3 Tính ổn định B và tính co
3.7 Hàm tăng trưởng sai số
Tất cả các định lý ở phần trên chỉ đề cập đến tính co khi hằng số Lipschitz một phía ν ở (3.2) là 0 (xem Định nghĩa 3.1). Câu hỏi đặt ra là liệu có thể làm chặt các ước lượng khi biết rằng ν <0 và liệu ta có thể ước lượng trong trường hợp chỉ có (3.2) với một vài ν > 0.
Định nghĩa 3.7 (Burrage và Butcher 1979). Cho ν ở (3.2) và đặtx=hν (h là cỡ bước đi). Ký hiệu ϕB(x) là số nhỏ nhất để có ước lượng
ky1−by1k ≤ϕB(x)ky0−by0k (3.37)
với tất cả các bài toán thỏa mãn
Rehf(x, y)−f(x, z), y−zi ≤νky−zk2. (3.38) Ta gọi ϕB(x) là hàm tăng trưởng sai số của phương pháp.
Ta xét các hàmf :R×Cn →Cn. Hàm này khơng mang tính tổng qt hơn (vì bất kỳ hệ nào cũng có thể viết dưới dạng thực bằng cách tách phần thực và phần ảo), nhưng nó thuận tiện hơn khi làm việc với bài tốn y0=λ(x)y ở đây λ(x)∈
C.
Trong trường hợp bài tốn tuyến tính khơng dừngy0=A(x)y, điều kiện (3.38)
trở thành µ(A(x))≤ν, (trong đó µ(.) là chuẩn logarit). Đặt Zi :=hA(x0+cih),
sự chênh lệch giữa hai lời giải số
y1−yb1 =K(Z1, ..., Zs) (y0−yb0)
ở đó
K(Z1, ..., Zs) = I+ bT ⊗IZ(I⊗I−(A⊗I)Z)−1(111⊗I) (3.39) và Z là ma trận đường chéo khối, với Z1, ..., Zs là các khối trên đường chéo.
Định lý 3.10. Hàm tăng trưởng sai số của một phương pháp Runge-Kutta ẩn thỏa mãn
ϕB(x) = sup µ(Z1)≤x,...,µ(Zs)≤x
kK(Z1, ..., Zs)k. (3.40)
Chứng minh. Cận trên. Sự chênh lệnh∆y1 =y1−by1 của hai lời giải Runge-Kutta thỏa mãn (3.8). Giả định (3.38) có nghĩa Reh∆fi,∆gii ≤ xk∆gik2. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại các ma trận Zi (i= 1, ..., s) với µ(Zi)≤x để ∆fi=Zi∆gi. Có nghĩa là ∆y1 = K(Z1, ..., Zs) ∆y0 và như một hệ quả, vế phải của phương trình (3.40) là một cận trên của ϕB(x).
Nếu ∆gi= 0 thì ∆fi = 0 và có thể lấy một ma trận tùy ý thỏa mãnµ(Zi)≤x.
Do đó, ta xét các vectơ f, g (g 6= 0)∈ Cn thỏa mãn Rehf, gi ≤ xkgk2. Đặt u1 :=
g
kgk, cuối cùng ta được cơ sở trực giao u1, ..., un của C
n. Sau đó, ta định nghĩa ma trận Z bởi Zu1 := f kgk, Zui :=xui− hui, fiu1 kgk , i= 2, ..., n.
Ta có Zg=f, dễ thấy RehZv, vi ≤xkvk2 với mọi v = n
P
i=1
αiui.
Cận dưới. Đầu tiên ta xét các phương pháp Runge-Kutta khơng suy biến.
Với mỗi Z1, ..., Zs mà µ(Zi) ≤ x, cho A(x) là một hàm liên tục thỏa mãn
hA(x0+cih) = Zivàµ(A(x))≤xvới mọix(ví dụA(x)tuyến tính nội suy). Ta có
∆y1 =K(Z1, ..., Zs) ∆y0suy raϕB(x)≥ kK(Z1, ..., Zs)kvới tất cảZ1, ..., Zs mà µ(Zi)≤
x.
Với các phương pháp suy biến việc chứng minh phức tạp hơn. Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử rằng phương pháp là bất khả quy, bởi vì ϕB(x) và vế phải của phương trình (3.40) đều khơng thay đổi khi phương pháp được thay bởi một phương pháp tương đương. Quan tâm chính bây giờ là Bổ đề 3.3 và 3.4, với số chiều tùy ý. Xét Z1, ..., Zs với µ(Zi) ≤ x, chẳng hạn hệ tuyến tính
∆gi= ∆y0+ s
P
j=1
aijZj∆gj có một lời giải. Chính xác, như trong Định lý 3.9 ta có thể xây dựng hàm liên tục f :Cn →Cn thỏa mãn (3.38) với ν=x (ta đặt h= 1)
và f(gi)−f(bgi) =Zi(gi−bgi). Điều này hoàn tất chứng minh của định lý. Với các phương pháp 1 nấc (s = 1) Định lý von Neumann (Hệ quả 2.2) là đủ
để xét trong trường hợp vô hướng, giá trị phức z1 ∈ C ở phương trình (3.40). Do trong trường hợp này K(Z) = R(z), ta có
Bây giờ điều này vẫn chưa rõ ràng, tuy nhiên ta có thể hạn chế supremum ở phương trình (3.40) để có thể xét trong trường hợp vơ hướng hay giá trị zi ∈C
với s ≥2. Điều này đòi hỏi một sự tổng quát của Định lý von Neumann với các
hàm nhiều biến (Hairer và Wanner 1996). Ta sẽ quay lại câu hỏi này trong phần sau.
Định lý 3.11 (Hairer và Wanner 1996). Với các phương pháp Runge-Kutta ổn định B, hàm tăng trưởng sai số là hàm siêu mũ (hàm trên mũ), tức là ϕB(0) = 1 và
ϕB(x1)ϕB(x2)≤ϕB(x1+x2) với x1, x2 cùng dấu. Chứng minh. Tính chất ϕB(0) = 1 có được theo Định nghĩa 3.3.
Với việc chứng minh bất đẳng thức, chúng ta xét hàm hữu tỉ
S(z) = u∗AK(A1−zI, ..., As−zI)vAu∗BK(B1+zI, ... , Bs+zI)vB,
trong đó, các ma trậnAj, Bjthỏa mãnµ(Aj)≤x1+x2 và µ(Bj)≤0,uA, vA, uB, vB
là các vectơ tùy ý của Cn. Sử dụng tính chất µ(Aj−zI) = µ(Aj)− Rez và
kCk= sup
kuk=1,kvk=1
|u∗Cv|, thu được bất đẳng thức chính xác tương tự như chứng
minh Định lý 2.3.
Thực tế ϕB(x)là cận trên, cùng với ϕB(−∞) = |R(∞)| cho phép ta có những kết luận tương tự về sự ổn định tiệm cận của lời giải số như ở Chương 2.