2 Các phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski cho hệ các dạng
2.2 Phản ví dụ của Birch và Swinnerton-Dyer
Dyer
Mặt del Pezzo trơn bậc 2 trong P4 được định nghĩa bởi phương trình uv =x2−5y2 (u+v)(u+ 2v) =x2−5z2 (2.3)
là một phản ví dụ của Nguyên lý Hasse-Minskowski.
Chứng minh. Kí hiệu X là một mặt cong định nghĩa bởi phương trình (2.3). Trước tiên chúng ta sẽ chỉ ra rằng X(Qp)6= ∅ với mọi p là số nguyên tố .
p6= 2: Ta chỉ ra một trong các số −1,5,−5 là một bình phương p−adic.
Giả sử −1,5 khơng phải là bình phương trong Fp thì −1p =−1 và 5
p = −1. Suy ra −5 p = 5 p −1 p
= 1 hay −5 là một bình phương trong Fp. Tương tự với các trường hợp cịn lại, ta có một trong −1,5,−5 là một bình phương trong
Fp. Áp dụng Bổ đề Hensel cho phương trình X2−a với a∈ {−1,5,−5}, rút ra
một trong các số −1,5,−5 là một bình phương p−adic. Do đó một trong các
điểm (u: v : x: y : z) = (1 : 1 : 1 : 0 : √ −1),(10 :−10 : 5 : 5 : √5),(5 : 0 : 0 : 0 : √ −5) thuộc X(Qp). p = 2, ta có −15 ∈ (Q∗2)2 (xem [11]Thm 4, trang 8). Do đó (−25 : 5 : 0 : 2√ −15)∈ X(Q2).
Ta chứng minh hệ phương trình (2.3) chỉ có nghiệm tầm thường trong Q, do đó X(Q = ∅. Giả sử (u : v : x : y : z) ∈ X(Q). Ta có thể giả sử mv ∈ Z và (u, v) = 1. Nếu 5 |uv thì 5| xdouv = x2−5y2 và 5 |uhoặc 5| v (vì (u, v) = 1). Vì 5| x, nên 5 | (u+v)(u+ 2v). Kết hợp với 5| uv suy ra 5 |UCLN(u, v), mâu
thuẫn với UCLN(u, v) = 1. Do đó 5 -uv. Tương tự 5- (u+v)(u+ 2v).
x, y ∈Q thì bất kì số nguyên tố p≡ ±2 (mod 5) có thể chia hết n với lũy thừa chẵn. Suy ra u vàv chỉ chia hết cho lũy thừa bậc chẵn của số nguyên tốp≡ ±2
(mod 5). Do đó u ≡ ±1 (mod 5) và v ≡ ±1 (mod 5). Tương tự, (u+v) ≡ ±1
(mod 5) và (u+ 2v) ≡ ±1 (mod 5). Nhưng cả hai khẳng định trên khơng cùng
đồng thời đúng. Do đó nghiệm khơng tầm thường (u : v : x : y : z) không tồn
tại.