2 Mơ hình chuỗi thời gian
2.2 Trung bình trượt và quá trình tự hồi quy
2.2.6 Quá trình ARMA
Trung bình trượt - M Ăq) và quá trình tự hồi quy - AR(p) là các trường hợp đặc biệt của tự hồi quy trung bình trượt. Lấy (εt)t∈Z là ồn trắng, p, q ≥ 0 là các số nguyên và a0, . . . , ap, b0, . . . , bq ∈ R. Quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực (Yt)t∈Z được gọi là quá trình tự hồi quy trung bình trượt bậcp, q, kí hiệu ARM Ăp, q)nếu nó thoả mãn phương trình
Yt = a1Yt−1+a2Yt−2+. . .+apYt−p+εt +b1εt−1+. . .+bqεt−q. (2.12) Quá trình - ARM Ăp,0) với p ≥ 1 hiển nhiên là quá trình - AR(p), trong
khi quá trình - ARM Ă0, q) với q ≥ 1 là trung bình trượt - M Ăq). Các
đa thức
Ăz) = 1−a1z−. . .−apzp, (2.13)
B(z) = 1 +b1z+. . .+bqzq, (2.14) là các đa thức đặc trưng của phần tự hồi quy và phần trung bình trượt của một quá trình - ARM Ăp, q) (Yt), (Yt) có thể biểu diễn dưới dạng
Yt −a1Yt−1−. . .−apYt−p = εt +b1εt−1+. . .+bqεt−q.
Kí hiệu Zt là vế phải của phương trình trên tức là
Zt = εt+b1εt−1+. . .+bqεt−q.
Do đó, áp dụng định lý 2.1.6, đây là quá trình - M Ăq) nên là quá trình dừng. Nếu tất cảp nghiệm của phương trìnhĂz) = 1−a1z−. . .−apzp = 0
nằm ngồi vịng trịn đơn vị thì từ định lý 2.1.11 suy ra bộ lọcc0 = 1, cu =
−au, u = 1, . . . , p, cu = 0 trong các trường hợp khác, có bộ lọc nguyên nhân khả tổng tuyệt đối (du)u≥0. Kết quả ta thu được từ phương trình
Zt = Yt −a1Yt−1−. . .−apYt−p và từ (2.1) là với b0 = 1, bw = 0 với w > q Yt = X
u≥0
duZt−u = X
u≥0
du(εt−ưb1εt−1−ự . .+bqεt−q−u)
= X u≥0 X w≥0 dubwεt−w−u =X v≥0 X ưw=v dubw ! εt−v = X v≥0 min(v,q) X w=0 bwdv−w εt−v = X v≥0 αvεt−v
là nghiệm dừng xác định duy nhất hầu khắp nơi của phương trình -
ARM Ăp, q) (2.12) với ồn trắng (εt) cho trước.
Điều kiện để tất cả pnghiệm của phương trình đặc trưngĂz) = 1−a1z−
. . .−apzp = 0 của q trình - ARM Ăp, q) (Yt) nằm ngồi vịng trịn đơn vị giống như điều kiện dừng (2.4).
Q trình - M Ăq) Zt = εt +b1εt−1+. . .+bqεt−q là khả nghịch nếu tất cả q nghiệm của đa thức B(z) = 1 +b1z+. . .+bqzq nằm ngồi vịng trịn đơn vị. Trong trường hợp này, định lý 2.1.11 và phương trình (2.1) đưa ra sự tồn tại của bộ lọc nguyên nhân khả tổng tuyệt đối (gu)u≥0 sao cho với
a0 =−1
εt = X
u≥0
guZt−u = X
u≥0
gu(Yt−u−a1Yt−1−u−. . .−apYt−p−u)
= −X v≥0 min(v,p) X w=0 awgv−w Yt−ụ
Trong trường hợp này quá trình - ARM Ăp, q) (Yt) được gọi là khả nghịch.