2 Mơ hình chuỗi thời gian
2.3 Nhận dạng mơ hình ARMA: Phương pháp Box Jenkins
2.3.1 Lựa chọn bậc
Bậc q của quá trình trung bình trượt - M A(q) có thể được ước lượng bằng trung bình của hàm tự tương quan thực nghiệm r(k) tức là tương quan đồ (đường cong tương quan). Phần (iv) của bổ đề 2.2.1 chỉ ra rằng hàm tự tương quan ρ(k) triệt tiêu với k ≥ q+ 1. Do đó ta chọn cấp q sao cho r(q) 6= 0 , trong khi đó r(k) với k ≥ q + 1 gần bằng 0. Tuy nhiên ta vẫn chưa có cách chọn cụ thể .
Bậc p của q trình - AR(p) có thể được ước lượng tương tự, sử dụng hàm tự tương quan thực nghiệm riêng phần αˆ(k), k ≥ 1 như đã định nghĩa trong (2.11). Vìαˆ(p) cần gần với hệ số thứ p, hệ số ap của quá trình
AR(p) và ap 6= 0 trong khi αˆ(k)≈ 0 với k > p nên quy luật ở trên có thể áp dụng lại với r thay thế bởi α.ˆ
Chọn bậc p và q của quá trình - ARM A(p, q) quả thực là một thử thách. Thông thường người ta lấy cặp (p, q) sao cho làm nhỏ nhất hàm thông tin
dựa trên ước lượng σˆp,q2 của phương sai ε0.
Các hàm phổ biến là tiêu chuẩn thông tin Akaike’s
AIC(p, q) = log ˆσ2p,q+ 2p+q
n ,
tiêu chuẩn thông tin Bayesian
BIC(p, q) = log ˆσp,q2 + (p+q) log (n)
n
và tiêu chuẩn thông tin Hannan – Quinn
HQ(p, q) = log (ˆσp,q) + 2 (p+q)clog (log (n))
n với c >1.
AIC và BIC được nói đến trong Brockwell và Davis (1991, mục 9.3) cho quá trình Gaussian (Yt), trong đó hàm phân phối đồng thời của vectơ bất
kỳ (Yt1, . . . , Ytk) với t1 < . . . < tk là chuẩn nhiều chiều. Với tiêu chuẩn HQ ta tham khảo Hannan và Quinn (1979). Chú ý rằng phương sai ước lượng
ˆ
σp,q2 mà sử dụng ước lượng mơ hình tham số được thảo luận trong mục tới sẽ nhỏ tuỳ ý khi p+ q tăng. Do đó, các số hạng thêm vào trong tiêu chuẩn trên gây bất lợi cho các giá trị lớn, do vậy giúp ngăn chặn việc quá tải của dữ liệu bằng việc lựa chọn p và q quá lớn. Điều này chỉ ra rằng BIC và HQ dưới các điều kiện thích hợp sẽ đưa ra các ước lượng bậc mơ hình nhất qn. AIC có xu hướng khơng đánh giá thấp bậc của mơ hình. Những mơ phỏng chỉ ra rằng BIC thường được sử dụng cho các mẫu lớn (xem Shumway và Stoffer (2006, mục 2.2)).