3 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp
3.1.3 cao Logarit và các hàm cơ bản
Với v ∈Mk, ta cũng mở rộng định giá ∥.∥v tới bao đóng đại số kv của k.
d v
v p
Với x ∈k \ {0}, độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi h(x) := log+∥x∥v,
v∈Mk
trong đó log+∥x∥v = log max{∥x∥v, 1}.
Với mỗi x = [x0 : · · · : xM ] ∈ PM (k) là một điểm trong không gian xạ ảnh trên trường k, ta đặt ∥x∥v := max0≤i≤M ∥xi∥v. Hàm độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi
h(x) := log∥x∥v. (3.1)
v∈Mk
Do cơng thức tích, biểu thức trên khơng phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ PM (k) và khái niệm này tương ứng với khái niệm hàm đặc trưng trong Lí thuyết Nevanlinna.
Với mỗi số nguyên dương d, đặt
Td := (i0, . . . , iM ) ∈ NM +1 : i0 + · · · + iM = d .
Giả sử Q là một đa thức thuần nhất bậc d trong k[x0, . . . , xM ] có biểu diễn
Q = Σ
aIxI, trong đó xI = xi0 . . . xiM với x = (x0, . . . , xM ) và I = (i0, . . . , iM ). Đặt ∥Q∥v := maxI ∥aI∥v. Độ cao Logarit của Q được định nghĩa bởi
h(Q) := log∥Q∥v.
v∈Mk
Với mỗi v ∈Mk, hàm Weil ứng với đa thức Q, kí hiệu λQ,v được định nghĩa bởi
λQ,v(x) := log
∥x∥d · ∥Q∥v
∥Q(x)∥v
, x ∈PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0.
Trong định nghĩa trên, hàm λQ,v cũng không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈PM (k).
Với S ⊂ Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các lớp định giá Archimedes. Ta gọi là hàm xấp xỉ và hàm đếm ứng với đa thức thuần nhất Q, lần lượt kí hiệu
mS(Q, x), NS(Q, x) và được định nghĩa bởi mS(Q, x) := Σ λQ,v(x), NS(Q, x) := Σ λQ,v(x), x ∈ PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0. Σ Σ . Σ Σ v I∈T d 0 M v∈ S v̸∈ S
Hàm xấp xỉ và hàm đếm định nghĩa như trên tương ứng với khái niệm hàm xấp xỉ và hàm đếm trong Lí thuyết Nevanlinna. Từ cơng thức tích và các định nghĩa trên, ta có cơng thức sau, tương ứng với Định lí cơ bản thứ nhất trong Lí thuyết Nevanlinna
d.h(x) = mS(Q, x) + NS(Q, x) + O(1),
với mọi x ∈PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0