Khi đó, ta biêu diễn bán kính của viên đá sau khi cẳt gọt (khối trụ) theo
X, từ đó tính được the tích khối trụ V = 2 x R 2 - X2 n là hàm số theo biến X và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.
Bước 2: Giải bài toán
Gọi 2x là chiều cao của hình lăng trụ 0 < X < R (hình vẽ 2.10). R là bán kính của khối đá hình cầu.
Khi đó, bán kính của khối trạ là r = yjR2 - X 2 và thể tích của khối trụ là
v = 2 x R 2 - x2 n Xét hàm số V = 2 x R 2 - X 2 7Ĩvới 0< X < R Ta có: V' = 2tt R 2 - 3x2 = 0 ^ x = ^ - 3 Lập bảng biến thiên X 3 -00 +00 3 V ' X + 0 V X 4 ^ 3Vs 0 ^ 0
Dựa vào bảng biên thiên ta thây thê tích khơi trụ lớn nhât khi chiều cao
2 R * J ĩ 1, _ 4 7 t R 3s Í Ĩ
của khơi trụ là — là y -------------
Bước 3: Hiêu và thơng dịch
Bài tốn yêu cầu tính thể tích lớn nhất của viên đá có hình dạng khối trụ sau khi được cẳt gọt từ một viên đá khối cầu có bán kính R. Ta tìm được
ị , , 47rR3\Ị3
thê tích lớn nhât của viên đá sau khi căt got là V = — —-----
Bước 4: Đối chiếu thực tế
Trong thực tế, bài toán thường sử dụng đổi với các nghệ nhân chế tác đá, điêu khắc để có thể tìm được các sản phẩm thẩm mỳ cao, giá thành phù hợp với thị trường.
Ví dụ 2.2. Chúng ta cần thiết kế một tủ sấy hình trụ với thể tích V cho
trước. Tìm chiêu cao và đường kính đáy đê tủ sây có diện tích tồn phân nhỏ nhât.
Bước ì: Tốn học hóa
Ta dựng tủ sấy có hình ảnh tương ứng.
F
Mặt xung quanh và hai mặt đáy là diện tích của tủ sây. Bài toán trở thành so sánh bán kính đáy và chiêu cao của hình trụ đê diện tích của tủ sây nhỏ nhất.
Bước 2: Giải bài tốn
Gọi bán kính đáy của hình trụ là r , chiều cao của hình trụ là h. Khi đó diện tích tồn phần của hình trụ s = lirrh + 2ttt2 .
Vì V = ttr2h =>h = -¥ ĩ =>S = — + 27rr2 = — + — + 2yrr2 > 3^2ttV 2 Hình 2.12. Hĩnh ảnh mơ phỏng mảy sây.
A
r r r
Mặt khác h = 2 nên Sf) nhỏ nhất khi h = ? = 2r
Vậy hình dạng của tủ sấy là hình trụ cần làm có chiều cao bàng đường kính đáy.
Bước 3: Hiêu và thông dịch
Ket quả của bài toán giúp học sinh hiểu được cách thiết kế tủ sấy hình trụ với chiều cao bằng bán kính đáy sẽ tiết kiệm được vật liệu nhất.
Bước 4: Đối chiếu thực tế
Trong thực tế việc thiết kế tủ sấy theo các kích thước của thể tích cho trước khơng chỉ phụ thuộc vào chiều cao và bán kính đáy mà cịn phụ thuộc vào việc sử dụng chúng để sấy vật dụng gì, chất liệu cho phép chịu đựng lực đến đâu, phụ thuộc việc vận chuyển chúng, hay không gian để đặt tủ sấy...
Phản tích kết quả hoạt động:
Qua hoạt động này, học sinh cần áp dụng các kiến thức không chỉ hàm số, mà còn sử dụng các cơng thức tính diện tích khối trụ, trí tưởng tưởng về hình học. Học sinh cũng cần vận dụng kĩ năng đưa tình huống về các biển, các tham số có trong bài để xây dựng hàm sổ.
2.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện kỹ năng biếu diễn mơ hình dưới dạng biếu
đồ, đồ thi với số liêu thưc tế ' • • •
2.2.2.1. Cơ sở của biện pháp
Mơ hình hóa là q trình chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang ngơn ngừ tốn học, học sinh phải có năng lực và các kỹ năng để làm được điều đó. Chính vì vậy, rèn luyện kỳ năng biểu diễn mơ hình dưới dạng biểu đồ, đồ thị với sổ liệu thực tế là một trong những kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán nội dung hàm sổ nói riêng và kiến thức tốn học nói chung. Qua biện pháp này học sinh có thể phát triển được các thành tố mơ hình hóa sau đây:
Năng ì ực thu nhận thơng tin tốn học từ tình huống thực tiễn
- Thực hiện quan sát tình huống, liên tưởng tình huống với các tri thức
toán đã biết.
- Ước lượng và dự đốn các kết quả có thể xảy ra của tình huống. 70
Năng lực định hướng đên các u tơ trung tâm của tình hng
-Xác định được yếu tố trọng tâm của tình huống, loại bỏ những gì khơng bản chất hay nói cách khác yếu tố trọng tâm là đại lượng đang cần tìm trone, bài tốn thực tiễn.
- Thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố bài toán, đánh giá mức độ phụ thuộc cua các yếu tố.
Năng ỉ ực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học
-V ận dụng ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn, chính xác để diễn đạt các tình huống.
- Sử dụng ngơn ngừ tốn học để chuyển đổi các bài toán thực tiễn sang dạng toán học và giải quyết bài tốn trong mơ hình được thiết lập.
Năng lực xây dựng mơ hình tốn học
- Phát hiện ra yếu tố trọng tâm của tình huống thực tiễn
- Biểu diễn các đại lượng thực tế bàng ngơn ngừ tốn học, biểu đạt các mối quan hệ giữa các đại lượngbằng các mệnh đề toán học, các biểu thức chứa biển, đồ thị, biểu đồ,..;
- Khái qt hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của toán học.
Năng lực làm việc với mơ hình tốn học
-Giải tốn trên mơ hình, dựa vào lời giải bài toán nêu ra được kết quả của mơ hình;
- Giải quyết được những vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập
Năng ỉực kiểm tra, đảnh giá, điều chỉnh mơ hình:
- Kiểm tra, đối chiếu kết quả sau khi giải bài toán
- Vận dụng suy luận có lý vào việc đưa ra các mơ hình tốn cho tình huống thực tiễn và cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết không phù hợp
2.2.2.2. Cách thức thực hiện
Đổi với đề tài này, nội dung hàm số được bao phủ toàn bộ luận văn. Các ví dụ được lấy xung quanh đời sống hoặc các môn học như Sinh học,
Hóa học, Vật lý,....làm tăng hứng thú học tập của học sinh đối với các mơn học khác và tốn học ứng dựng trong thực tiễn.
Vỉ dụ 2.3. Vi khuẩn E.coli sinh sản theo kiểu phân đôi tế bào với thời
gian thế hệ 20 phút. Giả sử ràng số vi khuẩn không bị chết trong q trình nhân đơi.
Với số lượng tế bào trong quần thể lúc đầu có được là 1 tế bào. Em hãy tra lời các câu hỏi sau đây:
Số lượng tế bào trong quần thể thu được là bao nhiêu sau những khoảng thời gian t tính từ lúc số tế bào có trong quần thể là 1 tế bào?
Thời gian t (phút) 20 40 60 80 100 120
Sô lượng tê bào thu được
Lời giải
Giai đoạn 1: Tốn học hóa
Sổ tế bào cần tìm được lập luận và chuyển sang việc chia tỷ lệ giữa các khoảng thời gian như sau
Khoảng thời gian t (phút)
Sô lân phân đơi tê bào (tính từ thời điểm một tế bào ban đầu)
Sô lượng tê bào thu được sau khoảng thời gian t 20 1 1.2 = 2 40 2 1.2.2 = 4 60 3 1.2.2.2 = 8 80 4 1.2.2...2 = 25 = 32 5 100 5 1.2.2...2 = 25 = 32 5 . . . . . . . . . 20k k e Z \ k > \ k 1.2.2...2 = 2k k 72
Từ bảng thông kê một số trường hợp cụ thể nêu trên, có một quy luật được thiết lập trong tình huổng này như sau: khi thời gian t tỉ lệ với phân đôi của tế bào, giả sử t - 20k k e Z;£ > 1 thì k chính là số lần phân đôi của tế
bào tính từ sổ lượng tế bào ban đầu trong quần, với tình huống này là tính từ thời điểm có 1 tế bào. Nếu t = 20k k e Z i \ k > 1 thì số tế bào nhận được sau
khoảng thời gian t là 1.2.2...2 = 2* (tế bào).
k
Giai đoạn 2: Giải bài toán
T a đ ặ t t = 20k k ^ 7 j \ k > 1 =>& = — fe N * ;/:2 0 . Khi đó ta lập được
20
mơ hình hóa tốn học dựa vào hàm sổ mũ như sau:
Gọi t là khoảng thời gian phân đôi của tế bào t e N*;/':20 . Khi đó, số lượng tế bào nhận được (gọi là N) sau khoảng thời gian t cho trước được tính bởi cơng thức: N = 1.2“ =1.2* /e N * ;/:2 0 .
Học sinh áp dụng mơ hình vừa tìm được, thế giá trị t tìm được tươne ứng vào trong bảng tìm N. Ta có kết quả: Thời gian t (phút) 20 40 60 80 100 120 Sô lượng tế bào thu được 2 4 8 16 32 64
Giai đoạn 3: Hiêu và thơng dịch
Bài tốn tìm ra quy luật tăng trưởng của vi khuẩn E.coli sau thời gian phân đôi t. Công thức tìm ra số lượng tế bào thu được sau đó được biểu diễn dưới dạng hàm số mũ.
Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế
Trên thực tế, vi khuẩn E.coli phân đôi rất nhanh với số lượng lớn được biểu diễn theo công thức hàm số mũ. Từ đó, học sinh có thề tìm tịi khám phá về vấn đề biêu diễn các quy luật trong tự nhiên dưới dạng hàm số mũ hoặc phát triên trong các môn học khác.
2.2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống thực tiễn dưới dạng ngơn ngữ tốn học
2.2.3.1. Cơ sở của biện pháp
Có thê nói mơ hình hóa tốn học được hiêu là sử dụng các cơng cụ tốn học đê mơ tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ tốn học. Q trình chuyển đối giữa tình huống thực tiễn và tình huống toán học tuân theo một quy trình nhất định với những quy tắc đặc biệt để xây dựng giả thuyết tốn học để từ đó học sinh có thể dễ dàng nhìn nhận các vấn đề thực tiễn. Mơ hình hóa tốn học là một hoạt động phức tạp, chuyển đơi giữa tốn học và thực tiễn theo cả hai chiều. Do vậy, việc rèn luyện kỳ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống dưới dạng ngơn ngừ tốn học là vơ cùng cần thiết.
2.2.3.2. Cách thức thực hiện
Để thực hiện biện pháp này trong quá trình giảng dạy, giáo viên đưa vào các bài giảng củng cố, luyện tập giúp học sinh tìm hiểu về tốn học và thực tiễn. Từ đó gây được hứng thú cho học sinh đổi với mơn học này.
Ví dụ 2.4. Bài tốn lãi kép tổng quát như sau: Một người vào ngân hàng
gửi sổ tiền là Pqđồng, với lãi suất mồi kì theo hình thức lãi kép là r trong thời
gian n kì. Tính Pntổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. (Đơn vị của mồi kì có thể là năm, q, tháng, ngày).
Lời giải
Giai đoạn 1 (Tốn học hóa):
Gọi sổ tiền người đó gửi ngân hàng là Po (đồng)
Lãi suất mỗi kì theo hình thức lãi kép là r, trong thời gian n kì. Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì là Pn (đồng).
Ta có:
+Ở cuối kì thứ nhất tiền lãi nhận được là Pữr và tổng giá trị đạt được
(vốn và lãi) cuối kì thứ nhất là /Ị = Pữ + PQr - P0 1 + r
+Do lãi nhập vốn đến cuối kì thứ hai tiền lãi nhận được là P\V và tổng giá
trị đạt được cuối kì thứ hai là P2 = Px + Pxr = Px 1 + r = P0 1 + r ỉ + r =P0 1 +r 2 +Một cách tổng quát, ta xây dựng được tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì là p = Pữ 1 + r "
Giai đoạn 2: Giải bài toán
Gọi số tiền người đó gửi ngân hàng là p 0 (đồng).
Lãi suất mồi kì theo hình thức lãi kép là r, trong thời gian n kì. Tồng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì là p„ (đồng).
Ta có bảng sau: Sau kì
thứ k
Sơ tiên lãi sau
mỗi kì Tổng giá trị đạt được sau mỗi kì
k =1 II
p\ = pữ + pữr = pữ ì + r
k = 2 II s P2 = Px+ Pxr = Px 1 + r = P0 \ + r 1 + r = P0 1 + r 2
...
k = n =^0 II II t—ầ + >í
Giai đoạn 3 Hiêu và thơng dịch
Bài tốn ỉãi kép tống quát như sau: Một người vào ngân hàng gửi số tiền là ^ 0 đồng, với lãi suất mỗi kì theo hình thức lãi kép là r trong thời gian n
kì. Ta đi tìm Pntống giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. Bài tốn lãi kép xây dựng tông giá trị đạt được bao gồm vốn và lãi theo hàm số mũ.
Giai đoạn 4: Đổi chiếu thực tế
Trên thực tế, bài toán này được tổng qt hóa đưa về các thuật tốn mà chúng ta ít phải sử dụng trong cuộc sống. Song, bài tốn này có liên hệ với thực tiễn giúp học sinh tìm tịi và khám phá kiến thức hàm số mũ để áp dụng vào thực tế.
Kết luận chuong 2
Trong chương 2, luận văn đã đưa ra một số biện pháp thiết phát triên năng lực mơ hình hóa tốn học của học sinh thơng qua dạy học nội dung hàm sổ trong chương trình lớp 12. Để minh họa và gợi ý GV sử dụng các biện pháp, chúng em đã thiết kế một sổ tình huống dạy học nội dung hàm số ở trường THPT bằng phương pháp mơ hình hóa tốn học theo hướng: đảm bảo sự phù hợp với mục tiêu, nội dung, chuẩn kiến thức, kỹ năng của chương trình mơn tốn, chú trọng đến việc hình thành kiến thức cho HS thông qua các hoạt động trải nghiệm. Qua đó HS khơng chỉ hiêu được kiến thức mà còn nhận thấy được ứng dụng của Toán học trong đời sống, tạo cho HS niềm đam mê và hứng thú học tập mơn Tốn.
CHƯƠNG 3: THỤC NGHIỆM s ư PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm SU’ phạm
Đánh giá tính khả thi, phù hợp và hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuât. Đồng thời đánh giá sự hứng thú trong học tập và khả năng phát triên năng lực của học sinh.
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm SU’ phạm
- Biên soạn tài liệu theo hướng phát triên mơ hình hóa tốn học trong dạy học nội dung hàm số với từng tiết học cụ thể. Tài liệu được trình bày dưới dạng kế hoạch bài dạy.
- Chọn lớp dạy thực nghiệm và iớp đối chứng; tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết.
- Đánh giá kết quả thực nghiệm theo góc độ: chất lượng, hiệu quả và khả thi của việc xây dựng phương pháp dạy học phát triên năng lực mơ hình tốn học thơng qua dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 12.
- Phân tích và xử lý kết quả của thực nghiệm.
3.3. Phưong pháp thục nghiệm sư phạm
3.2.1. Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm
- Thời gian thực nghiệm sư phạm: từ ngày 27/11/2019 đến ngày 07/12/2019
- Học sinh ở các lớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm và đối chứng ở hai lớp 12 Trường THPT Vân Cốc, huyện Phúc Thọ, Hà Nội.
+ Lóp thực nghiệm 12A6 (38 HS) do tác giả luận văn giảng dạy + Lớp đối chứng 12A8 (40 HS) do tác giả luận văn giảng dạy.
3.2.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm
- Trong thời gian thực nghiệm tại trường phô thông thực hành sư phạm,
em đã tiến hành thực nghiệm dạy học phát triến mơ hình hóa với chủ đề hàm số mũ.
- Đánh giá tính hiệu quả và tính khả thi cua dạy học phát triên năng lực mơ hình hóa cho học sinh thơng qua nội dung hàm số lớp 12.
+ Giới thiệu về mơ hình hóa tốn học cho HS;
+ Tô chức H S thực hiện các hoạt động theo kịch ban dạy học đã thiết kế;
tập trung vào việc cho học sinh giải một số bài bài tốn có nội dung thực
tiễn, tập dượt xử lý một sổ tình huống thực tế bằng mơ hình hóa tốn học.
+ Theo dõi quan sát học sinh về khả năng thực hiện các hoạt động mơ
hình hóa;
+ Kiểm tra khả năng mơ hình hóa thơng qua phiếu hỏi, bài kiểm tra viết. Sau khi thu về kết quả bài kiểm tra đánh giá, tiến hành xử lý kết quả thực nghiệm.
3.2.3. N ội dung kiểm tra đánh giá