4 Phương pháp lấy mẫu con và lấy mẫu cặp
4.1.2 Trung bình và phương sai trong lấy mẫu hai giai đoạn
4.1.2 Trung bình và phương sai trong lấy mẫu hai giaiđoạn đoạn
Trong mẫu hai giai đoạn, đầu tiên ta chọn ra ntập, sau đó từ mỗi tập được chọn ta lấy ra một số xác định các tập con. Trong việc tìm trung bình và phương sai của ước lượng, việc lấy trung bình cần được lấy trên tất cả các mẫu mà có thể sinh ra từ q trình hai giai đoạn này. Một cách tính trung bình này là đầu tiên ta lấy trung bình ước lượng trên tất cả các lựa chọn ở giai đoạn 2 mà có thể được rút ra từ tập cố định trong n tập sẽ được lựa chọn, sau đó lấy trung bình trên tất cả các lựa chọn có thể của n tập. Đối với ước lượng θ, phươngˆ
pháp này có thể biểu diễn như sau
E(ˆθ) =E1[E2(ˆθ)],
trong đó E ký hiệu giá trị trung bình trên tồn bộ các mẫu, E2 ký hiệu lấy trung bình trên tất cả các lựa chọn có thể ở bước thứ hai từ một tập cố định, và E1 ký hiệu trung bình trên tất cả các lựa chọn ở bước thứ nhất.
Với V(ˆθ) phương pháp này đưa đến kết quả dễ nhớ sau
V(ˆθ) =V1[E2(ˆθ)] +E1[V2(ˆθ)], (4.1) trong đó V2(ˆθ) là phương sai trên tất cả các lựa chọn mẫu con với một tập cho trước trong các tập. Để chỉ rõ điều này, giả sử θ = E(ˆθ) (lưu ý rằng θ không nhất thiết là đại lượng mà θˆ là ước lượng cho nó, bởi vì θˆcó thể là ước lượng khơng chệch), ta có
Mà
E2(ˆθ−θ)2 = E2(ˆθ)2−2θE2(ˆθ) +θ2
= [E2(ˆθ)]2+V2(ˆθ)−2θE2(ˆθ) +θ2.
Bây giờ lấy trung bình trên các lựa chọn ở giai đoạn 1. Vì E1E2(ˆθ) = θ nên
V(ˆθ) = E1[E2(ˆθ)]2−θ2+E1[V2(ˆθ)]
= V1[E2(ˆθ)] +E1[V2(ˆθ)]. (4.2) Công thức (4.1) được mở rộng một cách tự nhiên cho 3 hoặc nhiều giai đoạn. Với mẫu ba giai đoạn:
V(ˆθ) = V1{E2[E3(ˆθ)]}+E1{V2[E3(ˆθ)]}+E1{E2[V3(ˆθ)]}.