1) 𝑥∈ 𝑃1 𝑥;
2.3.1. Bao hàm thức tựa biến phân
Cho các ánh xạ đa trị 𝐺, 𝐻 : K × D × D → 2Y
. Trong phần này ta xét sự tồn tại nghiệm của các bài toán sau:
1.Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại II ( kí hiệu ( UIQVIP)II).
Tìm 𝑥 ∈ 𝐷 sao cho𝑥 ∊ P1( 𝑥 ) và
𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥 , 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 , ∀𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 và 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 . 2. Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng dưới loại II (kí hiệu 𝐿𝐼𝑄𝑉𝐼𝑃 𝐼𝐼) . Tìm 𝑥 ∈ 𝐷 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑜 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ,
𝐻 𝑦, 𝑥 , 𝑥 ⊆ 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 − 𝐶 𝑦, 𝑥 , ∀𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 và 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 .
Các bài toán trên là dạng mở rộng của các bài toán đã nghiên cứu trong [4].
Hệ quả 2.3.1. Giả sử 𝐷, 𝐾, 𝑃1, 𝑃2 𝑣à 𝑄 𝑥á𝑐 đị𝑛 𝑛ư 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đị𝑛 𝑙ý 2.2.2. Cho G, H là các ánh xạ có giá trị compact và 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 , 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐾 × 𝐷. 𝐶: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 là ánh xạ nón nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Giả thiết rằng:
(i) Với mỗi điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, ánh xạ 𝐺 . , . , 𝑡 : 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌là (-C) – liên tục dưới, ánh xạ, 𝑁: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 định nghĩa bởi 𝑁 𝑦, 𝑥 = 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 là C – liên tục trên;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi đó bài toán ( UIQVIP)II có nghiệm.
Chứng minh. Định nghĩa các ánh xạ 𝑀: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑋, 𝐹: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝐷
như sau
𝑀 𝑦, 𝑥 = 𝑡 ∈ 𝐷 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 , với 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐾 × 𝐷, 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡 = 𝑡 − 𝑀 𝑦, 𝑥 , với 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷.
Với mỗi điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, đặt
𝐴 = 𝑥 ∈ 𝐷 0 ∈ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡 , ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡 . Khi đó
𝐴 = 𝑥 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ 𝑀 𝑦, 𝑥 , ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡
= 𝑥 ∈ 𝐷 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 , ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡 .
Ta sẽ chỉ ra rằng A đóng trong D. Thật vậy, giả sử dãy 𝑥𝛼 ⊂ 𝐴 và 𝑥𝛼 ⟶ 𝑥. Lấy tùy ý điểm 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡 . Do 𝑄 . , 𝑡 là ánh xạ nửa liên tục dưới và 𝑥𝛼 ⟶ 𝑥, nên tồn tại dãy 𝑦𝛼 , 𝑦𝛼 ∈ 𝑄 𝑥𝛼, 𝑡 sao cho 𝑦𝛼 ⟶ 𝑦. Tính (-C) – liên tục dưới của ánh xạ 𝐺 . , . , 𝑡 , tính C – liên tục trên của H và tính nửa liên tục trên của C, kéo theo với mỗi lân cận V của điểm gốc trong Y, tồn tại chỉ số 𝛼0 sao cho ∀𝛼 ≤ 𝛼0 thỏa mãn 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐺 𝑦𝛼, 𝑥𝛼, 𝑡 + 𝑉 + 𝐶 𝑦, 𝑥 ⊆ 𝐻 𝑦𝛼, 𝑥𝛼, 𝑥𝛼 + 𝑉 + 𝐶 𝑦𝛼, 𝑥𝛼 + 𝐶 𝑦, 𝑥 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 3𝑉 + 𝐶 𝑦, 𝑥 . (2.1) Kết hợp (2.1) với tính compact của 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 và tính đóng của 𝐶 𝑦, 𝑥 ta suy ra 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 , do đó 𝑥 ∈ 𝐴. Điều này dẫn đến A là tập đóng trong D và tập 𝐵 = 𝐷\𝐴 = 𝑥 ∈ 𝐷 0 ∉ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡 , ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡 là tập mở trong D.
Hơn nữa, từ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 , với mỗi 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐾 × 𝐷 và 𝐺 là (Q,C) – tựa giống như lồi trên theo đường chéo theo biến thứ ba, ta suy ra với mỗi tập hữu hạn 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ⊆ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝑐𝑜 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 tồn tại chỉ số 𝑗 ∈ 1,2, … , 𝑛 sao cho 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ⊆ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 , ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Do đó 0 ∈ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 và ta có F là ánh xạ Q – KKM. Áp dụng định lý 2.2.2 tồn tại điểm 𝑥 ∈ 𝐷 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑜 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ; 0 ∈ 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 , ∀𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 , với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 . Điều này tương đương với
𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ⊆ 𝐻 𝑦, 𝑥 , 𝑥 + 𝐶 𝑦, 𝑥 , ∀𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 . Vậy hệ quả được chứng minh.
Tương tự hệ quả trên ta có sự tồn tại nghiệm của 𝐿𝐼𝑄𝑉𝐼𝑃 𝐼𝐼.
Hệ quả 2.3.2. Cho 𝐷, 𝐾, 𝑃1, 𝑃2 𝑣à 𝑄 𝑥á𝑐 đị𝑛 𝑛ư 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đị𝑛 𝑙ý 2.2.2. G, H là các ánh xạ có giá trị compact và 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥 ⊆ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 − 𝐶 𝑦, 𝑥 , với mỗi
𝑦, 𝑥 ∈ 𝐾 × 𝐷. 𝐺ọ𝑖 𝐶: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 là ánh xạ nón nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Với mỗi điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, á𝑛 𝑥ạ 𝐺 . , . , 𝑡 : 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌là (- C) – liên tục trên và ánh xạ 𝑁: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 định nghĩa bởi 𝑁 𝑦, 𝑥 = 𝐻 𝑦, 𝑥, 𝑥
là C – liên tục dưới;
(ii) G là (Q,C) – tựa giống như lồi dưới theo đường chéo theo biến thứ 3. Khi đó bài toán 𝐿𝐼𝑄𝑉𝐼𝑃 𝐼𝐼 có nghiệm.