàng đơn vị của số thập phân đó vì vậy kết quả thu được giảm đi so với kết quả đúng là 45,008. Hãy tìm số thập phân đó, biết rằng cả 2 trường hợp đều là phép chia hết.
Bài 16: Khi nhân một số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân với 12,35, một bạn đã đặt các tích riêng thẳng cột với nhau như đối với phép cộng và có kết quả
là 220,66. Hãy tìm kết quả đúng của phép nhân đó. Biết rằng các dấu phẩy ở các