3 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp
3.1.1 Định giá trên trường số
Cho k là một trường số.
Định nghĩa 3.1.1. Một hàm số thực |.| : k −→ R+ thỏa mãn các tính
chất sau được gọi là một định giá trên k, và cặp (k, |.|) (hay đơn giản là k) được gọi là trường định giá.
(i) |x| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0,
(ii) |xy| = |x|.|y|, với mọi x, y ∈k,
ˆ Định giá có điều kiện (iii) được thỏa mãn với C = 1 gọi là định giá không Archimedes, ngược lại gọi là định giá Archimedes.
ˆ Định giá thỏa mãn |x| = 1 với mọi x ̸= 0 và |0| = 0 trên k được
gọi là định giá tầm thường.
Định nghĩa 3.1.2. Hai định giá |.|1 và |.|2 được gọi là tương đương
nếu tồn tại hằng số c > 0 để |x|1 = |x|c, với mọi x ∈k.
Định lí 3.1.3.
(i) Hai định giá |.|1 và |.|2 tương đương khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn
|x|1 < 1 ⇐⇒ |x|2 < 1.
(ii) Với một định giá bất kỳ luôn có một định giá tương đương
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nghĩa là |x + y| ≤ |x| + |y|,
với mọi x, y ∈ k.
Kí hiệu Mk là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k và Mk∞, M
0 tương ứng là tập các lớp tương đương của các định giá
Archimedes và không Archimedes trong Mk. Ta có Mk = M 0 ∪M ∞.
k k
Trong trường hợp k = Q là trường số hữu tỉ, ta thấy.
ˆ Hàm giá trị tuyệt đối thông thường |x| = max{x, −x} thỏa mãn Định nghĩa
3.1.1 (iii) với C = 2 nên nó là một định giá Archimedes và gọi là định giá Archimedes chính tắc, kí hiệu |.|∞.
ˆ Với p là một số nguyên tố và x ∈ Q, khi đó x được biểu diễn được duy
nhất
thành x = pra
(r ∈Z; a, b ∈Z và không chia hết cho p). Đặt |x| = p−r, khi đó hàm |.|p xác định một định giá không Archimedes trên Q gọi là định giá p-adic.
Định lí 3.1.4. Mỗi định giá khơng tầm thường trên Q tương đương
với hoặc định giá Archimedes chính tắc hoặc một định giá p-
adic.
Rõ ràng ta có MQ = {p > 1, p là số nguyên tố} ∪ {∞}.
2
k
Trên một trường k tùy ý, mỗi định giá v xác định một khoảng cách và do đó xác định một tơpơ trên k. Định lí 3.1.3(i) cho thấy hai định giá là tương đương
nếu và chỉ nếu chúng cùng xác định một tôpô trên k. Trường k với khoảng cách xác định bởi v là đầy thì v được gọi là định giá đầy và cặp (k, v) (hay đơn giản hơn là k) được gọi là trường định giá đầy. Trường hợp ngược lại (v khơng đầy) ta kí hiệu kv là bao đầy của k ứng với định giá v. Ta có tính chất sau.
Định lí 3.1.5.
(i) Nếu v khác tầm thường thì kv là một trường và v được mở rộng
duy nhất
tới định giá vˆ trên kv sao cho vˆ(x) = v(x), ∀x ∈ k. Nếu v trên
k là khơng
Archimedes thì vˆ trên kv cũng là khơng Archimedes
(ii) Nếu v là khơng Archimedes và k là trường đóng đại số thì kv cũng là trường đóng đại số.
Nếu k′ là một mở rộng trường của k, v và v′ tương ứng là các định giá trên
k và k′ sao cho v′|k = v thì ta nói v′ nằm trên v và viết v′|v.
Định lí 3.1.6. Giả sử (k, v) là một trường định giá đầy và k′ là trường
mở rộng hữu hạn của k. Khi đó, mỗi định giá v được mở rộng
duy nhất đến định giá v′ trên k′. Hơn nữa, (k′, v′) cũng là một
trường định giá đầy.
Giả sử v là một định giá không Archimedes không tầm thường trên k. Kí hiệu
vˆ là định giá mở rộng trên bao đầy kv. Theo định lí trên, vˆ được mở rộng tới định giá vˆ trên bao đóng đại số kv của kv.
3.1.2 Chuẩn hóa định giá và cơng thức tích
Giả sử trường số k có bậc d. Trên k, mỗi định giá v được chuẩn hóa như sau. +) Nếu v là Archimedes.
Gọi {σj}d là tập các phép nhúng k vào C trên Q (d = [k : Q]). Ngoài các phép nhúng thực (ảnh vào R) các phép nhúng còn lại chia thành các cặp phức liên hợp. Mỗi phép nhúng thực và mỗi cặp nhúng phức liên hợp xác định một lớp định giá
|x|σj := |σj(x)|, x ∈ k.
Mỗi định giá Archimedes tương đương với một trong các định giá |.|σj nói trên. Giả sử định giá Archimedes v tương đương với |.|σj với j nào đó. Khi đó, ta chuẩn hóa định giá này bởi
dσj
∥x∥v := |x|σd
j=
1
ở đó dσj = 1 nếu σj là nhúng thực và dσj = 2 nếu σj là nhúng phức.
+) Nếu v là khơng Archimedes.
Khi đó v là một mở rộng của một định giá p-adic |.|p trên Q, ứng với số ngun tố p nào đó. Kí hiệu Qp là bao đầy của Q ứng với định giá p - adic |.|p.
Với x ∈ k, xét tự đồng cấu tuyến tính µx của Qp-khơng gian véc tơ kv, cho bởi µx(y) = xy. Định thức Nkv/Qp (x) của tự đồng cấu tuyến tính này là một phần tử thuộc Qp và được gọi là chuẩn của x. Khi đó, mở rộng bậc dv = [kv : Qp] của v cho bởi
1
|x|v := |Nkv/Qp (x)|p và v được chuẩn hóa bởi
d v ∥x∥v := |x| d = | N kv/Q p 1 (x)| d .
Định lí 3.1.7. Dạng chuẩn ∥.∥v của v thỏa mãn các tính chất sau.
(i) ∥x∥v ≥ 0, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0;
(ii) ∥xy∥v = ∥x∥v · ∥y∥v, với mọi x, y ∈ k;
(iii) ∥x1 + · · · + xn∥v ≤ Bnv · max{∥x1∥v; . . . ; ∥xn∥v} với mọi x1; . . . ; xn ∈ k, n
∈ N, trong đó nv = dv/d , Bv = 1 nếu v là không Archimedes và
Bv = n nếu v là Archimedes.
Lưu ý rằng trong trường hợp k = Q, do MQ = {p > 1, p là số nguyên tố} {∞} ∪ và do định nghĩa |.|p, |.|∞ ta có cơng thức sau gọi là cơng thức tích.
vY∈MQ
|x|v = 1, x ∈Q∗.
Mở rộng sang trường số k bất kỳ với định giá được chuẩn hóa như trên ta cũng có cơng thức tích sau.
vY∈Mk
∥x∥v = 1 với mỗi x ∈k \ {0}.
3.1.3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản
Với v ∈Mk, ta cũng mở rộng định giá ∥.∥v tới bao đóng đại số kv của k.
d v
v p
Với x ∈k \ {0}, độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi h(x) := log+∥x∥v,
v∈Mk
trong đó log+∥x∥v = log max{∥x∥v, 1}.
Với mỗi x = [x0 : · · · : xM ] ∈ PM (k) là một điểm trong không gian xạ ảnh trên trường k, ta đặt ∥x∥v := max0≤i≤M ∥xi∥v. Hàm độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi
h(x) := log∥x∥v. (3.1)
v∈Mk
Do cơng thức tích, biểu thức trên khơng phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ PM (k) và khái niệm này tương ứng với khái niệm hàm đặc trưng trong Lí thuyết Nevanlinna.
Với mỗi số nguyên dương d, đặt
Td := (i0, . . . , iM ) ∈ NM +1 : i0 + · · · + iM = d .
Giả sử Q là một đa thức thuần nhất bậc d trong k[x0, . . . , xM ] có biểu diễn
Q = Σ
aIxI, trong đó xI = xi0 . . . xiM với x = (x0, . . . , xM ) và I = (i0, . . . , iM ). Đặt ∥Q∥v := maxI ∥aI∥v. Độ cao Logarit của Q được định nghĩa bởi
h(Q) := log∥Q∥v.
v∈Mk
Với mỗi v ∈Mk, hàm Weil ứng với đa thức Q, kí hiệu λQ,v được định nghĩa bởi
λQ,v(x) := log
∥x∥d · ∥Q∥v
∥Q(x)∥v
, x ∈PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0.
Trong định nghĩa trên, hàm λQ,v cũng không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈PM (k).
Với S ⊂ Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các lớp định giá Archimedes. Ta gọi là hàm xấp xỉ và hàm đếm ứng với đa thức thuần nhất Q, lần lượt kí hiệu
mS(Q, x), NS(Q, x) và được định nghĩa bởi mS(Q, x) := Σ λQ,v(x), NS(Q, x) := Σ λQ,v(x), x ∈ PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0. Σ Σ . Σ Σ v I∈T d 0 M v∈ S v̸∈ S
Hàm xấp xỉ và hàm đếm định nghĩa như trên tương ứng với khái niệm hàm xấp xỉ và hàm đếm trong Lí thuyết Nevanlinna. Từ cơng thức tích và các định nghĩa trên, ta có cơng thức sau, tương ứng với Định lí cơ bản thứ nhất trong Lí thuyết Nevanlinna
d.h(x) = mS(Q, x) + NS(Q, x) + O(1),
với mọi x ∈PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0
3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số
Giả sử Λ là một tập các chỉ số gồm vô hạn phần tử.
Ta gọi mỗi ánh xạ x : Λ −→ PM (k) là một họ các điểm di động x(α) trong
PM (k) với α ∈Λ.
Ta gọi mỗi ánh xạ H : Λ −→ (PM (k))∗ (không gian đối ngẫu) là một
siêu phẳng di động trên Λ, hay nói cách khác mỗi siêu phẳng di động H
trên Λ chính là một họ các siêu phẳng H(α) trong PM (k), α ∈ Λ.
Ta gọi mỗi họ đa thức thuần nhất {Q(α)}α∈Λ bậc d trong k[x0, . . . , xM ] là một
siêu mặt di động Q trong PM (k) có bậc d, được đánh chỉ số trên Λ. Mỗi siêu mặt
di động Q có thể viết dưới dạng Q = Σ
I∈Td aIx với các hệ số I aI là hàm trên Λ
nhận giá trị trong k và khơng có khơng điểm chung.
Xét họ Q := {Q1, . . . , Qq} các siêu mặt di động trong PM (k), được đánh chỉ số trên Λ. Ta biểu diễn
Qj = aj,IxI (j = 1, . . . , q) với dj = deg Qj. I∈Tdj
Định nghĩa 3.1.8. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta viết Tdj = {Ij,1, . . . , Ij,Mdj }, ở
đó
Md
j := .dj +M Σ
. Một tập con gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ được gọi là
nhất quán
đối với họ Q nếu với mọi đa thức P ∈k[x1,1, . . . , x1,Md
1 , . . . , xq,1, . . . , xq,Mdq ]
thuần nhất đối với mỗi bộ các biến xj,1, . . . , xj,Mdj (với j ∈ {1, . . . , q}),
thì
P (a1,I1,1 (α), . . . , a1,I1,Md1 (α), . . . , aq,Iq,1 (α), . . . , aq,Iq,Mdq (α))
hoặc triệt tiêu tại mọi α ∈A hoặc triệt tiêu tại hữu hạn α ∈A.
Σ
Ta có kết quả sau mà cách chứng minh hoàn toàn tương tự cách chứng minh của Bổ đề 1.1 trong [34].
Bổ đề 3.1.9. Tồn tại tập con vô hạn A ⊂Λ nhất quán đối với họ Q. Cho A ⊂Λ là một tập chỉ số vô hạn. Với mỗi tập con C ⊂ A có phần bù
hữu hạn trong A ta kí hiệu ánh xạ a : C −→ k bởi cặp (C, a). Với C1, C2 ⊂A là
các tập con của A có phần bù hữu hạn, hai cặp (C1, a1) và (C2, a2) được gọi là
tương đương nếu tồn tại tập con C ⊂C1 ∩ C2 có phần bù hữu hạn trong A và
a1|C = a2|C . Kí hiệu R0 là tập các lớp tương đương của các cặp (C, a) với quan
hệ tương đương trên. Ta thấy R0 có cấu trúc tự nhiên của một vành. Hơn nữa,
có thể nhúng k vào R0 bằng cách coi mỗi phần tử của k là một hàm hằng.
Giả sử A ⊂Λ là một tập nhất quán đối với họ siêu mặt di động Q. Với mỗi
j ∈ {1, . . . , q}, ta cố định một chỉ số Ij ∈ Tdj sao cho aj,Ij ≢ 0 (theo nghĩa
aj,I
j
(α) = 0 với mọi α A, ngồi một tập con hữu hạn), khi đó aj,I
aj,I
xác định một phần tử thuộc R0 với mọi I ∈ Td
j , đó là j aj,I(α) {α ∈ A : aj,Ij (α) ̸= 0} −→ k, α ›→ a j,I j . (α)
Do tính nhất quán của A nên vành con của R0 sinh ra trên k bởi các phần tử nói trên là một miền nguyên (xem p.3, [22]). Gọi RA,Q là trường các thương của miền nguyên này. Ta có nhận xét sau.
Nhận xét 3.1.10. Giả sử B ⊂A ⊂Λ là hai tập con vô hạn các chỉ số.
Khi đó, nếu A nhất quán đối với họ các siêu mặt Q thì B cũng nhất quán đối với họ siêu mặt đó, và RB,Q ⊂ RA,Q
Gọi A là tập các hàm {α ∈A : a j,I j (α) = 0 k, α aj,I (α) aj,I (α) và kQ là tập các tổng hình thức có dạng m=1 tm s i= 1 j cni, trong đó tm ∈ k, ci ∈ A, ni ∈ N. Với mỗi cặp (^b, ^c) ∈ k2 mà
^c(α) 0 với mọi α ∈A, ngoài một tập con hữu hạn, ta
xác định hàm ^b : {α : ^c(α) 0} −→ k, α ›→ ^b (α) := ^b(α ) . Gọi R^ A,Q là tập tất cả ^c ^c ^c(α)
các hàm như vậy. Khi đó, mỗi phần tử a ∈ RA,Q là lớp của một hàm a thuộc
RA,Q. Ta gọi a là một đại diện đặc biệt của a. Rõ ràng, với hai đại diện
A A A ̸̸ A A ̸̸ } −→ ›→ Σ Q i Q ^ ^ ^ ^ ^ ∈ R Q ^ ^ ∈ Σ I ∈R Q s
đặc biệt bất kỳ a1, a2 của cùng một phần tử a A, , ta có a1(α) = a2(α) với mọi α
A, ngồi
một tập con hữu hạn. Với đa thức thuần nhất P := aIxI A, [x0, . . . , xM ], và với mỗi I giả sử aI là một đại diện đặc biệt của aI, khi đó P := ΣI aIxI được
gọi là một đại diện đặc biệt của P. Với mỗi α ∈ A sao cho tất cả các hàm ^aI
^ ^
xác định tại α, đặt P (α) := I aI(α)xI ∈ k[x0, . . . , xM ] và nói rằng P xác định
tại α. Lưu ý rằng mỗi đại diện đặc biệt P của P được xác định với mọi α ∈ A,
ngoài một tập con hữu hạn, và nếu P1, P2 cùng là đại diện đặc biệt của P thì
P1(α) = P2(α) với mọi α ∈ A, ngồi một tập con hữu hạn.
Cho V ⊂ PM (k) là một đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh bởi ideal thuần
nhất I(V ).
Định nghĩa 3.1.11. Một điểm di động x = [x0 : · · · : xM ] : Λ −→ V được
gọi là V -không suy biến đại số ứng với Q (hay cịn gọi là khơng suy biến đại số trên V ) nếu với mỗi tập nhất quán A ⊂
Λ ứng với Q, không tồn tại đa thức thuần nhất P ∈RA,Q[x0, . . . , xM
] \ IA,Q(V ) sao cho P (α)(x0(α), . . . , xM (α)) = 0 với mọi α ∈A, ngoài một
tập con hữu hạn, với một (và cũng là với mọi) đại diện đặc
biệt P^ của P, trong đó IA,Q(V ) là ideal của RA,Q[x0, . . . , xM ] sinh bởi
I(V ). ^ ^ ^ ^ ^ Σ ^ ^ ^ ^ j= 1
Định nghĩa 3.1.12. Họ các siêu mặt di động Q = {Qj}q , (q ≥ n + 1)
là ở vị trí tổng quát trên V (hay còn gọi là V -chấp nhận được) nếu với mỗi bộ
1 ≤ j0 < · · · < jn ≤ q, hệ phương trình
Qji (α)(x0, . . . , xM ) = 0, 0 ≤ i ≤ n,
khơng có nghiệm (x0, . . . , xM ) thỏa mãn (x0 : · · · : xM ) ∈ V (k) với mọi α
∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn, trong đó k là bao đóng đại số
của k.
3.2 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu
mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh
Mục này trình bày kết quả chính sau của Chương 3.
Định lí 3.2.1 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018). Cho k là một trường
số và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá
Archimedes. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ −→ V là một điểm di động. Giả sử
(i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không
suy biến đại số ứng với Q;
(ii) h(Qj(α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈Λ và j = 1, . . . , q (nghĩa là với mọi
Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂Λ sao cho q 1 λ dj Qj (α),v (x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α)) (3.2) v∈S j=1 đúng với mọi α ∈A. Nhận xét 3.2.2. (i) Bằng cách thay Qj d bởi Qdj , với d = BCNN{d
, . . . , dq}, trong giả thiết
của Định lí 3.2.1 có thể giả sử thêm Q1, . . . , Qq có cùng bậc d. (ii) Bằng cách thay Qj = ΣI∈Td aIj, x I bởi Q′ j = I∈T d ajI
xI, trong giả thiết
của
ajIj
Định lí 3.2.1 cũng có thể giả sử thêm Qj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ].
(iii) Bất đẳng thức (3.2) cịn có thể viết dưới dạng
q (q n 1 ε)h(x(α)) 1 N dj S (Qj(α), x(α)) . j=1
Để chứng minh định lí trên, chúng tôi dành mục sau cho việc chuẩn bị các bổ đề bổ trợ.
3.2.1 Một số bổ đề
Theo nhận xét 3.2.2 (i), ta có thể giả sử Qj =
I∈Td
ajIxI, (j = 1, . . . , q). Gọi
A ⊂ Λ là một tập vô hạn nhất quán ứng với Q. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta cố định
một chỉ số Ij ∈ Td sao cho aj,Ij
a≢ 0 (theo nghĩa aj,Ij (α) 0 với mọi α ∈ A, ngoài
một tập con hữu hạn), khi đó jI
ajIj xác định một phần tử của R0 với mỗi I ∈ Td. Đặt Q ′ j = I∈T d ajI xI, j = 1, . . . , q. ajIj Xét t = (. . . , tjI, . . . ) là một họ các biến, đặt Σ Σ j Σ Σ − − − ≤ Σ A Σ ˜ Σ 1
Qj = tjIxI ∈k[t, x]. I∈Td
Ta có Q (. . . ,ajI (α), . . . ,
x
, . . . ,
x ) = Q′ (α)(x , . . . ,x ) với mọi α ∈A, ngoài
j ˜j aj I j một tập con hữu hạn. 0 M 0 M
Giả sử ideal I(V ) xác định V được sinh bởi các đa thức P1, . . . , Pm. Do Q ở vị trí tổng quát trên V nên với mỗi J := {j0, . . . , jn} {⊂ 1, . . . , q} tồn tại tập con
AJ ⊂ A với phần bù hữu hạn sao cho với mỗi α ∈ AJ ta có: ajIj (α) 0 với mọi