3 Tính ổn định B và tính co
3.8 Tính tốn ϕB (x)
Để tìm giá trị lớn nhất của k∆y1k dưới sự hạn chế của (3.38). Chính xác hơn, ta xét bài tốn tối ưu hóa với ràng buộc bất đẳng thức
k∆y1k2 →max
Reh∆fi,∆gii ≤xkgik2, i= 1, ..., s.
(3.42)
Ở đây, ∆f1, ..., ∆fs được coi là các giá trị độc lập trong Cn, ∆y1 và ∆gi được định nghĩa ở (3.8), và ∆y0 được xem như một tham số. Một cách tiếp cận cổ điển để giải bài tốn tối ưu hóa (3.42) là xét các nhân tử Lagrange d1, ..., ds và xét L(∆f, D) = 1 2k∆y1k2− s P i=1 di Reh∆fi,∆gii −xkgik2 = −1 2 (∆y ∗ 0,∆f∗) α uT u W ⊗I ∆y0 ∆f , (3.43)
trong đó, ∆f = (∆f1, ...,∆fs)T, D =diag(d1, ..., ds) và
α=−1−2x111TD111 (3.44a)
u=D111−b−2xATD111 (3.44b)
W =DA+ATD−bbT −2xATDA. (3.44c)
Định lý 3.12 (Burrage và Butcher 1980). Nếu ma trận
α+ϕ2 uT
u W
nửa xác định dương (3.45)
với d1 ≥0, ..., ds ≥0 thì k∆y1k ≤ϕk∆y0k với tất cả các bài tốn thỏa mãn (3.38) với hν ≤x. Do đó, ta có ϕB(x)≤ϕ.
Chứng minh. Trừ cả hai vế của (3.43) cho ϕ
2k∆y0k2 2 ta được 1 2 k∆y1k2−ϕ2k∆y0k2− s X i=1 di Reh∆fi,∆gii −xk∆gik2≤0.
Kết quả sau đó có được do di ≥0 và Reh∆fi,∆gii ≤xk∆gik2.
Với sự trợ giúp của Định lý 3.12, Burrage và Butcher (1980) đã tính tốn cận trên đúng của ϕB(x) cho một vài phương pháp 2 nấc. Và nhận thấy rằng, với tất cả các phương pháp 2 nấc thì ϕB(x) = ϕK(x), trong đó
ϕK(x) = sup
Rez1≤x,...,Rezs≤x
|K(z1, ..., zs)|. (3.46)
Có phải ϕB(x) = ϕK(x) với tất cả các phương pháp Runge-Kutta hay khơng? Nếu muốn kiểm tra tính hợp lệ củaϕB(x) = ϕK(x)với mỗi phương pháp Runge- Kutta, ta phải tìm các nhân tử Lagrange khơng âmdi để (3.45) được thỏa mãn. Các bổ đề sau đây sẽ rất hữu ích cho mục đích này.
Ta ký hiệu z10, ..., zs0 là các giá trị để (3.46) đạt supremum. Theo nguyên lý maximum ta có zj0 = x+iyj0 (yj0 = ∞). Đặt z0 = z10, ... , zs0 và cho ∂jK z0 là đạo hàm của K(z1, ..., zs) theo đối số thứ j tại z0.
Bổ đề 3.5. Cho x cố định với ϕK(x)<∞. Điều kiện (3.45) với ϕ=ϕK(x) xác định duy nhất các nhân tử Lagrange d1, ..., ds (xem phương trình (3.52) ở phần sau). Và d1, ..., ds là các số thực dương.
Chứng minh. Xét đồng nhất thức (3.43) cho trường hợp đặc biệt với ∆fj là vơ hướng, ∆fj =zj∆gj do đó ∆y1 =K(z1, ... , zs). Với Rezj =x, ta có
|K(z1, ... , zs)|2−ϕ2 =−(1, ∆f∗) α+ϕ2 uT u W 1 ∆f . (3.47)
Đặtϕ:=ϕK(x)vàzj :=z0j (cuối cùng ta phải xét các giới hạn) vế trái của phương trình (3.47) triệt tiêu. Kết hợp với giả thiết (3.45) có nghĩa u+ W∆f = 0, tức là
D111−b−2xATD111 + DA+ATD−bbT −2xATDA∆f = 0.
Kết hợp hợp lý các điều đã có và sử dụng ∆f =Z0∆g , ∆g = 111 +A∆f, trong đó
Z0=diag z01, ..., z0s, ta được
D∆g = I −ATZ0∗−1b.K z0. (3.48)
Ta sẽ chứng minh tất cả các thành phần của ∆g = (I−AZ0)−1111 đều khác 0, để (3.48) xác định duy nhất các nhân tử Lagrange d1, ..., ds.
Thác triển K(z1, ... , zs) trong chuỗi Taylor với đối số zj ta có
K z01, ..., zj, ..., zs0=K z0
1 +c zj −z0j+O zj−zj02
,
trong đó c = ∂jK z0/K z0. Vì K z01, ..., zj, ..., zs0 ≤ K z0 với Rezj ≤ Rezj0. Ta có c >0, do vậy ta cũng có
∂jK z06= 0, 0< ∂jK z
0
K(z0) <∞. (3.49)
Vi phân K(z1, ... , zs) = 1 +bTZ(I−AZ)−1111 theo zj
∂jK z0=bT(I−Z0A)−1ejeTj(I−AZ0)−1111 (3.50) Từ (3.49) ta có
bT(I−Z0A)−1ej 6= 0, ∆gj =eTj(I−AZ0)−11116= 0 (3.51) để d1, ..., ds xác định duy nhất bởi (3.48). Chia thành phần thứ j của (3.48) cho
∆gj, từ (3.50) dj =bT(I−Z0A)−1ej 2 . K z 0 ∂jK(z0), (3.52) là số thực dương theo (3.49) và (3.51).
Trong chứng minh này, ta mặc định rằng tất cảzj0là hữu hạn. Nếu zj0=x+i∞
với một vài j nào đó, người ta phải đổi ωj = x+ 1/(zj−x), nửa mặt phẳng
Rezj ≤x thành Reωj ≤x và ∞ thành 0.
Bổ đề 3.6. Nếu ma trận W của phương trình (3.44c) với d1, ..., ds như trong Bổ đề 3.5 là nửa xác định dương, thì ta có ϕB(x) = ϕK(x).
Chứng minh. Từ α+ϕ2K(x) uT u W 1 ∆f = 0 (3.53)
(xem (3.47)) vàvTWv ≥0 với mọiv ∈Rs, ma trận ở (3.53) nửa xác định dương. Kết quả sau đó có được từ Định lý 3.12.
Từ các kết quả ở trên, với một phương pháp Runge-Kutta nhất định thì có thể kiểm tra xem khi nào ϕB(x) = ϕK(x) được thỏa mãn. Điều này có thể thực hiện bằng thuật tốn sau đây:
• Tính ϕ = ϕK(x) của phương trình (3.46) với số hoặc với các cơng thức, chương trình hỗ trợ.
• Tính các nhân tử Lagrange d1, ..., ds từ Bổ đề 3.5.
• Kiểm tra khi nào ma trận W của phương trình (3.44c) là nửa xác định dương. Nếu đúng W là nửa xác định dương thì ϕB(x) =ϕK(x) theo Bổ đề 3.6.
Ví dụ 3.3. Với phương pháp Radau IIA 2 nấc p= 3 (xem Bảng 1.7)
ϕB(x) = ϕK(x) = 4 5−2x nếu x≤ξ 3 + 4x p (3−2x) (3 + 4x−2x2) nếu ξ≤x < 3 2 trong đó ξ= 9−3√ 17/8.
Với phương pháp Gauss 2 nấc p= 4 (xem Bảng 1.5 )
ϕB(x) = 1 nếu − ∞< x≤0 2x+√ 9 + 3x2 3−x nếu 0≤x <3.
Với phương pháp Lobatto IIIC 2 nấc p= 2 (xem Bảng 1.10 )
ϕB(x) = 1 1−x+x2 nếu − ∞< x≤0 1 1−x nếu 0≤x <1.
Với các phương pháp có số nấc s >2, việc đưa ra cơng thức tường minh là rất
khó, ta áp dụng các phương pháp số để tính tốn zj0 (supremum trong phương trình (3.46)).
Kết luận
Chương này đã trình bày các khái niệm về ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN và mối quan hệ giữa các dạng ổn định. Định lý 3.4 và Định lý 3.6 là các kết quả quan trọng đưa ra ví dụ với các phương pháp Runge-Kutta ẩn và sự ổn định đại số của chúng từ đó có kết luận về sự ổn định B. Bên cạnh đó, phần này cũng đưa ra các khái niệm về các phương pháp khả quy, các phương pháp bất khả quy. Sau đó, luận văn trình bày Định lý 3.3 về sự tương đương giữa ổn định B và ổn định đại số với các phương pháp S-bất khả quy.
Kết luận
Luận văn trình bày về tính ổn định và tính co của các phương pháp Runge- Kutta. Tính ổn định và tính co của phương pháp Runge-Kutta được trình bày lần lượt từ bài tốn tuyến tính đến bài tốn phi tuyến. Mối quan hệ giữa các dạng ổn định A, ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN. Hơn nữa, chúng ta cịn có các ví dụ về các phương pháp tương ứng thỏa mãn từng dạng ổn định. Đặc biệt, luận văn quan tâm đến tính ổn định của các phương pháp DJ-khả quy, S-khả quy và các phương pháp bất khả quy. Bên cạnh đó, luận văn cũng xem xét đến các hàm tăng trưởng sai số ϕR(x), ϕB(x) tương ứng khi xét bài toán tuyến tính và bài tốn phi tuyến cùng với cách tính tốn chúng.
Luận văn đã trình bày một số chứng minh chi tiết liên quan đến tính ổn định và tính co của các phương pháp Runge-Kutta. Các kết quả đó có thể giúp ta trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến. Ngồi ra, luận văn có trình bày một số ví dụ, bài tốn minh họa cùng với việc thử nghiệm số giải các bài tốn đó.
Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh, 2008,Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner (1993), Solving Ordinary Differential
Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, second edition.
[3] E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, sec-
ond revised edition.
[4] J.C.Butcher (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equa- tions, The Uninversity of Auckland, New Zealand, Wiley Publishers.
[5] Linda R.Petzold, UriM.Ascher (1997),Computer Methods for Ordinary Dif- ferential Equations and Differential-Algebraic Equations.
[6] L. Shampine, M. W. Reichelt (1997), The MATLAB ODE Suite.
[7] W. Wasow (1965),Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, John Wiley and Sons, New York.