Gọi các điêm A, B, o , D như hình vẽ. Diện tích hình chừ nhật là
s = AB.AD
Bước 2 (Giải bài toán):
Đặt AB = X, (0 < X < 1) => 5D = 2 0B = 2 \ í ĩ - x
Diện tích hình chữ nhật là s = 2 x y lỉ-x 2
Ta có s 2 =4x2( 1 - j 2), đặt y = x 2 , { 0 < y < \ ) . Xét g { y ) = 4 y ( \ - y ) = ~ 4 y 2 + 4 y
' r , 4 1
Ta có s lớn nhât khi 2 y lớn nhât, mà g y lớn nhât khi V = —— =
’ ° ' 2 - 4 2
ỉĩ
Nên s lớn nhất khi -X = — , = 1
, ,
Bước 3 (Thông hiêu): Học sinh hiêu được vì diện tích s lớn nhât khi x = — ,
nên cần cắt tấm bìa sao cho cạnh AB = — . Đe thực hiện ta chỉ cần dựng đoạn
OA sao cho AOB = 45", Dựng AC song song với OB (C thuộc nửa đườns; tròn), Từ c dựng CD song song với AB. Hình chữ nhật cần cắt là ABDC.
Bước 4 (Đổi chiếu, kiêm định kết quả):
Trong thực tế hình dạng miếng bìa sử dụng cắt có thể là một hình khác mà khi tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật sẽ gặp khó khăn hơn.
Nói tóm lại, quy trình mơ hình hóa tốn học được lặp đi lặp lại, được coi là khép kín và được dùng để mơ tả các vấn đề thực tiễn và kết quả của bài tốn mơ hình hóa được dùng đế giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn.
Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình mơ hình hóa ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh ở trường phổ thông [13]. Cơ chế điều chỉnh này được thể hiện qua mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:
Sơ đổ 1.6. Cơ chế điều chinh q trình mơ hình hóa
M ối liên hệ tốn
Thực tiễn học và thực tiễn Toán học
Cơ chê điêu chỉnh trên bao gơm các bước cụ thê như sau[27]:
- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trone phạm vi của vấn đề thực tế;
- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;
- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình MHH;
- Lựa chọn và sử dụng các mơ hình tốn học phù họp với tình huống thực tế cũng như tính tốn đến sự phức tạp của nó;
- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mơ hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mơ hình cho phù họp với thực tiễn;
- Hiểu được ý nghĩa của mơ hình tốn học trong hồn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn;
- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mơ hình đã xây dựng.
Theo tác giả, Nguyễn Danh Nam đưa ra quy trình 7 bước tơ chức hoạt động mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn như sau[l 1]:
- Bc 1: Tìm hiểu, xây dựna, cấu trúc, phân tích, đơn gian hóa vấn đề, xây dựng giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.
- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng, các giả thuyết đã nêu ra ở bước 1.
- Bước 3: Xây dựng bài toán dựa trên các ngơn ngữ tốn học đê mơ tả tình huống thực tế.
- Bước 4: Sử dụng các cơng cụ và ngơn ngừ tốn học đế giải bài tốn. - Bước 5: Tìm ra được lời giải của bài toán, hiếu ý nghĩa của mơ hình tốn học đối với tình huống thực tiễn
- Bưóc 6: Kiểm nghiệm mơ hình, kiểm tra tính hợp lý và tính tối ưu của mơ hình đâ xây dựng.
- Biróc 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn, cải tiến mơ hình hoặc xây dựng mơ hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.
Sơ đỏ 1.7. Các bước tổ chức hoạt động mơ hình hóa
Ĩ đề tài này, tơi vận dụng vào phạm vi và đổi tượng giáo viên và học sinh trung học phổ thông, và giới hạn trong nội dung dạy học hàm số, tôi cụ thề hóa các hoạt động thực hiện MHH tốn học theo các bước như sau[l 1]
Giai đoạn 1: Toán học hỏa
Học sinh hiếu được vấn đề thực tiễn, xác định các giả thuyết để đơn gian hóa vấn đề, mơ tả và thề hiện vấn đề bằng công cụ và ngơn ngữ tốn học. Xác định các khái niệm, các biến số, mối liên hệ giữa các biến, từ đó biểu diễn vấn đề dưới ngơn ngừ tốn học. Quá trình này là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học.
Giai đoạn 2: Giải bài toán
Học sinh lựa chọn, sử dụng các cơng cụ và phương pháp tốn học thích hợp đê xây dựng và giải quyết bài tốn, có the sử dụng sự hồ trợ của công nghệ thông tin.
Giai đoạn 3: Thơng hiểu bài tốn
Học sinh hiểu lời giải của bài toán đã được chuyển đổi từ tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu) và hiểu được ý nghĩa lời giải của bài tốn trong hồn cảnh thực tiễn, trong đó cần nhận ra những hạn chế và khó khăn có thê có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống thực tiễn.
Giai đoan 4: Đối chiếu thưc íế • •
Xem lại các giả thuyết, các hạn chế của mơ hình tốn học cũng như lời giải của bài tốn, các cơng cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đổi chiếu thực tiễn để cải tiến mơ hình đã xây dựng và tiến tới cải tiến mơ hình cũng như lời giải của bài toán. Giai đoạn này yêu cầu học sinh phải có hiểu biết rõ về các cơng cụ tốn học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống.
Ví dụ 1.3: (Bài tốn ơ cửa) Một ơ cửa sổ có hình dạng của một hình chữ nhật và một hình bán nguyệt có đường kính bằng chiều rộng hình chừ nhật. (Xem hình vẽ). Nếu chu vi cửa sổ là 20 feet, xác định kích thước của cửa sô đê nhận được nhiều ánh sáng nhất? (chú thích 1 feet = 0,3048m).
Hình 1.3. Hình ơ cưa
Bước 1 ( Tốn học hóa, tìm hiểu bài tốn thực tiễn) Giáo viên hướng
dẫn học sinh đưa bài toán để cửa sổ nhận được nhiều ánh sáng nhất ta cần thiết kế cửa sổ đó sao cho nó có diện tích lớn nhất, với chu vi cửa sổ đã cho là 20 feet. Học sinh đi tính diện tích hình chừ nhật và hình bán nguyệt. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là X , chiều dài là y (x, y > 0). Khi đó, bán kính đường trịn là r = — .
Bước 2: (Giải bài toán) Ta có chu vi của cửa sồ là tổng chu vi của nửa
đường trịn (hình bán nguyệt) và chu vi hình chừ nhật.
r 7T3C
Theo giả thiêt, ta có phươngtrình 20 = — + x + y .2 => >> = 10 -
Diện tích của cửa sơ s X -71M
2 ( ( 7Ĩ ^ \ X - 7 1 + x 1 0 - — + 1 X v 2 , V u J ' - + \ v4 - —X +1 Ox
Bước 3: (Thông hiểu) Học sinh dựa vào kiến thức đã học đi tìm giá trị
lớn nhất của hàm số s X = - x 2+10x. Dựa vào kiến thức hàm số lớp 12, học sinh đi tìm giá trị lớn nhất của s X bằng cách tính đạo hàm và lập bảng biến
5 7Ĩ
thiên ta được S1....= 25 khi m a x X = 5. Từ đó, suy ra 7 J y = 5 - ——y
Bước 4: (Đổi chiếu) Ở bước này, giáo viên cần làm rõ kha năng ứng
dụng bài toán vào thực tế. v ấ n đề tìm được là kích thước cửa số lớn nhất đế nhận được ánh sáng nhiều nhất.
Ví dụ 1.4: (Bài toán cái phễu) Với một tấm nhơm hình trịn, bạn
Thương muốn biến nó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Thương phai cắt đi hình quạt trịn A O B rồi dán hai bán kính OA,OB lại với nhau như hình vẽ
bên dưới (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể). Gọi X là số đo góc ở tâm hình quạt trịn dùng làm phễu. Tìm X để thể tích phễu lớn nhất.
Bước ỉ: Tốn học hóa, tìm hiểu bài tốn thực tiễn
Vẽ hình minh hoạ tương ứng
Phân không gian đê chứa nguyên vật liệu là thê tích của phêu. Bài tốn trở thành xác định số đo phần cắt để thể tích phễu lớn nhất.
Bước 2: Giải bài toán
Gọi y là chiều dài cung trịn của tấm nhơm tạo thành hình nón.
Hình 1.4. Hình anh mơ phỏng cái phễu
A,B
Ta có bán kính đáy của hình nón tạo thành là 2ĩĩr = y =>r = —
Chiêu cao của hình nón là: h = \Ir2 - r 2 —
2ttR%ỊĨ
Khảo sát hàm V theo biên sô y ta được V . <=> y = — [=— • Suy ra V 3
rV2
r ~
2 ^6 Ta có £ = chu vi đường trịn đáy của hình nón < ^ R x = 2-ĩrr <$x = — — .
3
Bước 3: Thông hiểu
Từ kết quả số đo phần cung bị cắt của tấm nhôm, học sinh hiểu được chiếc phễu được tạo thành có thể tích lớn nhất từ đó sẽ chứa được nhiều nguyên vật liệu hơn.
Bước 4: Đổi chiếu
Việc trải nghiệm thông qua mơ hình khối nón có thể tạo ra nhiều vật dụng khác nhau như: Nón lá; phễu ; nón trang trí sinh nhật - lễ hội, vỏ kem Óc quế,... Tùy thuộc vào cách cắt dán và các nguyên vật liệu để làm ra chúng có thể tạo ra các sản phẩm có các kích thước theo yêu cầu của thị trường.
1.1.3. Năng lực và cấp độ mơ hình hóa tốn học
1.1.3.1. Khái niệm năng lực và năng lực mơ hình hóa tốn học
Năng lực là một khái niệm thuộc một phạm trù tâm lí học. Nhiều chuyên gia trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xã hội học, giáo dục học, triết học, tâm lí học hay kinh tế học đã cổ gắng đưa ra định nghĩa năng lực. Hiện nay, khái niệm về “năng lực” vẫn còn chưa thống nhất trên phạm vi thế giới.
Năng lực là tổ họp các thuộc tính mang tính cá nhân, phù họp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kểt quả [22].
Năng lực còn là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng, thái độ để thực hiện một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống” [13].
Năng lực trong chương trình giáo dục phơ thơng tơng thê năm 2018 là “thuộc tính cá nhân được hình thành phát triển nhờ tố chất sằn có và q trình học tập rèn luyện, cho phép con người huy động tập hợp các kiến thức, kĩ năng và thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong điều kiện cụ thể” [3].
Theo chương trình PISA năm 2015 cho rằng: năng lực toán học là khả năng cá nhân biết lập công thức (fomiulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) tốn học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận tốn học và sử dụng các khái niệm, phương pháp cơng cụ tốn học đế mơ tả, giải thích và dự đốn các hiện tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trị của tốn học trên thế giới và đưa ra phán đốn, quyết định của cơng dân biết góp ý, tham gia và suy ngầm” [28]. Hơn nữa, năng lực môn tốn cịn the hiện ở việc sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là các phương tiện khoa học cơng nghệ để tìm tịi, khám phá và giải quyết vấn đề tốn học.
Theo chương trình PISA đánh giá học sinh quốc tế theo 8 năng lực đặc trưng của tốn học đó là: Tư duy và lập luận; suy luận và chúng minh toán học; giao tiếp toán học; mơ hình hóa; nêu và giải quyết vấn đề; biểu diễn, sử dụng kí hiệu và ngơn ngừ tốn học; sử dụng cơng cụ tính tốn[28].
Năng lực tư duy và suy luận toán học là năng lực được hình thành khi
chúng ta đặt các câu hỏi đặc trưng như “có hay khơng..?, nếu như vậy, có bao nhiêu?... và biết loại câu trả lời để có thể giải đáp được nhũng câu hỏi như vậy. Ngoài ra, chúng ta cần hiểu và xác định được phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán như định nghĩa mệnh đề, phỏng đốn, giả thuyết, ví dụ,..
Năng lực phái hiện và giải quyết vấn đề yêu cầu học sinh cần xác định
được vấn đề và giải quyết nhiều dạng bài toán theo nhiều cách khác nhau. Qua đó, học sinh hình thành kỹ năng phân tích được tình huống, phát hiện và
nêu được tình huống có vấn đề. Dựa trên các thông tin thu thập được, học sinh phải lựa chọn phương pháp, đề xuất giải pháp phù họp với tình huống, vấn đề cần giải quyết. Đe làm được điều đó một cách tốt nhất, trước tiên học sinh cần lập kế hoạch để giải quyết vấn đề, thực hiện kế hoạch độc lập, sáng tạo, hợp tác dựa trên các giả thuyết đã đề ra.
Năng lực mơ hình hóa tốn học là năng lực gắn liền với cấu trúc mơ
hình hóa, tức là chuyển đổi tình huống “thực tiễn” dưới dạng toán học, xây dựng mơ hình tốn học từ các tình huống thực tiễn dựa trên các cơng cụ tốn học.; giải thích các mơ hình tốn học theo nghĩa “thực tế” .
Năng lực lập luận toán học, học sinh cần biết cách chứng minh toán
học, trình bày các lập luận toán học. Phân biệt chúng khác với các loại suy luận như thế nào, theo dõi và đánh giá các chuồi lập luận toán của nhiều loại khác nhau. Từ đó, học sinh hình thành các kỹ năng lập luận tốn học cua mình.
Năng lực giao tiếp toán học là sự bộc lộ mình về những vấn đề của
toán học, hiêu được những mệnh đề được nói hay được viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy.
Năng lực trình bày tốn học chính là khả năng mã hóa, chuyển đổi, giải
thích và phân biệt các dạng khác nhau của các biểu diễn của nhũng đối tượng và bổi cảnh toán học.
Năng lực sử dụng các cơng cụ, kí hiệu, các yếu tổ kỹ thuật là sử dụng
các ký hiệu và hình thức, chuyển đổi ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ kv hiệu và công thức.
Năng lực sử dụng đồ dùng hỗ trợ và cơng cụ tốn học là khả năng sử
dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau, có thể giúp cho hoạt động tốn diễn ra tốt nhất.
Theo Niss (2001), có tám thành tố của năng lực toán học và chia làm hai cụm. Cụm thứ nhất gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết
vấn đề toán học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực suy luận toán học. Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngừ ký hiệu, hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng cụ phương tiện tốn học. Tám năng lực này tập trung vào những gì cần thiết để các nhân có thê học tập và ứng dụng toán học. Các năng lực này khơng hồn tồn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau [28].
Sơ đồ 1.8. Các thành tổ của năng lực tốn học theo Nỉss (2001)
Có nhiêu định nghĩa khác nhau vê năng lực mơ hình hóa, năng lực mơ hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của q trình inơ hình hóa t r o n g một tình huống cho trước theo Bloom và Jensen [25]. Các thành tố của năng lực mơ hình hóa Tốn học:
(1) Đơn giản giả thuyết; (2) Làm rõ mục tiêu; (3) Thiết lập vấn đề;
(4) Xác định biến, tham số, hằng số; (5) Thiết lập mệnh đề Tốn học; (6) Lựa chọn mơ hình;
(7) Biểu diễn mơ hình thích hợp; (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.
Bên cạnh đó, năng lực tốn học hóa tình huống là khả năng áp dụng những hiểu biết toán học để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học. Do đó, trọng tâm của hoạt động mơ hình hóa tốn học hóa tình huống thực tiễn là việc xây dựng mơ hình tốn học cho tình huống đó. Năng lực tốn học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phụ thuộc hồn tồn vào trình độ toán học và vốn hiểu biết của họ về thế giới xung quanh. Các thành tố của năng lực tốn học hóa tình huống thực tiễn của học sinh trung học phô thông