Trong phần này, tác giả biên dịch các bài nghiên cứu của các tác giả được nêu ra dưới đây liên quan đến những ý tưởng xây dựng mơ hình TVAR, và tác giả trình bày tổng hợp lại như là nền tảng lý thuyết của mơ hình TVAR trong bài nghiên cứu này:
- Ana Beatriz C. Galvão, 2003. Multivariate Threshold Model: TVARs and TVECMs. Brazilian Review of Econometrics.
- Gary Koop, M. Hashem Pesaran, Simon M. Potter, 1996. Impulse response analysis in nonlinear multivariate models. Journal of Econometrics.
- Matthieu Stigler, 2014 . Packages tsDyn version 9.4.1.
- Julia Schimidt, 2013. Country Risk Premia, Endogenous Collateral Constraints and Non- linearities: A Threshold VAR Approach. Working Paper.
1.3.1. Tính phi tuyến tính
Julia Schimidt (2013) cho rằng hầu hết các nghiên cứu chuỗi thời gian đều tin tưởng vào các mơ hình tuyến tính khơng đạt được các ảnh hưởng chắc chắn nếu các ảnh hưởng này chỉ cụ thể hóa trong các trường hợp riêng biệt. Tính phi tuyến có thể là một trong những nguyên nhân tại sao các mơ hình tuyến tính đơi khi thất bại trong việc nắm bắt các ảnh hưởng mà các ảnh hưởng này đã được giải thích một cách thuyết phục trong các bài viết lý thuyết. Kết quả tất yếu là áp dụng các mơ hình lý thuyết mà xấp xỉ bậc cao và các giải pháp toàn bộ đã được sử dụng tăng lên để giải thích các năng động quan trọng mà chúng bị bỏ qua trong mơ hình tuyến tính, xấp xỉ bậc nhất. Hay nói cách khác, tính phi tuyến được đề cao trong việc định
Các kích thước của tính phi tuyến là: thứ nhất là tính khơng cân xứng (disproportionality) của các cú sốc khi đề cập đến các cú sốc của các chiều hướng khác nhau, sự thiếu đối xứng (asymmetry) của các cú sốc có độ lớn khác nhau, và các điều kiện ban đầu phụ thuộc vào các chế độ được xem xét. Đây là các kích thước được đề cập trong hai câu hỏi chính của mơ hình phi tuyến tính, một khi hệ thống bị định rõ bởi các đặc điểm phi tuyến tính. Một là, người ta có thể nghiên cứu sự khác biệt trong đặc điểm của các cú sốc. Về khía cạnh này, các cú sốc khác nhau có thể ảnh hưởng đến các biến vĩ mơ một cách khơng cân xứng. Các cú sốc có thể khác biệt đối với vấn đề hướng của chúng (các cú sốc tích cực và tiêu cực) cũng như kích cỡ của chúng (các cú sốc nhỏ và lớn). Hai là, tính phi tuyến tính có thể tăng lên bởi vì các khác biệt trong các điều kiện ban đầu phụ thuộc vào các chế độ được nghiên cứu đến.
1.3.2. Quá trình tạo ra dữ liệu đúng trong mơ hình VARs : tại sao vấn đề tính phi tuyến tính
Phân tích phản ứng xung là một cơng cụ được sử dụng một cách rộng rãi trong kinh tế vĩ mô để đánh giá các phản ứng năng động tới các cú sốc ngoại sinh. Các hàm phản ứng xung (IRFs) về bản chất là các dự báo phản ứng lại thực tế, độ chính xác của chúng được tiên đốn suy giảm khi phương ngang dự báo tăng lên. Hầu hết VARs giả sử cấu trúc của hệ thống đa biến là tuyến tính. Như Jordà (2005) đã chỉ ra câu hỏi quyết định là: nếu VAR (tuyến tính) là xấp xỉ thích hợp của q trình tạo ra dữ liệu đúng (DGP) và nếu đây không phải là trường hợp, sự chỉ rõ nhầm lẫn sẽ tạo ra các dự báo khơng chính xác và các kết quả từ phân tích IRF sẽ do đó ít sử dụng.
Julia Schimidt (2013) lập luận rằng khi giải thích VAR chuẩn như một sự xấp xỉ của quá trình tạo ra dữ liệu đúng, người ta có thể định nghĩa IRF theo cách như đã biết đến. Loại bỏ chỉ số thời gian để đơn giản hóa ký hiệu và định nghĩa Y là một véc tơ của tất cả các độ trễ của các biến trong hệ thống VAR cũng như các tham số tương ứng, một dự báo từng bước về phía trước theo sau một cú sốc đối với yi được định nghĩa như sau:
f(Y,yi0+i) = f(Y,yi0) + i f(Y,yi0)
Thành phần cuối có thể được giải thích như là dự báo phương ngang đầu tiên phù hợp với IRF. Kích cỡ và hướng của cú sốc i cung cấp với tỷ lệ nghiêm ngặt vào hệ thống nếu hình dạng hàm số của f trong yi là tuyến tính. Vì lý do này mà khơng có sự khác biệt giữa các độ lớn và các hướng khác nhau của các cú sốc điều đó có nghĩa là có sự định rõ tính đối xứng trong VARs tuyến tính chuẩn. Quan trọng hơn, bất kể khi f là phi tuyến tính, đạo hàm bậc nhất của nó phụ thuộc vào giá trị yi0. Điều này chỉ ra rằng các điều kiện ban đầu là chìa khóa đối với sự lan truyền của các cú sốc bất kể khi các năng động tiềm tàng là phi tuyến tính. Sự tác động của các cú sốc tự nhiên là độ lớn, hướng hoặc cả hai của chúng, cụ thể hóa điều kiện lên chế độ, yi0
, mà ở đó các cú sốc tác động đến. Đặt vào một cách khác biệt, các điều kiện ban đầu đảm nhận như là một cơ chế khếch đại ( hoặc làm yếu đi) của các cú sốc. Hiểu theo một cách thông thường, vấn đề các điều kiện ban đầu phụ thuộc vào các chế độ được xem xét ở thứ tự đầu tiên. Như là một hệ quả, các điều kiện ban đầu chi phối tới những gì mở rộng các cú sốc có kích cỡ hoặc chiều hướng khác nhau tạo ra tính phi tuyến tính. Tính phi tuyến VARs là cơng cụ nắm bắt điều kiện này.
1.3.3. Mơ hình véc tơ tự hồi quy ngƣỡng TVAR 1.3.3.1. Định nghĩa mơ hình TVAR
Ana Beatriz C. Galvão (2003) xem xét các mơ hình véc tơ tự hồi quy ngưỡng có các ngưỡng được xác định bởi một biến quan sát hay còn gọi là biến ngưỡng hoặc biến chuyển đổi t-d và bởi hàm số chuyển đổi F(t-d). Giả sử rằng:
- yt là một véc tơ Kx1 của các biến nội sinh yt = (y1t ,......, yKt)’
- c là 1 một véc tơ Kx1 của các hằng số.
- Ai,j là ma trận KxK của các hệ số của chế độ i và độ trễ j.
- s là số chế độ với các tham số tự hồi quy khác nhau với i = 1, 2,..., s.
- p là bậc tự hồi quy với j = 1, 2,...., p Một TVAR ngưỡng được viết như sau:
- t,i là một véc tơ Kx1 của quá trình cải thiện với trung bình bằng 0, phương sai bằng và E(tl’) = 0 với l ≠ t.
- r và d lần lượt là giá trị ngưỡng và tham số độ trễ của biến chuyển đổi (hay còn gọi biến ngưỡng).
- Biến chuyển đổi là một trong số biến trong véc tơ yt. Mơ hình đa biến phi tuyến tính này giả định rằng p là giống nhau cho mỗi biến và chế độ, và hàm chuyển đổi cũng giống nhau cho mỗi biểu thức.
Một VAR ngưỡng với hai chế độ (regime) (tương ứng với 1 giá trị ngưỡng của biến ngưỡng) được viết như sau:
yt = (c1 + A1,1yt-1+......+ A1,pyt-p) (I(t-d ≤ r)) + (c2 + A2,1yt-1+......+ A2,pyt-p) (1-I(t-d ≤ r)) +t
Ở đây I(.) là một hàm số chỉ số, bằng 1 khi t-d ≤ r và bằng 0 khi t-d > r. Hoặc có thể thể hiện dưới hình thức khác:
yt = (c1 + A1,1yt-1+......+ A1,pyt-p+1t) nếu t-d ≤ r = (c2 + A2,1yt-1+......+ A2,pyt-p+2t) nếu t-d > r Hoặc:
Yt = C1 + 1(L) Yt + 1t + (C2 + 2(L) Yt+ 2t)I(t-d> r )
Một VAR ngưỡng với ba chế độ (regime) ) (tương ứng với 2 giá trị ngưỡng của biến ngưỡng) được viết như sau:
yt = (c1 + A1,1yt-1+......+ A1,pyt-p) (I1(t-d ≤ r1)) +
(c2 + A2,1yt-1+......+ A2,pyt-p) (1-I1(t-d ≤ r1)) I2(t-d ≤ r2) + (c3 + A3,1yt-1+......+ A3,pyt-p) (1-I2(t-d ≤ r2)) +t
Hoặc có thể thể hiện dưới hình thức khác:
yt = (c1 + A1,1yt-1+......+ A1,pyt-p+1t) nếu t-d ≤ r1 = (c2 + A2,1yt-1+......+ A2,pyt-p+2t) nếu r1< t-d ≤ r2 = (c3 + A3,1yt-1+......+ A3,pyt-p+3t) nếu r2< t-d
Khơng có quy tắc chung thống nhất trong các hình thức thể hiện của mơ hình TVAR mà tùy thuộc vào mục đích của người nghiên cứu muốn trình bày.
1.3.3.2. Ƣớc lƣợng mơ hình TVAR
Giả sử rằng Yk = (yk1 ,......, ykT) là một véc tơ của biến nội sinh thứ k của mẫu kích cỡ T, k = (k1 ,......, kT) là một véc tơ của các phần dư của biểu thức của biến nội suy thứ k, Xi,t-1 = (1,yt-1,......, yt-p) là ma trận của các biến giải thích tại thời điểm t và cho mỗi chế độ với các tham số tự hồi quy khác nhau, vì vậy cho tất cả chế độ i=1,...,s, Xit-1 = (X1,t-1,......, Xs,t-1) là một ma trận (1x(skp+s)), tương tự cho toàn bộ mẫu ma trận của các biến giải thích là X = (X0,......,XT-1).Véc tơ của các tham số của biểu thức thứ k là k = (k,L, k,NL)’, ở đây k,L là véc tơ ((sKp+s)x1)của các hằng số và các tham số tự hồi quy và k,NL là một véc tơ của các tham số của hàm số phi tuyến tính. Trong mơ hình TVAR hai chế độ, ví dụ k,NL = [d,rk]. Lưu ý rằng bởi vì
sự biểu diễn VAR, véc tơ của các tham số trong hàm số chuyển đổi là giống nhau cho mỗi biểu thức, đó là, l, NL = m, NL cho tất cả l, m=1,...,K. Do đó, VAR phi tuyến tính được viết như sau:
Ở đây, mi(.) là hàm số phi tuyến tính của X và i , mi(.) là một véc tơ (Tx1). Hệ thống được véc tơ hóa để được viết trong một hình thức rút gọn như sau:
y=m(x,)+u
Ở đây y, m(x,) và u là các véc tơ (TKx1), x là ma trận (TKx(sKp+s)) và = (1,... k)’.
Vì vậy, ma trận hiệp phương sai của các phần dư , hàm số tổng của các phần dư bình phương là:
Điều kiện trên các tham số của các hàm chuyển đổi NL = (1,NL,..., K,NL), vấn đề ước lượng là tuyến tính.Vì vậy, hàm số tổng của các phần dư bình phương có thể được tập trung đối với NL:
Xác định giá trị ngƣỡng:
- Giá trị ngưỡng của biến ngưỡng trong mơ hình TVAR là các giá trị ngưỡng có thể có trong một số giá trị của biến ngưỡng, mà các giá trị ngưỡng này được xác định trong phạm vi các điểm lưới do người nghiên cứu ban đầu ấn định bằng cách cắt bỏ các giá trị trên và dưới của giá trị của biến ngưỡng sao cho vẫn đủ số lượng dữ liệu phục vụ cho việc ước lượng các tham số tự hồi quy theo phương pháp bình phương bé nhất được chính xác. Cho đến nay, khơng có chỉ dẫn tổng qt nào trong việc lựa chọn tối ưu số điểm lưới, thơng thường thì phụ thuộc số lượng quan sát trong mẫu và người ta thường chọn 15% các quan sát (như trong Hansen (1996)) hoặc 10% các quan sát (như trong Hansen (2000b) và Hansen và Seo (2002)).
- Giá trị ngưỡng của biến ngưỡng trong nghiên cứu thực nghiệm được xác định thông qua một số cách như sau:
Cách 1: Ana Beatriz C. Galvão ( 2003) ước lượng bình phương bé nhất cho mỗi giá trị ngưỡng có thể có trong phạm vi điểm lưới sau đó, tính lần lượt các giá trị det(̂ ) và chọn giá trị ngưỡng thỏa mãn:
Ở đây ̂ được tính tốn bằng 1/T tt’. Điều này tương đương với ước lượng lớn nhất likelihood trong giả thuyết rằng các phần dư được phân phối chuẩn (Gallant,1987).
Cách 2: Matthieu Stigler (2014) ước lượng bình phương bé nhất cho mỗi giá trị ngưỡng có thể có trong phạm vi điểm lưới, sau đó tính lần lượt tổng các bình phương của phần dư (SSR) và chọn giá trị ngưỡng thỏa mãn: SSR min.
- Julia Schimidt (2013) có những lƣu ý trong mơ hình TVAR nhƣ sau :
Trong mơ hình TVAR chấp nhận giả thuyết phương sai thay đổi qua các chế độ nếu ma trận phương sai - hiệp phương sai của các phần dư tổng thể được lấy từ các cú sốc (hoặc từ các sai số ở hình thức rút gọn hoặc là các sai số cấu trúc). Tuy nhiên đây là một giả thuyết lớn trong trường hợp của các mơ hình chế độ- chuyển đổi và làm phức tạp sự định rõ mối tương quan cấu trúc của các cú sốc trong các hệ thống đa biến. Mơ hình đa biến sẽ nhiều hoặc ít bởi việc xây dựng từ các sai số và vì vậy các mối quan hệ đương thời của các cú sốc cư xử khác biệt trong các chế độ. Vì vậy, có thể ước lượng các mối quan hệ đương thời cho mỗi chế độ một cách tách biệt.
Mơ hình TVARs có thể được phân loại như là một trường hợp đặc biệt của nhiều mơ hình chế độ - chuyển đổi tổng quát như là Markov - switching VARs (MSVARs). Các mơ hình chế độ gắn liền với sự chuyển đổi thường áp đặt các chuyển đổi ngoại sinh. Theo như cơng trình nghiên cứu của Hamilton (1989), các mơ hình chế độ gắn liền với sự chuyển đổi đã được áp dụng hầu hết để nhận ra các thời kì suy thối và bùng nổ. Tuy nhiên, giả thuyết rằng trạng thái ẩn (tiềm tàng) là ngoại sinh là hồn tồn khơng thực tế trong một phạm vi chu kì kinh doanh mà ở đó các di chuyển nội sinh được mong đợi dẫn dắt các chuyển đổi gắn liền với chế độ. Vì thế, các mơ hình chuyển đổi nội sinh có thể chính xác hơn nhiều để nắm bắt nếu các năng động phi tuyến tính, dường như đây là trường hợp mà các chế độ gắn liền với sự diễn ra phân đôi, chẳng hạn “ tốt” và “xấu”, và các trạng thái của nền kinh tế. Trong MSVARs, một cách tổng quát, biến trạng thái khơng bị quan sát. Vì thế, MSVARs cho phép khơng xét đến tính kiểm sốt của q trình cơ bản chế độ gắn liền với sự chuyển đổi như là biến (các biến) mà điều này khiến cho chế độ gắn liền với sự chuyển đổi có thể khơng được định rõ. Trái ngược lại, mơ hình TVARs có sự định rõ ràng q trình các chế độ gắn liền với sự chuyển đổi nội sinh mà đó là lý do tại sao chúng cũng được mô tả như là”self-exciting” (“ tự kích thích”). Do đó, TVARs có thể được xem xét như là một hình thức của MSVARs với chuyển đổi nội sinh mà ở đây cấu trúc xác suất được mơ hình hóa một cách đơn giản. TVARs có
lợi thế là chế độ gắn liền với sự chuyển đổi dễ kiểm soát, nhưng cũng yêu cầu sự chọn lựa biến ngưỡng để nội suy chế độ gắn liền với sự chuyển đổi.
Các mơ hình chế độ gắn liền với sự chuyển đổi đã được áp dụng rộng rãi trong các thị trường tài chính dễ bị những thay đổi đột ngột trong các đặc trưng thống kê cơ bản tương ứng các chuỗi thời gian (xem thêm Ang và Timmermann, 2011).
Kiểm tra tính tuyến tính:
- Kiểm tra tính tuyến tính với VAR (p) trong giả thuyết không và TVAR (p) trong các hàm ý thay thế các tham số gây phiền tối mà chúng khơng được định rõ trong giả thuyết không NL. Trong trường hợp này, phân phối của sự kiểm tra là không chuẩn và không tương tự, Hansen (1996) giải quyết vấn đề này bằng việc đề xuất một sự chuyển đổi để tính tốn phân phối tiệm cận sử dụng mô phỏng, dựa vào phân phối là dữ liệu-phụ thuộc. Phân phối không chuẩn thu được từ một thống kê bằng với cận trên đúng của một bộ thống kê Wald đã tính tốn cho mỗi giá trị ngưỡng cho phép [rL,rU].
- Cụ thể, việc kiểm tra bao gồm sự tính tốn supr[rL, rU] W(r), có phân phối phụ thuộc vào các mô - men của ma trận của các biến trễ giải thích và phụ thuộc vào hàm số ngẫu nhiên với mệnh đề giá trị ngưỡng r. Nếu các giá trị ngưỡng được biết đến, phân phối thống kê sẽ là chi-bình phương. Với điều kiện là các giá trị ngưỡng không được biết đến, phân phối tiệm cận và p-value chính xác có thể được tính tốn bằng việc sử dụng q trình mơ phỏng để xây dựng hàm số ngẫu nhiên. Hansen (2000b) cũng mơ tả một thuật tốn có thể được sử dụng để tính tốn xấp xỉ sự tự khởi động (bootstrap) của phân phối này. Thuật toán bao gồm dữ liệu mô phỏng bằng việc sử dụng sự tự khởi động (bootstrap) từ các phần dư của mơ hình trong giả thiết khơng (tuyến tính) và sau đó sử dụng dữ liệu này để ước lượng mô hình ngưỡng và tính tốn thống kê supWald. Cả hai quy trình có thể chính xác để xem
xét đến phương sai thay đổi trong các phần dư của giả thuyết không.
- Một kiểm tra tính tuyến tính tương tự được đề nghị bởi Tsay (1998) mà ở đây là một véc tơ mở rộng của kiểm tra Tsay (1989) cho tính phi tuyến tính dựa trên một
“hồi quy được sắp xếp” (“arranged regression”). Vấn đề trong kiểm tra ngưỡng trở thành vấn đề trong kiểm tra một sự thay đổi-điểm. Không giống như likelihood - các phương pháp cơ bản mà dựa vào các giá trị tới hạn được mơ phỏng, kiểm tra có phân phối chi-bình phương tiệm cận. Hồi quy được sắp xếp sắp đặt các quan sát tùy