Để phân loại các phần tử và lựa chọn những phần tử phù hợp hơn với các ứng dụng mật mã, ta cần có một số tiêu chí để lựa chọn. Sử dụng ký hiệu cho tính phi tuyến là NL, trong một số trƣờng hợp có khoảng cách xa với nhóm affin các hàm logic với cùng số lƣợng biến, để lựa chọn các phần tử phi tuyến phù hợp với thiết kế các phần tử cho các ứng dụng mật mã cần các tiêu chí sau [8]: i: Hàm f1, f2 của F2/1 là hàm logic 3 biến cân bằng và có tính phi tuyến (NL - Non line)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
iii. Tổ hợp tuyến tính của hai đầu ra của F2/1 tức hàm là hàm logic cân bằng và có tính phi tuyến.
iv. Mỗi phần tử luôn tồn tại phần tử nghịch đảo.
Lựa chọn hai hàm logic cân bằng ba biến thuộc những loại khác nhau, ta có thể có đƣợc các biến thể khác nhau của các phần tử điều khiển đƣợc giản đơn (xem hình 2.1b). Chỉ có 70 hàm logic ba biến cân bằng. (Hàm logic với bảng giá trị thực có số lƣợng các bit = 0 và khác 0 là ngang nhau thì đó là hàm logic cân bằng). Mối quan tâm về hàm logic cân bằng cũng gắn với việc đơn giản hóa sự tìm kiếm vét cạn toàn bộ những khả nghịch phần tử điều khiển đƣợc mà có thể đƣợc sử dụng trong thiết kế của các toán tử khả nghịch giống nhƣ hoán vị phụ thuộc dữ liệu. Ta biết rằng một phép biến đổi là song ánh (tức là khả nghịch) nếu mỗi một bit đầu vào của nó đƣợc biểu diễn bằng một hàm logic cân bằng và toàn bộ các tổ hợp tuyến tính của các bit đầu ra cũng là các hàm logic cân bằng. Do vậy, ta chỉ cần xét đến số các cặp hàm logic cân bằng. Số lƣợng các hàm này là
.
Theo [8] Chỉ có 24 khả năng của S với kích thƣớc 2x2 (xem hình 2.2). Do đó, để thực hiện tìm kiếm vét kiệt, ta chỉ cần xét đến biến thể khác nhau. Thế nên, phƣơng pháp cuối cùng (phƣơng pháp mà đƣợc gọi là thiết kế trực quan các phần tử ) phù hợp hơn là xét đến toàn bộ các cặp các hàm logic cân bằng có thể có.
Để biểu diễn các phần tử điều khiển đƣợc, ta có thể mô tả chúng thành các cặp biến đổi đơn giản nhất ( ) thực hiện phép thế 2x2 trong đó: và . 24 trƣờng hợp khác nhau của hộp S hiện thời có thể đƣợc biểu diễn thành phép biến đổi nhƣ ở hình 2.2. Ví dụ, phần tử chuyển mạch có thể đƣợc biểu diễn thành cặp phần tử (a, e).
Nhƣ vậy theo [8], có 288 các phần tử điều khiển đƣợc thỏa mãn tiêu chí i và ii. Có 192 phần tử thỏa mãn cả 3 tiêu chí i, ii, iii và 96 phần tử chỉ thỏa mãn tiêu chí
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
iii. Các tiêu chí i, ii, iv có 40 phần tử thỏa mãn, 24 trong số đó cũng thỏa mãn tiêu chí iii. 40 phần tử thỏa mãn tiêu chí i, ii, iii là các toán tử cơ bản điều khiển đƣợc (xem bảng 2.2)
Các phần tử F2/1 đƣợc chia vào 4 lớp con {Q2/1}, {R2/1}, {Z2/1}, {P2/1}. Lớp con đƣợc quan tâm nhất của CE là {R2/1} và {S2/1}. Với các phần tử thuộc 2 lớp này, chúng có tính chất là S-12/1= S2/1 và R-12/1= R2/1. Các lớp Z2/1 và P2/1 không có tính chất nhƣ vậy, nhƣng P-12/1= Z2/1 và Z-12/1= P2/1.
Hình 2.2. Mô tả trực quan toàn bộ các khả năng có thể có của hộp S 2x2 Các đặc trƣng vi phân của các phần tử đƣợc xác định dựa vào kiến trúc của chúng và các đặc trƣng vi phân của các phần tử cơ bản điều khiển đƣợc đƣợc sử dụng làm các khối cấu trúc chính khi xây dựng các phần tử . Các vi sai đi qua phần tử minh họa ở hình 2.1, f là các trƣờng hợp tổng quát. Các đặc trƣng vi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
phân có thể đƣợc phân chia thành 6 nhóm nhỏ (xem bảng 2.1). Ta có thể nhận thấy rằng ta chỉ có hai loại phần tử điều khiển đƣợc phi tuyến ký hiệu là và . Các CE tuyến tính đƣợc phân chia thành 4 nhóm và . Ta thấy rằng các phần tử điều khiển đƣợc phi tuyến thì không dễ “đoán” đƣợc nhƣ các phần tử tuyến tính. Nếu một phần tử điều khiển đƣợc thuộc tập các phần tử (hay ) thì nghịch đảo của nó cũng thuộc cùng một tập đó. Điều này cho thấy các CE nghịch đảo tƣơng hỗ thuộc loại và và các phần tử nghịch đảo tƣơng hỗ và dựa trên các phần tử điều khiển đƣợc có các thuộc tính tƣơng tự nhƣ các phần tử mã hóa cơ bản. Phần tử chuyển mạch cơ bản là một phần tử của nhóm phụ , tức là . Do vậy, cách phân loại vừa đƣa ra xác định các thuộc tính sau:
Nếu , thì .
Nếu , thì .
Nếu thì .
Nếu , thì .
Bảng 2.1. Xác suất của các đặc trƣng vi phân của các phần tử
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
Bảng 2.2. Toàn bộ các phần tử điều khiển đƣợc thỏa mãn tiêu chí lựa chọn
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x a P Z Z Z R R R R R R R R b Z Z Z Z R R R R R R R R c Z Z Z Z R R R R R R R R d Z Z Z Z R R R R R R R R e P Z Z Z R R R R R R R R f Z Z Z Z R R R R R R R R g R R Q Q Q Q R R Z Z Z Z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ h R R Q Q Q Q R R Z Z Z Z i R R Q Q Q Q R R Z Z Z Z j R R Q Q Q Q R R Z Z Z Z k R R Q Q Q Q R R Z Z Z Z l R R Q Q Q Q R R Z Z Z Z m R R Q Q Q Q R R Z Z Z Z n R R Q Q Q Q R R Z Z Z Z o Z Z Z Z R R R R R R R R p Z Z Z Z R R R R R R R R q R R R R Z Z Z Z Q Q Q Q r R R R R Z Z Z Z Q Q Q Q s R R R R Z Z Z Z Q Q Q Q t R R R R Z Z Z Z Q Q Q Q u R R R R Z Z Z Z Q Q Q Q v R R R R Z Z Z Z Q Q Q Q w R R R R Z Z Z Z Q Q Q Q x R R R R Z Z Z Z Q Q Q Q
Toàn bộ các đối hợp cơ bản điều khiển đƣợc đƣợc biểu diễn ở nửa tam giác trái tính theo đƣờng chéo từ trên xuống dƣới từ trái sang phải của bảng 2.2. Các đối hợp này minh họa sự phân loại các phần tử điều khiển đƣợc phù hợp với tiêu chí lựa chọn đã sử dụng. Trong 40 đối hợp ta có 8 đối hợp , 16 đối hợp và 16 đối hợp . Nhóm phụ cuối cùng biểu diễn các đối hợp cơ bản tuyến tính điều khiển đƣợc trong số đó ta có hai biến thể thực hiện phần tử chuyển mạch và , ký hiệu lần lƣợt là (a,e) và (e,a). Các đối hợp phi tuyến tính điều khiển đƣợc đƣợc đƣa ra ở bảng 2.3