1) 𝑥∈ 𝑃1 𝑥;
3.2. Bài toán tựa tối ƣu loại ha
Trong mục này ta vẫn giả thiết X và Y là những không gian tôpô tuyến tính, 𝐷 ⊂ 𝑋, 𝐾 ⊂ 𝑌 là các tập con khác rỗng. Ta có định nghĩa sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định nghĩa 3.2.1. Cho ánh xạ đa trị 𝑇: 𝐷 × 𝐾 → 2𝐾 và hàm số 𝐹: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑌. Ánh xạ T được gọi là F – tựa đơn điệu trong K nếu với 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐷 và 𝑥 ∈ 𝑐𝑜 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , đều tồn tại 𝑖 ∈ 1,2, … , 𝑛 sao cho 𝐹 𝑦, 𝑥𝑖, 𝑥 ≥ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 , ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥𝑖, 𝑥 .
Cho các ánh xạ đa trị 𝑃1: 𝐷 → 2𝐷, 𝑃2: 𝐷 → 2𝐷. Bài toán: tìm 𝑥 ∈ 𝐷 sao cho
(i) 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ;
(ii) 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑥 ≤ 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑥 , với mọi 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑃2 𝑥 ;
được gọi là bài toán tựa tối ưu loại II (kí hiệu là 𝐺𝑉𝑄𝑂𝑃 𝐼𝐼), điểm 𝑥 được gọi là nghiệm.
Ở phần tiếp theo, ta đưa ra điều kiện để bài toán tựa tối ưu loại II có nghiệm. Các chứng minh trong phần này sử dụng kết quả của định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị sau:
Định lý 3.2.2. Cho X là không gian tôpô tuyến tính, tập 𝐷 ≠ ∅, 𝐷 ⊂ 𝑋. Nếu
ánh xạ đa trị 𝑃: 𝐷 → 2𝐷 thỏa mãn 𝐷 = 𝑥∈𝐷𝑖𝑛𝑡 𝑃−1(𝑥) thì tồn tại 𝑥 ∈ 𝐷
sao cho 𝑥 ∈ 𝑐𝑜 𝑃 𝑥 .
Ta có định lý:
Định lý 3.2.3.Cho 𝐷, 𝐾, 𝑃1, 𝑃2, 𝑇, 𝐹 như trên, hơn nữa giả thiết thêm rằng: (i) D là tập lồi khác rỗng và compact;
(ii) 𝑃2(𝑥) ≠ ∅ và 𝑃2−1 𝑥 là mở ∀𝑥 ∈ 𝐷;
(iii) 𝑃1 là ánh xạ đóng và 𝑐𝑜 𝑃2 𝑥 ⊂ 𝑃1 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷;
(iv) T là F – tựa đơn điệu và nửa liên tục dưới;
(v) F là nửa liên tục trên với biến thứ nhất và biến thứ ba và hàm số
𝑓: 𝐾 × 𝐷 → 𝑅 được định nghĩa: 𝑓: 𝑦, 𝑥 = 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 là nửa liên tục dưới. Khi đó, tồn tại 𝑥 ∈ 𝐷 sao cho 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 , và 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑥 ≥ 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑃2 𝑥 𝑣à 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑥 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chứng minh. Ta định nghĩa các ánh xạ 𝑆: 𝐷 → 2𝐷 như sau:
𝑆 𝑥 = 𝑥′ ∈ 𝐷 𝐹 𝑦, 𝑥′, 𝑥 < 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 , với 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥′ 𝑥) nào đó . Ta nhận thấy rằng, nếu tồn tại 𝑥0 ∈ 𝐷, 𝑥0 ∈ 𝑃1 𝑥0 và
𝑆 𝑥0 ∩ 𝑃2 𝑥0 = ∅ 3.1
thì khi đó 𝑥0 là nghiệm của bài toán. Điều ngược lại cũng đúng. Do đó, ta chỉ cần chứng minh tồn tại điểm 𝑥0 ∈ 𝐷 với 𝑥0 ∈ 𝑃1 𝑥0 thỏa mãn (3.1).
Thật vậy, giả thiết phản chứng rằng, ∀𝑥 ∈ 𝐷 mà 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 , ta luôn có 𝑆 𝑥 ∩ 𝑃2 𝑥 ≠ ∅.
Xét ánh xạ đa trị: 𝑄: 𝐷 → 2𝐷 được định nghĩa như sau: 𝑄 𝑥 = 𝑃𝑆 𝑥 ∩ 𝑃2 𝑥 , khi 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ; 2 𝑥 , khi 𝑥 ∉ 𝑃1 𝑥 . Vì 𝑄 𝑥 ≠ ∅, ∀𝑥 ∈ 𝐷 nên ta có: 𝐷 = 𝑄−1 𝑥 𝑥∈𝑄 . Mặt khác, với 𝑥 ∈ 𝐷, 𝑄−1 𝑥 = 𝑆−1 𝑥 ∩ 𝑃2−1 𝑥 ∩ 𝐷0 ∩ 𝑃2−1 𝑥 ∩ 𝐷\𝐷0 , với 𝐷0 = 𝑥 ∈ 𝐷: 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 . Vì 𝑃1 là ánh xạ đóng, ta dễ dàng suy ra 𝐷0 là tập đóng, do vậy, 𝐷\𝐷0 là tập mở. Suy ra 𝑃2−1 𝑥 ∩ 𝐷\𝐷0 là tập mở. Tiếp theo, ta cũng chỉ ra rằng, ∀𝑥 ∈ 𝐷, tập 𝑆−1 𝑥 cũng là tập mở. Ta có:
𝐷\𝑆−1 𝑥 = 𝑥′ ∈ 𝐷 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 − 𝐹 𝑦, 𝑥′, 𝑥 ≥ 0, ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑥′ .
Cho {𝑥𝑛} ∈ 𝐷\𝑆−1 𝑥 là một dãy suy rộng hội tụ đến 𝑥0. Vì ánh xạ T là nửa liên tục dưới, nên với mọi 𝑦 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑥0) tồn tại dãy suy rộng 𝑦𝑛 , 𝑣ớ𝑖 𝑦𝑛 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ⟶ 𝑦. Ta có
𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥0 − 𝐹 𝑦, 𝑥0, 𝑥0 ≥ 𝑙𝑖𝑚
𝑛 (𝐹(𝑦𝑛, 𝑥, 𝑥𝑛) − 𝐹 𝑦𝑛, 𝑥𝑛, 𝑥𝑛 ) ≥ 0. Điều này chứng tỏ 𝑥0 ∈ 𝐷\𝑆−1 𝑥 và do đó 𝐷\𝑆−1 𝑥 là tập đóng. Vậy 𝑆−1 𝑥 là tập mở trong D, suy ra, 𝑄−1 𝑥 cũng là tập mở. Theo định lý 3.2.2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
thì tồn tại 𝑥0 ∈ 𝐷 sao cho 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜 𝑄 𝑥0 . Rõ ràng, 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜(𝑃2 𝑥0 ⊂ 𝑃1 𝑥0 . Nên theo định nghĩa của ánh xạ Q, ta có:
𝑥0 ∈ 𝑐𝑜 𝑆 𝑥0 ∩ 𝑃2 𝑥0 ⊂ 𝑐𝑜 𝑆 𝑥0 ∩ 𝑐𝑜 𝑃2 𝑥0 ,
suy ra, 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜 𝑆 𝑥0 . Từ đó, suy ra tồn tại 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑆 𝑥0 sao cho 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 . Từ định nghĩa của ánh xạ đa trị S, suy ra sự tồn tại các 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥0, 𝑥 sao cho 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥0 − 𝐹 𝑦, 𝑥0, 𝑥0 < 0. Điều này mâu thuẫn với tính F – tựa đơn điệu của T.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
KẾT LUẬN
Chương 1 của luận văn đưa ra một số khái niệm liên quan như không gian thường dùng: không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tuyến tính lồi địa phương Haussdorff; nón và các khái niệm liên quan; ánh xạ đa trị và tính liên tục của ánh xạ đa trị; điểm bất động của ánh xạ đa trị; tính KKM. Chương 2 là trọng tâm của luân văn, trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và điều kiện nghiệm của bài toán và một số bài toán liên quan như bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán tựa cân bằng. Chương 3 nói về ứng dụng của bài toán tựa cân bằng vào trong bài toán tựa cân bằng vô hướng và bài toán tựa tối ưu loại II.
Các kết quả của luận văn cũng có thể mở rộng cho các bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và mở ra một hướng nghiên cứu mới cho các luận văn sau này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn