2 Các phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski cho hệ các dạng
2.3 Họ các phản ví dụ của W Aitken và F Lemmermeyer
2.3.2 Nghiệm modulo một số nguyên tố lẻ
Cho plà một số nguyên tố lẻ. Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm nghiệm khơng tầm thường của hệ au2+cw2 =dz2, uw =v2, (2.8)
với các giá trị của ẩn trong Fp, trong đó a, c, d∈ Fp là các phần tử khác không. Ta thay a và c bằng ad−1 và cd−1 nên ta có thể giả sử d = 1. Phương trình đầu tiên aU2 +cW2 = Z2 có thể tham số hóa theo phương pháp trình bày ở Mục 2.3.1, và chúng ta cần xác định ít nhất một trong các nghiệm đó thỏa mãn phương trình U W =V2. Để làm điều đó chúng ta cần một số bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.4. Cho f, g ∈Fp[X] là các đa thức khác không có bậc lớn nhất bằng
2. Nếu f(t)p =g(t)p với mọi t ∈Fp, hoặc nếu f(t)p =−g(t)p với mọi t∈Fp, thì f, g là liên kết.
Nhắc lại: a
p
là kí hiệu Legendre được định nghĩa như sau:
a p =
1 nếu a là một bình phương khác khơng trong Fp,
−1 nếu a là khơng là một bình phương trong Fp,
0 nếu a= 0 trong Fp.
Do p là lẻ nên −1,1,0 là các phần tử khác nhau trong Fp.
Chứng minh. Từ tiêu chuẩn Euler ta có: f(t)p−12 = g(t)p−12 với mọi t ∈ Fp, hay phương trình có p nghiệm, mà degf(t)p−12 −g(t)p−12 < p, nên f(t)p−12 −g(t)p−12 là đa thức không. Do Fp[x] là miền nhân tử hóa duy nhất nên f, g sai khác nhau một hằng số.
Tương tự, với trường hợp f(t)p−12 =−g(t)p−12 .
Khẳng định sau cho thấy hệ (2.8) có nghiệm khơng tầm thường modulo p.
Định lý 2.3.5. Cho p là một số nguyên tố lẻ, a, c, d ∈ Fp là các phần tử khác khơng. Khi đó hệ phương trình
au2+cw2 =dz2, uw =v2,
Chứng minh. Như nhận xét ở trên chúng ta có thể giả sử d = 1. Sử dụng cách tham số hóa đường conic au2+cw2 = dz2 như trong Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề 2.3.3 khẳng định sự tồn tại tham số hóa đó) suy ra tồn tại các đa thứcq1, q2, q3 ∈Fp[T], trong đó aq12+bq22 =q32. Do Char Fp 6= 2 nên q1, q2 không liên kết.
Cho q1, q2, q3 ∈Fp[T] như trong Bổ đề 2.3.1. Thế thì aq21+bq22 =q23. (Các đa thức q1, q2, q3 tồn tại do sự tồn tại của x0, y0 ∈Fp được cho trong Bổ đề 2.3.2.) Do Char Fp 6= 2 nên q1, q2 không liên kết, áp dụng Mệnh đề 2.3.6 suy ra tồn tại t ∈Fp sao cho
q1(t) p 6=−q2(t) p . (2.9) Suy ra q1(t)q2(t) p
6= −1; mặt khác q1(t)q2(t) = c2 với c ∈ Fp. Hơn nữa,
q1(t), q2(t) không đồng thời bằng 0 (vì ngược lại mâu thuẫn với (2.9). Do đó
U =q1(t), W =q2(t), Z =q3(t), V = c là một nghiệm không tầm thường).