Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bước 1: Tri giác vấn đề (2 phút )
Cho học sinh bài toán.
Bài toán: Cho tam giác ABC có
A = 600, AB = 2cm, AC = 5cm. Tính độ dài cạnh BC.
Hãy phân tích bài tốn trên và cho biết: giả thiết và yêu cầu bài toán.
Tri giác bài toán
Học sinh trả lời
Giả thiết: A = 600, AB = 2cm, AC = 5cm.
Yêu cầu: Tính BC.
Bước 2: Giải quyết vấn đề ( 10 phút )
Hãy cho biết góc A và cạnh BC có mối liên hệ gì.
Chia lớp ra thành bốn nhóm nhỏ thảo luận tìm hướng giải quyết bài toán trên. Thảo luận trong 3 phút.
Hãy trình bàyđề xuất của nhóm
Học sinh trả lời
A là góc đối diện cạnh BC trong tam giác ABC
Học sinh chia nhóm và thảo luận
?
?
Hãy nhận xét đề xuất của các nhóm.
Kiểm tra và nhận xét các đề xuất của các nhóm.
Hãy trình bày lời giải theo hướng giải của nhóm mình.
Học sinh nhận xét
Đại diện từng nhóm trình bày lời giải. Học sinh sẽ đưa ra nhiều cách giải trong đó có cách đưa các cạnh về thành các vectơ và sử dụng quy tắc ba điểm. Cụ thể như sau:
; ; BC BC AC AC AB AB Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2. . 2. . cos 2. . .cos 5 2 2.5.2. os60 19 19 BC AC AB BC AC AB BC AC AB AC AB BC AC AB AC AB A BC AC AB AC AB A BC c BC BC
Bước 3: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải ( 3 phút )
Kiểm tra và chỉnh sửa các bài làm của học sinh.
Khẳng định tính hợp lí và tối ưu của cách giải trên.
Tổng quát bài toán trên, trong tam giác ABC bất kì v góc A là góc cóới số đo cho trước. Hãy tính BC theo AB, AC và góc A. Hãy cho biết cạnh BC và góc A Học sinh quan sát Học sinh nhận thức Học sinh trả lời 2 2 2 2. . .cos BC AC AB AC AB A ? ? ? ?
có mối quan hệ gì.
Tương tự cơng thức tính BC, hãy lần lượt tính AC và AB theo các cạnh khác trong tam giác ABC và các góc đối với chúng.
Nếu đặt BC = a, AC = b, AB = b. Hãy cho biết cơng thức tính các cạnh a, b, c.
Kết luận kết quả vừa tìmđược là định lý hàm số Cosin.
Học sinh trả lời
GócA là góc đối của cạnh BC trong
tam giác ABC
Học sinh trả lời 2 2 2 2 2 2 2. . .cos 2. . .cos AC BC AB BC AB B AB BC AC BC AC C Học sinh trả lời 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ; 2 cos ; 2 cos . a b c bc A b a c ac B c a b ab C 4.2 Giáo án 2
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hoạt động 1: Gợi động cơ học tập địnhlý hàm số Cosin (2 phút)
Trong tam giác ABC vng tại A. Hãy tính BC theo AB và AC.
Khi tam giác ABC khơng là tam giác vng với góc A là góc có số đo bất kì. Theo các em chúng ta có thể tính BC khi biết các cạnh AB và AC
Học sinh trả lời
Theo địnhlý Pythagore ta có:
BC2 = AB + AC2 2
Học sinh lắng nghe và suy nghĩ
?
? ?
cùng nhau tìm hiểu nội dung bài học hôm nay.
Hoạt động 2: Hình thành và chứng minh địnhlý hàm số Cosin (7 phút) Bài toán: Cho tam giác ABC và góc
A là góc có số đo bất kì. Hãy chứng minh:
BC2 = AC + AB 2AC.AB.cosA2 2–
Hãy chỉ ra giả thiết và kết luận của bài toán trên.
Cho học sinh chia thành 4 nhóm thảo luận và đề xuất cách có thể sử dụng để chứng minh bài toán trên. (3 phút)
Học sinh quan sát bài toánvà định hướng cách giải
Học sinh suy nghĩ trả lời
+ Giả thiết: Cho tam giác ABC với
góc A có số đo bất kì.
+ Kết luận:
BC2 = AC + AB 2AC.AB.cosA2 2–
Học sinh chia nhóm và thảo luận. Các nhóm đưa ra các hướng có thể sử dụng để chứng minh.
Các hướng học sinh có thể đưa ra các đề xuất sau:
1) Sử dụng địnhlý Pythagore
2) Sử dụng các kiến thức vectơ
như: tổng, hiệu và tích vơ
hướng của hai vectơ. Xuất
phát từ biểu thức
BC AC AB
3) Sử dụng phép biến đổi tương
Chọn hướng chứng minh bằng cách sử dụng các kiến thức vectơ theo cách 2).
Yêu cầu nhóm học sinh đưa ra hướng chứng minh theo các kiến thức vectơ giải thích tại sao chọn hướng này.
Hãy chứng minh bài toán trên theo hướng vừa đề xuất.
đương.
Nhóm học sinh được phân cơng giải thích 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .AB.cos 2. cos 2. . BC AC AB AC A BC AC AB AC AB A BC AC AB AC AB BC AC AB BC AC AB Do đó ta xuất từ BC AC AB .
Học sinh trình bày chứng minh
Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . 2. cos 2 .AB.cos . BC AC AB BC AC AB BC AC AB AC AB BC AC AB AC AB A BC AC AB AC A ? ?
Khẳng định công thức vừa chứng minh là định lý hàm số Cosin trong tam giác.
Học sinh lắng nghe
Hoạt động 3: Hoàn chỉnh địnhlý và nêu ứng dụng của định lý hàm số Cosin (2 phút)
Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa cạnh BC và góc A.
Hãy suy ra cơng thức tính các cạnh AB và AC theo địnhlý Cosin.
Theo em địnhlý hàm số Cosin có ứng dụng gì trong tam giác.
Khẳng định cơng dụng của định lý hàm số Cosin
Kết luận với địnhlý hàm số Cosin ta đã trả lời được câu hỏi ở đầu bài đặt ra. Học sinh trả lời BC là cạnh đối của góc A Học sinh trả lời 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 . .cos AB BC AC BC AC C AC BC AB BC AB B Học sinh trả lời
Tìm một cạnh của tam giác khi biết
hai cạnh cịn lại và góc xen giữa
chúng.
Học sinh lắng nghe
Hoạt động 4: Ví dụ ( 4 phút ) Ví d :ụ
Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm và góc 0 ˆ 120 C . Tính cạnh AB. ? ? ?
Hãy cho biết bài tốn trên cho cái gì và u cầu tìm gì.
Đối với bài toán này ta áp dụng cơng thức nào để tìm cạnh AB? Vì sao ?
Hãy giải bài toán trên.
Kiểm tra và chỉnh sửa bài làm của học sinh nếu có sai sót.
Học sinh trả lời Cho : AC = 10 cm, BC = 16 cm, 0 ˆ 120 C Tìm : AB= ? Học sinh trả lời Áp dụng cơng thức của địnhlý hàm số Cosin. Vìđề bài cho 2 cạnh và
góc xen giữa chúng, yêu cầu tìm
cạnh cịn lại. Học sinh giải Áp dụng địnhlý hàm số Cosin ta có: 2 2 2 2 2 0 2. . .cos 16 10 2.16.10. os120 516 516 22,72 AB BC AC BC AC C c AB cm ? ? ?
4.3 Giáo án 3
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hoạt động 1: Gợi động cơ học tập địnhlý hàm số Cosin (2 phút)
Trong tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính BC theo AB và AC.
Khi tam giác ABC không là tam giác vng với góc A là góc có số đo bất kì. Theo các em chúng ta có thể tính BC khi biết các cạnh AB và AC như địnhlý Pythagore không? Để trả lời câu hỏi trên chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu nội dung bài học hôm nay.
Học sinh trả lời
Theo địnhlý Pythagore ta có:
BC2 = AB + AC2 2
Học sinh lắng nghe và suy nghĩ
Hoạt động 2: Hình thành và chứng minh địnhlý hàm số Cosin (11 phút)
Cho học sinh quan sát các hình vẽ sau đây: Học sinh quan sát các hình vẽ ? C A 13 4 600 3 A¼ B¼ C¼ 1200 3 2 19 B
Cho thảo luận nhóm ( 3 phút ) Chia lớp học thành bốn nhóm, cho học sinh thảo luận theo nhóm nhằm giải quyết vấn đề sau:
+ Nhóm 1, 2 quan sát tam giác ABC và phân tích số 13 theo các số 3, 4, 600.
+ Nhóm 3, 4 quan sát tam giác A¼B¼C¼ và phân tích số 19 theo các số 2, 3, 1200.
Đại diện các nhóm hãy trình bày cách phân tích của nhóm mình.
Nếu học sinh vẫn chưa đưa ra được kết quả thì giáo viên có thể gợi ý thêm bằng các câu hỏi như:
2
?
BC
Hãy phân tích BC theo hai vectơ
AC
vàAB.
Các nhóm thảo luận và đề xuất hướng phân tích.
Các nhóm trình bày cách phân tích của nhóm mình. Có thể có nhiều cách nhưng trong đó cách mà giáo viên mong đợi ở học sinh là:
2 2 0 2 2 0 13 3 4 2.3.4. os60 19 2 3 2.2.3. os120 c c Học sinh trả lời ? ? ?
Yêu cầu học sinh sử dụng cơng thức tích vơ hướng của hai vectơ tính tốn biểu thức trên.
Tương tự đối với tam giác A¼B¼C¼.
Theo hai kết quả trên, các em hãy dự đoán nếu cho một tam giác ABC với góc A có số đo biết trước ta có thể tìm BC theo AB, AC và cosAđược khơng? Nếu được ta xác định theo công thức nào?
Kiểm tra lại giả thuyết học sinh vừa đưa ra.
Hãy kiểm chứng lại sự đúng đắn của công thức mà các em vừa nêu ra bằng cách chúng ta sẽ tiến hành chứng minh cơng thức trên.
Vẽ hình và hướng dẫn học sinh chứng minh.
Học sinh trả lời
BC AC AB
Học sinh khai triển
2 2 2
2. .
BC AC AB AC AB
Học sinh tính tốn và đưa ra kết quả
Học sinh trả lời
Được
Theo công thức:
2 2 2 2 .AB.cos
BC AC AB AC A
Học sinh lắng nghe yêu cầu của giáo viên
Học sinh chứng minh theo hướng dẫn của giáo viên
?
?
B C
Kiểm tra lại bài chứng minh của học sinh.
Hãy nhận xét bài chứng minh trên.
Thông báo đến học sinh công thức vừa chứng minh là địnhlý hàm số Cosin trong tam giác.
Hãy phát biểu địnhlý hàm số Cosin . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . 2. . cos 2 . .cos BC AC AB BC AC AB BC AC AB AC AB BC AC AB AC AB A BC AC AB AC AB A Học sinh nhận xét Họcsinh lắng nghe Học sinh trả lời
Trong tam giác ABC có:
2 2 2 2 . .cos
BC AC AB AC AB A
Hoạt động 3: Hoàn chỉnh địnhlý và nêuứng dụng của địnhlý hàm số Cosin (2 phút)
Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa cạnh BC và góc A.
Hãy suy ra công thức tính các cạnh AB và AC theo địnhlý Cosin. Học sinh trả lời BC là cạnh đối của góc A Học sinh trả lời 2 2 2 2 . .cos AB BC AC BC AC C ? ? ? ?
Theo em địnhlý hàm số Cosin có ứng dụng gì trong tam giác.
Khẳng định công dụng của địnhlý hàm số Cosin
Kết luận với địnhlý hàm số Cosin ta đã trả lời được câu hỏi ở đầu bài đặt ra.
Học sinh trả lời
Tìm một cạnh của tam giác khi biết
hai cạnh cịn lại và góc xen giữa
chúng.
Học sinh lắng nghe
4.4 Giáo án 4
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hoạt động 1: Gợi động cơ học tập định lý hàm số Cosin (2 phút)
Trong tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính BC theo AB và AC.
Khi tam giác ABC không là tam giác vng với góc A là góc có số đo cho trước bất kì. Theo các em chúng ta có thể tính BC khi biết các cạnh AB và AC như định lý Pythagore không?
Để trả lời câu hỏi trên chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu nội dung bài học hơm nay.
Học sinh trả lời
Theo định lý Pythagore ta có:
BC2 = AB + AC2 2
Học sinh lắng nghe và suy nghĩ
?
?
Hoạt động 2: Nêu và tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề dẫn đến định lý ( 10 phút )
Cho học sinh một bài toán
Bài toán: Cho tam giác ABC có
A = 600, AB = 2cm, AC = 5cm. Tính độ dài cạnh BC.
Hãy phân tíchđề bài trên.
Chia lớp thành bốn nhóm thảo luận tìm hướng giải bài tốn trên.
Hãy phân tích và nhận xét các đề xuất của các nhóm.
Nếu các nhóm đưa ra được hướng giải quyết hợp lí th ến hì ti ành cho học sinh tiến hành giải. Trong đó hướng giải quyết mà giáo viên mong muốn là đưa tam giác ABC về thành hai tam giác vuông để áp dụng định lý Pythagore.
Ngược lại, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh như sau:
Ta có thể đưa tam giác ABC về thành hai tam giác vuông bằng
Học sinh trả lời
Điều đã cho: Tam giác ABC có A
= 600, AB = 2cm, AC = 5cm.
Điều cần tìm: BC = ?
Học sinh chia nhóm thảo luận và đề xuất các hướng giải quyết.
Học sinh phân tích và nhận xét tính đúng đắn của các hướng giải.
Học sinh nhận thức được hướng giải quyết và tiến hành giải. Vẽ hình A B H C 600 ?
phát từ B hoặc C.
Hãy áp dụng định lý Pythagore đối với các tam giác vuông AHB và BHC.
Học sinh trả lời
Xét tam giác AHB vng tại H, ta có:
2 2 2
BH AB AH (1)
Xét tam giác BHC vuông tại H, ta có:
2 2 2 BH BC CH (2) Từ (1) và (2) ta có: 2 2 AB AH BC2 CH2 (3) Ta có: AC = AH + HC 2 2 2 2 2 2 2 . 2 . (4) AC AH AH HC HC HC AC AH AH HC Thế (4) vào (3) ta có: 2 2 AB AH =BC2 (AC2 AH2 2AH HC. ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 . (*) BC AB AC AH AH HC BC AB AC AH AC
Xét trong tam giác ABH vng tại H ta có: cosA AH AH AB.cosA AB thế vào (*) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 . cos 1 2 5 2.2.5. 19 2 19 BC AB AC AB AC A BC BC ?
Xem xét và chỉnh sửa bài giải của học sinh.
Theo kết quả của bài tốn trên, hãy cho biết để tìm cạnh BC khi biết hai cạnh AC, AB và góc A ta áp dụng cơng thức nào.
Khi góc A khơng là góc nhọn, cơng thức trên vẫn đúng. Các em hãy xem cách chứng minh từ SGK. Kết luận công thức trên được gọi là định lý hàm số Cosin trong tam giác.
Học sinh trả lời
2 2 2 2 . cos
BC AB AC AB AC A
Học sinh lắng nghe
Hoạt động 3: Thể chế hóa địnhlý hàm số Cosin và chỉ ra ứng dụng, tầm quan trọng của địnhlý. ( 3 phút ).
Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa cạnh BC và góc A.
Hãy suy ra cơng thức tính các cạnh AB và AC theo địnhlý Cosin. Hãy phát biểu hoàn chỉnh định lý hàm số Cosin. Học sinh trả lời BC là cạnh đối của góc A Học sinh trả lời 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 . .cos AB BC AC BC AC C AC BC AB BC AB B Học sinh phát biểu địnhlý
Trong tam giác ABC, với AB = c, BC = a,
AC = b ta có 2 2 2 2 cos ; a b c bc A ? ? ? ?
4.5 Giáo án 5
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hoạt động 1: Gợi động cơ học tập định lý hàm số Cosin (2 phút)
Trong tam giác ABC vng tại A. Hãy tính BC theo AB và AC.
Khi tam giác ABC khơng là tam giác vng với góc A là góc có số đo cho trước bất kì. Theo các em chúng ta có thể tính BC khi biết các cạnh AB và AC như định lý Pythagore không? Để trả lời câu hỏi trên chúng ta s ìmẽ t hiểu nội dung bài học hôm nay.
Học sinh trả lời
Theo định lý Pythagore ta có:
BC2 = AB + AC2 2
Học sinh lắng nghe và suy nghĩ